Pourquoi croiser deux variables ? Une statistique à une variable répond à une question comme : « quelle proportion d'élèves arrive à l'heure ? ». Croiser deux variables permet d'aller plus loin : cette proportion est-elle la même selon le mode de transport ? Le tableau croisé sert à organiser les couples d'informations observés sur les mêmes individus.
Intuition · Un tableau qui répond à plusieurs questions
Chaque case intérieure décrit une intersection : des individus vérifient simultanément deux critères. Les marges décrivent les groupes entiers. Changer de dénominateur change la question posée.
Exemple · Une enquête de ponctualité
On interroge 160 élèves. Pour chacun, on relève son mode de transport et s'il est arrivé à l'heure. Le croisement permettra de comparer les taux de ponctualité entre les modes de transport.
Attention · Observer n'est pas expliquer
Si deux variables semblent liées, le tableau établit une association , pas nécessairement une cause. La distance au lycée, l'horaire ou d'autres facteurs peuvent influencer simultanément le transport et la ponctualité.
Variables qualitatives et modalités Nominale ou ordinale
Définition · Variable qualitative
Une variable est qualitative lorsque ses valeurs sont des catégories appelées modalités .
Elle est nominale si les catégories n'ont pas d'ordre naturel : couleur, moyen de transport.
Elle est ordinale si les catégories peuvent être ordonnées : faible, moyen, élevé.
Exemple · Reconnaître la nature
Le mode de transport est qualitatif nominal. Un degré de satisfaction « insatisfait, neutre, satisfait » est qualitatif ordinal. L'âge exact est quantitatif ; une tranche d'âge est qualitative ordinale.
Attention · Les nombres peuvent être des étiquettes
Un numéro de département ou un code postal n'est pas une grandeur mesurable : calculer sa moyenne n'a pas de sens. Ce sont des catégories, même si elles sont écrites avec des chiffres.
Un individu fournit un couple
Si l'on observe deux variables \(X\) et \(Y\) , chaque individu fournit un couple
\[\bigl(X(\text{individu}),Y(\text{individu})\bigr).\]
Par exemple, un élève peut fournir le couple (transports en commun, à l'heure).
Construire et lire un tableau croisé Cases intérieures et marges
Définition · Tableau croisé d'effectifs
Un tableau croisé répartit les individus selon deux variables qualitatives.
Une case intérieure contient l'effectif d'une combinaison de deux modalités.
Les effectifs marginaux sont les totaux des lignes et des colonnes.
La case en bas à droite contient l'effectif total \(N\) .
Exemple · Transport et ponctualité
Actif Transports Motorisé Total À l'heure 42 58 24 124 En retard 8 12 16 36 Total 50 70 40 160
« 42 » signifie : 42 élèves utilisent un transport actif et arrivent à l'heure.
Propriété · Retrouver les marges
Chaque total de ligne est la somme des cases de sa ligne ; chaque total de colonne est la somme des cases de sa colonne. Par exemple,
\[42+58+24=124,
\qquad
42+8=50.\]
Démonstration · Pourquoi les deux sommes des marges valent-elles \(N\) ?
Chaque individu est compté une fois dans exactement une modalité de la première variable. La somme des totaux de lignes compte donc tous les individus une fois. Le même raisonnement s'applique aux colonnes :
\[\sum_i n_{i\bullet}=N
\qquad\text{et}\qquad
\sum_j n_{\bullet j}=N.\]
Le langage des ensembles
Notons \(A\) l'ensemble des élèves utilisant un transport actif et \(H\) l'ensemble des élèves arrivés à l'heure. Alors
\[\operatorname{Card}(A)=50,\qquad
\operatorname{Card}(H)=124,\qquad
\operatorname{Card}(A\cap H)=42.\]
Intuition · Le mot « et »
Une case intérieure correspond toujours à une intersection. « Actif et à l'heure » signifie \(A\cap H\) . Le mot « ou » correspondrait à une réunion, qui n'est généralement pas une seule case du tableau.
Propriété · Cardinal d'une réunion
Pour deux ensembles \(A\) et \(B\) ,
\[\boxed{\operatorname{Card}(A\cup B)
=\operatorname{Card}(A)+\operatorname{Card}(B)-\operatorname{Card}(A\cap B)}.\]
Démonstration · Pourquoi soustraire l'intersection ?
En additionnant \(\operatorname{Card}(A)\) et \(\operatorname{Card}(B)\) , les individus de \(A\cap B\) sont comptés deux fois. On retire donc une fois leur effectif pour que chaque individu de \(A\cup B\) soit compté exactement une fois.
Fréquences globales et marginales Fréquence d'une case
Définition · Fréquence globale
La fréquence globale d'une case est son effectif divisé par l'effectif total :
\[\boxed{f(A\cap B)=\frac{\operatorname{Card}(A\cap B)}{N}}.\]
Dans l'exemple,
\[f(A\cap H)=\frac{42}{160}=0{,}2625=\boxed{26{,}25\,\%}.\]
Cela signifie que 26,25 % de tous les élèves sont à la fois utilisateurs d'un transport actif et ponctuels.
Fréquence marginale
Définition · Fréquence marginale
La fréquence marginale d'une modalité est son effectif marginal divisé par \(N\) :
\[f(A)=\frac{\operatorname{Card}(A)}{N}.\]
Ainsi,
\[\begin{aligned}f(A) &=\frac{50}{160}=31{,}25\,\%,\\f(H) &=\frac{124}{160}=77{,}5\,\%.\end{aligned}\]
Démonstration · Une marge est la somme de ses cases
Les catégories de ponctualité « à l'heure » et « en retard » partagent l'ensemble \(A\) sans chevauchement. Donc
\[\begin{aligned}f(A) &= f(A\cap H) +f(A\cap\overline H)\\&= \frac{42}{160} +\frac8{160} = \frac{50}{160}.\end{aligned}\]
Fréquences conditionnelles Le dénominateur est le groupe après « parmi »
Définition · Fréquence de \(B\) parmi \(A\)
Si \(A\) n'est pas vide, la fréquence de \(B\) parmi les individus de \(A\) est
\[\boxed{f_A(B)=\frac{\operatorname{Card}(A\cap B)}{\operatorname{Card}(A)}}.\]
Le groupe \(A\) est appelé groupe de référence ou groupe conditionnant.
Exemple · Ponctualité parmi les transports actifs
Parmi les 50 élèves utilisant un transport actif, 42 arrivent à l'heure :
\[f_A(H)=\frac{42}{50}=0{,}84=\boxed{84\,\%}.\]
Le dénominateur est 50, et non 160, car la question commence par « parmi les utilisateurs d'un transport actif ».
Intuition · Zoomer sur une sous-population
Calculer \(f_A(B)\) revient à oublier momentanément tous les individus qui ne sont pas dans \(A\) . Le groupe \(A\) devient alors le nouveau « tout », donc son effectif devient le dénominateur.
L'ordre change la question
Attention · \(f_A(B)\) et \(f_B(A)\) sont différents
\[\begin{aligned}f_A(B) &=\frac{\operatorname{Card}(A\cap B)}{\operatorname{Card}(A)},\\f_B(A) &=\frac{\operatorname{Card}(A\cap B)}{\operatorname{Card}(B)}.\end{aligned}\]
Le numérateur est le même, mais les dénominateurs sont généralement différents.
Exemple · Deux questions, deux réponses
\[f_A(H)=\frac{42}{50}=84\,\%,
\qquad
f_H(A)=\frac{42}{124}\approx33{,}9\,\%.\]
84 % des utilisateurs d'un transport actif sont ponctuels, mais seulement 33,9 % des élèves ponctuels utilisent un transport actif. Ces phrases ne se contredisent pas.
Tableaux de fréquences conditionnelles
Si l'on conditionne par le mode de transport, chaque colonne devient un groupe de référence et totalise 100 %.
Actif Transports Motorisé À l'heure \(42/50=84\,\%\) \(58/70\approx82{,}9\,\%\) \(24/40=60\,\%\) En retard \(8/50=16\,\%\) \(12/70\approx17{,}1\,\%\) \(16/40=40\,\%\) Total 100 % 100 % 100 %
Attention · Ne pas mélanger les dénominateurs
Dans un même tableau conditionnel, les pourcentages d'une colonne doivent tous utiliser le même total de colonne. Additionner des pourcentages calculés sur des groupes de référence différents n'a pas de sens.
Reconstruire une fréquence globale
Théorème · Moyenne pondérée des fréquences conditionnelles
Si \(A_1,\ldots,A_k\) forment une partition de la population, alors
\[\boxed{f(B)=\sum_{i=1}^{k}f(A_i)\,f_{A_i}(B)}.\]
Démonstration · Décomposer la population
Comme les groupes \(A_i\) sont disjoints et couvrent toute la population,
\[\operatorname{Card}(B)=\sum_i\operatorname{Card}(A_i\cap B).\]
Or
\[\begin{aligned}\operatorname{Card}(A_i\cap B) &= \operatorname{Card}(A_i)\,f_{A_i}(B)\\&= Nf(A_i)f_{A_i}(B).\end{aligned}\]
En divisant la première égalité par \(N\) , on obtient la formule.
Exemple · Retrouver la ponctualité globale
\[\begin{aligned}f(H) &= \frac{50}{160}\times0{,}84 +\frac{70}{160}\times\frac{58}{70}\\&\quad {}+\frac{40}{160}\times0{,}60 = \frac{124}{160} = 77{,}5\,\%.\end{aligned}\]
La fréquence globale est une moyenne pondérée : les groupes les plus nombreux pèsent davantage.
Compléter un tableau croisé À partir des marges
Méthode · Raisonner ligne par ligne
Pour retrouver une case manquante, soustrais les cases connues au total de sa ligne ou de sa colonne. Termine par un contrôle sur l'effectif total.
Exemple · Une case manquante
\(B\) \(\overline B\) Total \(A\) 36 ? 60 \(\overline A\) 24 16 40 Total 60 40 100
La case manquante vaut \(60-36=24\) . On vérifie aussi \(24+16=40\) dans la deuxième colonne.
À partir d'une fréquence conditionnelle
Propriété · Revenir à un effectif
Si \(f_A(B)=p\) , alors
\[\operatorname{Card}(A\cap B)=p\times\operatorname{Card}(A).\]
Exemple · Utiliser 35 %
Parmi 240 personnes abonnées, 35 % choisissent l'option premium. L'effectif correspondant est
\[0{,}35\times240=\boxed{84}.\]
Le pourcentage s'applique à 240, car les abonnés constituent le groupe de référence.
Attention · Un contrôle d'intégralité
Un effectif est un entier. Si un calcul donne \(26{,}4\) personnes, les données sont arrondies, incohérentes ou incomplètes. Il faut alors le signaler plutôt que masquer le problème.
Représenter et comparer les groupes Barres empilées à 100 %
Pour comparer des groupes de tailles différentes, on représente leurs fréquences conditionnelles sur des barres de même longueur.
Intuition · Comparer des proportions, pas des hauteurs brutes
La largeur verte répond directement à la question « quelle part du groupe est ponctuelle ? ». Des barres d'effectifs pourraient surtout refléter que certains groupes sont plus nombreux.
Choisir la bonne représentation
Comparer et interpréter sans se tromper Écart en points de pourcentage
Dans l'exemple, l'écart de ponctualité entre les transports actifs et motorisés vaut
\[84\,\%-60\,\%=\boxed{24\ \text{points de pourcentage}}.\]
Dire « 24 % de plus » serait ambigu : un écart de proportions se formule de préférence en points.
Association et causalité
Définition · Association observée
Deux variables sont associées dans les données lorsque les fréquences conditionnelles changent sensiblement d'un groupe à l'autre.
Attention · Une association ne prouve pas une cause
Le tableau ne permet pas d'affirmer que choisir un transport actif cause la ponctualité. Il manque des informations sur la distance, les horaires, la météo et la manière dont les données ont été recueillies.
Filtrer des données avec la logique et Python ET, OU, NON
Propriété · Traduction ensembliste
\[\text{ET}\longleftrightarrow\cap,\qquad
\text{OU}\longleftrightarrow\cup,\qquad
\text{NON }A\longleftrightarrow\overline A.\]
Le « ou » mathématique est inclusif : \(A\cup B\) contient aussi les individus qui vérifient les deux critères.
Exemple · Filtrer une base
« Élèves en transports en commun ET en retard » sélectionne la case d'effectif 12. « Transport actif OU à l'heure » sélectionne \(A\cup H\) , d'effectif
\[50+124-42=\boxed{132}.\]
Construire le tableau à partir de listes
transports = ["actif", "commun", "actif", "motorise"]
ponctuels = [True, True, False, False]
effectif = 0
for t, h in zip(transports, ponctuels):
if t == "actif" and h:
effectif = effectif + 1
print(effectif)Méthode · Lire le programme
La boucle examine chaque individu. La condition avec and traduit une intersection. Pour construire tout le tableau, on initialise un compteur par combinaison de modalités puis on incrémente exactement une case par individu.
Attention · Données manquantes
Une valeur vide ne doit pas être confondue avec une modalité réelle. Avant de compter, vérifie comment les absences de réponse sont codées et décide explicitement si tu les exclus ou si tu crées une modalité « non renseigné ».
Du tableau statistique au modèle probabiliste Intuition · Un pont, pas encore tout le chapitre
Si l'on choisit au hasard un individu parmi les 160 élèves, chaque fréquence devient la probabilité d'un évènement dans ce modèle d'équiprobabilité. La prochaine fiche étudiera systématiquement les probabilités conditionnelles et les arbres.
Avec \(A=\) « transport actif » et \(H=\) « à l'heure »,
\[P(A)=\frac{50}{160},\qquad
P(A\cap H)=\frac{42}{160},\qquad
P_A(H)=\frac{42}{50}.\]
La même fraction apparaît, mais son statut change : dans l'enquête, elle décrit une fréquence observée ; dans le modèle, elle devient une probabilité.
Attention · Le modèle doit être annoncé
Une probabilité n'est pas automatiquement une fréquence passée. On choisit un modèle en explicitant ses hypothèses, notamment la manière dont l'individu est sélectionné.
Pour aller plus loin - Accessible à tous Intuition · Statut de cette partie
Le socle officiel est entièrement présenté dans les sections précédentes. Les idées suivantes permettent d'analyser des données comme dans des classes très exigeantes, mais chaque étape est démontrée sans prérequis caché.
Indépendance observée
Définition · Critère descriptif
Dans un tableau, on dit que les variables paraissent indépendantes lorsque la distribution d'une variable est la même dans chaque groupe de l'autre variable. Par exemple,
\[f_A(B)=f(B).\]
Il s'agit ici d'un constat sur les données, pas d'une vérité universelle sur la population.
Exemple · Indépendance parfaite dans un tableau
\(B\) \(\overline B\) Total \(A\) 30 20 50 \(\overline A\) 30 20 50 Total 60 40 100
Dans chaque ligne, la fréquence de \(B\) vaut 60 %, comme dans toute la population.
Le test du produit en croix pour un tableau \(2\times2\)
Considérons le tableau
\[\begin{array}{c|cc}
& B & \overline B\\ \hline
A & a & b\\
\overline A & c & d
\end{array}.\]
Théorème · Critère \(ad=bc\)
Si les quatre effectifs sont positifs, les deux lignes ont la même fréquence de \(B\) si et seulement si
\[\boxed{ad=bc}.\]
Démonstration · Un simple produit en croix
Les fréquences de \(B\) dans les deux lignes sont \(a/(a+b)\) et \(c/(c+d)\) . Alors
\[\begin{aligned}\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}
&\ssi a(c+d)=c(a+b)\\
&\ssi ac+ad=ac+bc\\
&\ssi \boxed{ad=bc}.\end{aligned}\]
Le paradoxe de Simpson
Exemple · Un renversement surprenant
On compare la réussite avec ou sans tutorat dans deux niveaux initiaux.
Avec tutorat Sans tutorat Niveau standard \(18/20=90\,\%\) \(80/100=80\,\%\) Niveau fragile \(60/100=60\,\%\) \(5/10=50\,\%\) Ensemble \(78/120=65\,\%\) \(85/110\approx77{,}3\,\%\)
Le tutorat est associé à un meilleur taux dans chaque niveau, mais à un taux global plus faible. Ce renversement s'explique par la composition des groupes : le groupe tutoré contient beaucoup plus d'élèves initialement fragiles.
Intuition · Pourquoi le global peut-il tromper ?
Chaque taux global est une moyenne pondérée des taux par niveau. Les poids ne sont pas les mêmes dans les deux groupes. Comparer les seuls taux globaux mélange donc l'effet du niveau initial et l'association avec le tutorat.
Standardiser pour comparer avec les mêmes poids
Si l'on donne artificiellement le même poids \(1/2\) aux deux niveaux, les taux standardisés deviennent
\[\text{tutorat}:\ \frac12\times90\,\%+\frac12\times60\,\%=75\,\%,\]
\[\text{sans tutorat}:\ \frac12\times80\,\%+\frac12\times50\,\%=65\,\%.\]
Cette comparaison descriptive neutralise la différence de composition. Elle ne prouve toujours pas une causalité, mais elle évite une partie du piège.
Boîte à outils et erreurs à éviter Méthode · Case intérieure
Intersection de deux modalités.
Méthode · Fréquence conditionnelle
\(f_A(B)=n(A\cap B)/n(A)\) .
Attention · Réflexes
Vérifie les marges, les dénominateurs, la somme 100 % et évite toute causalité automatique.
Intuition · La question qui sauve
Avant chaque pourcentage, demande-toi : « parmi quel groupe ? ». Si tu connais ce groupe, tu connais le dénominateur.
Exercices progressifs Intuition · Mode d'emploi
Pour chaque pourcentage, écris d'abord le groupe de référence. Une fraction correctement nommée vaut mieux qu'un calcul rapide dont le dénominateur reste mystérieux.
Exercice 1 ★☆☆ : Reconnaître les variables
On interroge 80 foyers sur leur type principal de chauffage, leur degré de satisfaction (faible , moyen , élevé ) et leur facture mensuelle d'énergie.
Identifier la population, un individu et les trois variables. Pour chacune, préciser si elle est qualitative nominale, qualitative ordinale ou quantitative.
Exercice 2 ★☆☆ : Compléter avec les marges
Compléter le tableau et expliquer chaque soustraction.
\(B\) \(\overline B\) Total \(A\) 36 ? 60 \(\overline A\) 24 16 40 Total 60 40 100
Exercice 3 ★☆☆ : Fréquences globales et marginales
Reprendre le tableau « transport et ponctualité » du cours.
Calculer la fréquence des transports actifs.
Calculer la fréquence des élèves à l'heure.
Calculer la fréquence des élèves à la fois actifs et en retard.
Calculer la fréquence des transports motorisés.
Exercice 4 ★☆☆ : Le bon dénominateur
Toujours avec le tableau du cours, calculer et interpréter :
\[f_A(H),\qquad f_H(A),\qquad f_M(H),\]
où \(A\) signifie « transport actif », \(M\) « transport motorisé » et \(H\) « à l'heure ».
Exercice 5 ★☆☆ : Traduire en français
Dans le tableau du cours, expliquer précisément ce que représentent les fractions
\[\frac{12}{70},\qquad \frac{12}{36},\qquad \frac{24}{160}.\]
Pour chaque fraction, dire s'il s'agit d'une fréquence conditionnelle ou globale.
Exercice 6 ★★☆ : Un tableau conditionnel
Construire le tableau des fréquences de ponctualité conditionnelles au mode de transport. Chaque colonne devra totaliser 100 %. Arrondir au dixième de pourcentage et commenter la principale différence.
Exercice 7 ★★☆ : Retrouver les effectifs
Une plateforme compte 600 clients, dont 240 abonnés. Parmi les abonnés, 35 % choisissent l'option premium. Au total, 150 clients ont choisi cette option.
Construire le tableau croisant abonnement et option premium.
Calculer la fréquence du premium parmi les non-abonnés.
Comparer les deux groupes en points de pourcentage.
Exercice 8 ★★☆ : Points ou pourcentage relatif ?
Dans le groupe X, 72 % des personnes répondent « oui », contre 60 % dans le groupe Y.
Calculer l'écart en points de pourcentage.
Calculer l'augmentation relative de 60 % à 72 %.
Expliquer pourquoi les réponses 12 % et 20 % ne décrivent pas la même comparaison.
Exercice 9 ★★☆ : ET, OU, NON
Parmi 160 élèves, 50 utilisent un transport actif, 124 arrivent à l'heure et 42 vérifient les deux critères.
Combien utilisent un transport actif ou arrivent à l'heure ?
Combien ne vérifient aucun des deux critères ?
Expliquer pourquoi \(50+124\) ne répond pas directement à la première question.
Exercice 10 ★★☆ : Passer de listes à un tableau
On dispose des listes suivantes, dans lesquelles les éléments de même rang concernent la même personne.
groupe = ["A", "B", "A", "A", "B", "B", "A", "B"]
choix = ["oui", "non", "oui", "non",
"oui", "oui", "non", "non"]Construire le tableau croisé d'effectifs.
Calculer les fréquences de « oui » dans les deux groupes.
Les variables semblent-elles associées dans ces huit données ?
Exercice 11 ★★☆ : Une fréquence conditionnelle impose une case
Une enquête porte sur 400 personnes. Le groupe \(A\) contient 150 personnes et
\[f_A(B)=28\,\%.\]
Au total, 100 personnes vérifient \(B\) .
Construire entièrement le tableau croisant \(A/\overline A\) et \(B/\overline B\) .
Sur 1 000 personnes, 100 sont malades. Le tableau d'observation est :
Test positif Test négatif Total Malade 90 10 100 Non malade 45 855 900 Total 135 865 1 000
Parmi les malades, quelle est la fréquence des tests positifs ?
Parmi les non-malades, quelle est la fréquence des tests négatifs ?
Parmi les tests positifs, quelle est la fréquence des personnes malades ?
Pourquoi les réponses aux questions 1 et 3 sont-elles différentes ?
Exercice 13 ★★★ : Indépendance dans un tableau
On considère le tableau
\[\begin{array}{c|cc|c}
& B & \overline B & \text{Total}\\ \hline
A & 30 & 20 & 50\\
\overline A & x & 40 & x+40
\end{array}.\]
Déterminer \(x\) pour que la fréquence de \(B\) soit la même dans les deux lignes. Vérifier ensuite le critère \(ad=bc\) .
Exercice 14 ★★★ : Une moyenne pondérée de proportions
Un premier site compte 200 personnes et un taux de réponse de 75 %. Un second site compte 300 personnes et un taux de réponse de 60 %.
Calculer le taux global de réponse de deux façons : avec les effectifs, puis avec une moyenne pondérée. Expliquer pourquoi la moyenne simple de 75 % et 60 % ne convient pas.
Exercice 15 ★★★ : Retrouver une fréquence conditionnelle
La population est partagée entre \(A\) et \(\overline A\) . On sait que
\[f(B)=0{,}54,\qquad f(A)=0{,}40,\qquad f_A(B)=0{,}75.\]
Montrer que
\[f(B)=f(A)f_A(B)+\bigl(1-f(A)\bigr)f_{\overline A}(B).\]
En déduire \(f_{\overline A}(B)\) .
Interpréter la différence entre les deux fréquences conditionnelles.
Problème défi : évaluer un programme de tutorat Intuition · Objectif
Ce problème montre pourquoi un taux global peut donner une conclusion opposée aux comparaisons détaillées. Toutes les questions sont guidées : les calculs simples construisent progressivement l'explication.
Un lycée étudie la réussite de 230 élèves à une évaluation. Certains ont suivi un tutorat. Les élèves sont également classés selon leur niveau initial : standard ou fragile .
Niveau standard Réussite Échec Total Avec tutorat 18 2 20 Sans tutorat 80 20 100 Total 98 22 120
Niveau fragile Réussite Échec Total Avec tutorat 60 40 100 Sans tutorat 5 5 10 Total 65 45 110
Partie A - Construire la vue d'ensemble
Identifier la population et les trois variables observées. Préciser leur nature.
Vérifier les totaux des deux tableaux.
Construire le tableau croisant seulement tutorat et réussite, sans distinguer le niveau initial.
Calculer les fréquences marginales du tutorat et de la réussite.
Calculer la fréquence de réussite parmi les élèves tutorés.
Calculer la fréquence de réussite parmi les élèves non tutorés.
Quelle conclusion naïve donnerait la seule comparaison globale ?
Partie B - Comparer à niveau initial fixé
Dans le niveau standard, calculer les taux de réussite avec et sans tutorat.
Dans le niveau fragile, calculer les taux de réussite avec et sans tutorat.
Comparer ces résultats avec la conclusion de la question 7.
Nommer le phénomène observé.
Partie C - Comprendre le renversement
Parmi les élèves tutorés, calculer la fréquence du niveau fragile.
Parmi les élèves non tutorés, calculer la fréquence du niveau fragile.
Expliquer en quoi la composition des groupes est très différente.
Retrouver le taux global de réussite des tutorés comme moyenne pondérée de 90 % et 60 %.
Faire le même travail pour les non-tutorés avec 80 % et 50 %.
Partie D - Comparer avec les mêmes poids
Calculer le taux standardisé des tutorés en donnant un poids \(1/2\) à chaque niveau.
Calculer de même le taux standardisé des non-tutorés.
Comparer ces deux taux en points de pourcentage.
Pourquoi cette standardisation est-elle plus équitable pour comparer les groupes ?
Partie E - Généraliser et garder un esprit critique
On note \(S\) le niveau standard, \(F\) le niveau fragile, \(T\) le tutorat et \(R\) la réussite.
Montrer que
\[f_T(R)=f_T(S)f_{T\cap S}(R)+f_T(F)f_{T\cap F}(R).\]
Expliquer comment des poids très différents peuvent renverser la comparaison globale.
Peut-on conclure que le tutorat cause une meilleure réussite ? Rédiger une réponse prudente et proposer une information supplémentaire utile.
Attention · Avant le corrigé
Dans chaque fraction, vérifie le groupe de référence. Une phrase comme « 60 % réussissent » est incomplète tant que l'on ne sait pas parmi quels élèves.
Corrigés détaillés Corrigé 1
Démonstration · Nommer ce qui est observé
La population est l'ensemble des 80 foyers interrogés ; un individu est l'un de ces foyers.
Le type principal de chauffage est qualitatif nominal : gaz, électricité, bois, etc. ne sont pas naturellement ordonnés.
Le degré de satisfaction est qualitatif ordinal : faible \(<\) moyen \(<\) élevé.
La facture mensuelle est quantitative, en pratique continue si elle est exprimée en euros et centimes.
Corrigé 2
Démonstration · Soustraire au total
Dans la ligne de \(A\) , la case manquante vaut
\[60-36=\boxed{24}.\]
On contrôle avec la colonne de \(\overline B\) :
\[24+16=40.\]
Les deux marges donnent bien \(60+40=100\) .
\(B\) \(\overline B\) Total \(A\) 36 24 60 \(\overline A\) 24 16 40 Total 60 40 100
Corrigé 3
Démonstration · Le total \(N=160\) est le dénominateur
Les quatre fréquences demandées sont globales ou marginales : le dénominateur est donc toujours 160.
\[\begin{aligned}f(A) &=\frac{50}{160}=\boxed{31{,}25\,\%},\\f(H) &=\frac{124}{160}=\boxed{77{,}5\,\%}.\end{aligned}\]
\[f(A\cap\overline H)=\frac8{160}=\boxed{5\,\%},
\qquad
f(M)=\frac{40}{160}=\boxed{25\,\%}.\]
Corrigé 4
Démonstration · Lire le symbole de gauche à droite
\[f_A(H)=\frac{\operatorname{Card}(A\cap H)}{\operatorname{Card}(A)}
=\frac{42}{50}=\boxed{84\,\%}.\]
Parmi les utilisateurs d'un transport actif, 84 % sont ponctuels.
\[f_H(A)=\frac{42}{124}\approx\boxed{33{,}9\,\%}.\]
Parmi les élèves ponctuels, environ 33,9 % utilisent un transport actif.
\[f_M(H)=\frac{24}{40}=\boxed{60\,\%}.\]
Parmi les utilisateurs d'un transport motorisé, 60 % sont ponctuels.
Corrigé 5
Démonstration · Le dénominateur révèle la question
\(12/70\approx17{,}1\,\%\) : parmi les 70 élèves en transports en commun, 12 sont en retard. C'est une fréquence conditionnelle.
\(12/36=33{,}3\,\%\) : parmi les 36 élèves en retard, 12 utilisent les transports en commun. C'est l'autre conditionnement.
\(24/160=15\,\%\) : dans toute la population, 24 élèves sont motorisés et ponctuels. C'est une fréquence globale d'intersection.
Les deux premières fractions ont le même numérateur 12, mais elles répondent à deux questions différentes.
Corrigé 6
Démonstration · Chaque colonne totalise 100 %
Actif Transports Motorisé À l'heure \(84{,}0\,\%\) \(82{,}9\,\%\) \(60{,}0\,\%\) En retard \(16{,}0\,\%\) \(17{,}1\,\%\) \(40{,}0\,\%\) Total \(100\,\%\) \(100\,\%\) \(100\,\%\)
Dans ces données, le taux de ponctualité du groupe motorisé est inférieur de 24 points à celui du groupe actif et d'environ 22,9 points à celui des transports en commun. Cela décrit une association, pas une cause.
Corrigé 7
Démonstration · Du pourcentage à la case
Parmi les 240 abonnés, l'effectif premium vaut
\[0{,}35\times240=84.\]
Comme il y a 150 clients premium au total, \(150-84=66\) ne sont pas abonnés. On complète par soustraction.
Premium Standard Total Abonnés 84 156 240 Non-abonnés 66 294 360 Total 150 450 600
Parmi les non-abonnés,
\[\frac{66}{360}\approx\boxed{18{,}3\,\%}\]
choisissent le premium. L'écart avec les abonnés vaut
\[35-18{,}3=\boxed{16{,}7\ \text{points environ}}.\]
Corrigé 8
Démonstration · Deux comparaisons correctes mais différentes
L'écart absolu entre les proportions vaut
\[72\,\%-60\,\%=\boxed{12\ \text{points de pourcentage}}.\]
L'augmentation relative, en prenant 60 % comme valeur de départ, vaut
\[\frac{72-60}{60}=\frac{12}{60}=0{,}20=\boxed{20\,\%}.\]
Les 12 points comparent directement deux proportions. Les 20 % indiquent que l'écart 12 représente un cinquième de la proportion de départ 60.
Corrigé 9
Démonstration · Éviter le double comptage
\[\begin{aligned}\operatorname{Card}(A\cup H) &= \operatorname{Card}(A) +\operatorname{Card}(H)\\&\quad {}-\operatorname{Card}(A\cap H).\end{aligned}\]
Ainsi,
\[\operatorname{Card}(A\cup H)=50+124-42=\boxed{132}.\]
Il reste
\[160-132=\boxed{28}\]
élèves qui ne sont ni actifs ni ponctuels. Dans \(50+124\) , les 42 élèves de l'intersection sont comptés deux fois : on les retire une fois.
Corrigé 10
Démonstration · Compter les couples
Les couples observés donnent :
Oui Non Total Groupe A 2 2 4 Groupe B 2 2 4 Total 4 4 8
Dans chaque groupe, la fréquence de « oui » vaut \(2/4=\boxed{50\,\%}\) . Les distributions conditionnelles sont identiques dans ces huit données : aucune association n'y apparaît. Avec un si petit effectif, cette conclusion reste très fragile.
Corrigé 11
Démonstration · Appliquer 28 % au bon groupe
Le groupe \(A\) contient 150 personnes. Donc
\[\operatorname{Card}(A\cap B)=0{,}28\times150=\boxed{42}.\]
Il y a alors \(150-42=108\) personnes de \(A\) dans \(\overline B\) . Comme \(B\) contient 100 personnes au total, \(100-42=58\) sont dans \(\overline A\cap B\) . Enfin, \(\overline A\) contient \(400-150=250\) personnes, donc \(250-58=192\) sont dans \(\overline A\cap\overline B\) .
\(B\) \(\overline B\) Total \(A\) 42 108 150 \(\overline A\) 58 192 250 Total 100 300 400
Corrigé 12
Démonstration · Ne jamais inverser le conditionnement
Parmi les malades, la fréquence des tests positifs est
\[\frac{90}{100}=\boxed{90\,\%}.\]
Parmi les non-malades, la fréquence des tests négatifs est
\[\frac{855}{900}=\boxed{95\,\%}.\]
Mais parmi les tests positifs, la fréquence des personnes malades vaut
\[\frac{90}{135}=\frac23\approx\boxed{66{,}7\,\%}.\]
La première fraction conditionne par « malade » ; la troisième par « test positif ». Le numérateur 90 est identique, mais les groupes de référence, 100 et 135, diffèrent. La fréquence de la maladie dans la population intervient donc dans la composition du groupe des tests positifs.
Corrigé 13
Démonstration · Égaliser les deux fréquences
La fréquence de \(B\) dans la première ligne vaut
\[\frac{30}{30+20}=\frac35.\]
On veut donc
\[\frac{x}{x+40}=\frac35.\]
Le produit en croix donne \(5x=3x+120\) , donc
\[\boxed{x=60}.\]
Avec \(a=30\) , \(b=20\) , \(c=60\) et \(d=40\) ,
\[ad=30\times40=1200
\qquad\text{et}\qquad
bc=20\times60=1200.\]
Le critère \(ad=bc\) est vérifié.
Corrigé 14
Démonstration · Pondérer par les tailles
Le premier site fournit \(0{,}75\times200=150\) réponses ; le second en fournit \(0{,}60\times300=180\) . Le taux global est donc
\[\frac{150+180}{200+300}=\frac{330}{500}=\boxed{66\,\%}.\]
Avec une moyenne pondérée,
\[\begin{aligned}&\frac{200}{500}\times75\,\% +\frac{300}{500}\times60\,\%\\&= 30\,\% +36\,\% = 66\,\%.\end{aligned}\]
La moyenne simple \(67{,}5\,\%\) donnerait le même poids aux deux sites alors que le second est plus grand.
Corrigé 15
Démonstration · Décomposer selon \(A\) et \(\overline A\)
Les ensembles \(A\) et \(\overline A\) forment une partition. La formule de moyenne pondérée donne
\[f(B)=f(A)f_A(B)+f(\overline A)f_{\overline A}(B),\]
avec \(f(\overline A)=1-f(A)\) . En notant \(x=f_{\overline A}(B)\) ,
\[0{,}54=0{,}40\times0{,}75+0{,}60x.\]
Ainsi,
\[0{,}54=0{,}30+0{,}60x,
\qquad
x=\frac{0{,}24}{0{,}60}=\boxed{0{,}40}.\]
La fréquence de \(B\) vaut 75 % parmi \(A\) , contre 40 % parmi \(\overline A\) , soit un écart de 35 points. Dans ces données, les variables sont donc fortement associées.
Corrigé du problème défi Partie A - Vue d'ensemble
Démonstration · Questions 1 à 7
1. La population est constituée des 230 élèves. Les trois variables sont le suivi du tutorat (oui/non), le niveau initial (standard/fragile) et le résultat (réussite/échec). Elles sont toutes qualitatives ; le niveau initial peut être considéré comme ordinal.
2. Pour le niveau standard, \(18+2+80+20=120\) . Pour le niveau fragile, \(60+40+5+5=110\) . On retrouve \(120+110=230\) élèves.
3. On additionne les deux niveaux case par case.
Réussite Échec Total Avec tutorat 78 42 120 Sans tutorat 85 25 110 Total 163 67 230
4. Les fréquences marginales principales sont
\[\begin{aligned}f(T) &=\frac{120}{230}\approx\boxed{52{,}2\,\%},\\f(R) &=\frac{163}{230}\approx\boxed{70{,}9\,\%}.\end{aligned}\]
5. Parmi les élèves tutorés,
\[f_T(R)=\frac{78}{120}=\boxed{65\,\%}.\]
6. Parmi les élèves non tutorés,
\[f_{\overline T}(R)=\frac{85}{110}\approx\boxed{77{,}3\,\%}.\]
7. Une lecture globale naïve dirait que le groupe sans tutorat réussit davantage, avec environ 12,3 points de plus. Cette phrase décrit le tableau global mais ne tient pas compte du niveau initial.
Partie B - Comparaison à niveau fixé
Démonstration · Questions 8 à 11
8. Dans le niveau standard,
\[\begin{aligned}f_{T\cap S}(R) &=\frac{18}{20}=\boxed{90\,\%},\\f_{\overline T\cap S}(R) &=\frac{80}{100}=\boxed{80\,\%}.\end{aligned}\]
Le taux tutoré est supérieur de 10 points.
9. Dans le niveau fragile,
\[\begin{aligned}f_{T\cap F}(R) &=\frac{60}{100}=\boxed{60\,\%},\\f_{\overline T\cap F}(R) &=\frac5{10}=\boxed{50\,\%}.\end{aligned}\]
Le taux tutoré est encore supérieur de 10 points.
10. Dans chaque niveau, le tutorat est associé à un taux supérieur ; pourtant, dans l'ensemble, son taux est inférieur. La comparaison globale est donc renversée.
11. Ce phénomène s'appelle le paradoxe de Simpson . Il ne s'agit pas d'une contradiction : les groupes globaux n'ont pas la même composition.
Partie C - Composition et pondération
Démonstration · Questions 12 à 16
12. Parmi les tutorés,
\[f_T(F)=\frac{100}{120}\approx\boxed{83{,}3\,\%}.\]
13. Parmi les non-tutorés,
\[f_{\overline T}(F)=\frac{10}{110}\approx\boxed{9{,}1\,\%}.\]
14. Le groupe tutoré est composé en très grande majorité d'élèves fragiles, dont les taux de réussite sont plus faibles dans les deux situations. Le groupe non tutoré contient surtout des élèves de niveau standard. Cette différence de composition pèse fortement sur les taux globaux.
15. Pour les tutorés,
\[\begin{aligned}&\frac{20}{120}\times90\,\% +\frac{100}{120}\times60\,\%\\&= 15\,\% +50\,\% = \boxed{65\,\%}.\end{aligned}\]
16. Pour les non-tutorés,
\[\begin{aligned}&\frac{100}{110}\times80\,\% +\frac{10}{110}\times50\,\%\\&= \frac{80+5}{110}\\&\approx \boxed{77{,}3\,\%}.\end{aligned}\]
Les poids associés aux niveaux standard et fragile sont presque inversés entre les deux groupes.
Partie D - Standardisation
Démonstration · Questions 17 à 20
17. Avec un poids \(1/2\) pour chaque niveau,
\[\frac12\times90\,\%+\frac12\times60\,\%=\boxed{75\,\%}.\]
18. Pour les non-tutorés,
\[\frac12\times80\,\%+\frac12\times50\,\%=\boxed{65\,\%}.\]
19. L'écart standardisé vaut
\[75\,\%-65\,\%=\boxed{10\ \text{points de pourcentage}}.\]
20. Les deux taux utilisent maintenant exactement les mêmes poids pour les niveaux. La différence ne provient donc plus du fait que l'un des groupes contient davantage d'élèves fragiles. La comparaison est plus équitable sur ce facteur précis, mais d'autres différences peuvent encore exister.
Partie E - Généralisation et prudence
Démonstration · Questions 21 à 23
21. Les tutorés sont partagés entre \(T\cap S\) et \(T\cap F\) . La formule de décomposition donne
\[f_T(R)
=f_T(S)f_{T\cap S}(R)+f_T(F)f_{T\cap F}(R).\]
Numériquement,
\[\begin{aligned}&\frac{20}{120}\times\frac{18}{20} +\frac{100}{120}\times\frac{60}{100}\\&= \frac{18+60}{120} = \frac{78}{120}.\end{aligned}\]
22. Un taux global est une moyenne pondérée. Même si chacun des deux taux tutorés est supérieur au taux non tutoré correspondant, un poids très fort sur le niveau fragile peut faire baisser la moyenne tutorée sous l'autre moyenne globale.
23. On ne peut pas conclure à une causalité : les élèves n'ont peut-être pas été répartis au hasard, et le tutorat a pu être proposé prioritairement aux élèves les plus en difficulté. Il serait utile de disposer de scores initiaux plus précis, d'autres caractéristiques pertinentes ou, si le cadre le permet, d'une comparaison construite avec des groupes initialement comparables.
Fiche-mémoire Schéma : Fiche-mémoire Définition · Tableau croisé
Une case intérieure représente une intersection. Les marges sont les totaux des lignes et colonnes.
Définition · Fréquence globale
\[f(A\cap B)=\frac{n(A\cap B)}{N}.\]
Le dénominateur est toute la population.
Définition · Fréquence marginale
\[f(A)=\frac{n(A)}{N}.\]
Elle se lit dans une marge du tableau.
Méthode · ET, OU, NON
\[\text{ET}\leftrightarrow\cap,\quad
\text{OU}\leftrightarrow\cup,\quad
\text{NON }A\leftrightarrow\overline A.\]
Définition · Fréquence conditionnelle
\[f_A(B)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}.\]
« Parmi \(A\) » signifie que \(A\) fournit le dénominateur.
Méthode · Décomposition
Si les \(A_i\) forment une partition,
\[f(B)=\sum_i f(A_i)f_{A_i}(B).\]
C'est une moyenne pondérée.
Méthode · Comparer
calcule les taux de chaque groupe ;
compare en points de pourcentage ;
précise « dans ces données » ;
ne conclus pas automatiquement à une cause.
Méthode · Indépendance observée
Dans un tableau \(2\times2\) , mêmes distributions conditionnelles
\[\ssi ad=bc.\]
Attention · Les quatre pièges
Inverser \(f_A(B)\) et \(f_B(A)\) ; diviser par \(N\) quand la question dit « parmi » ; comparer des effectifs lorsque les groupes n'ont pas la même taille ; transformer une association en causalité.
Réflexe final : écris le groupe de référence avant chaque calcul. Le dénominateur devient alors presque toujours évident.
Maîtrise du chapitre
Validation contrôlée
Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.
Parcours de maîtrise
Entraînement libre
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