Statistiques à une variable · Seconde générale

Pourquoi étudier les statistiques ?

Une liste de centaines de valeurs est souvent illisible. Les statistiques cherchent à la résumer sans mentir : où se situe son centre, comment les valeurs se dispersent-elles, existe-t-il des valeurs inhabituelles, et comment comparer deux groupes ?

Vocabulaire et organisation des données

Population, individus et caractère

Effectifs et fréquences

Représenter une série statistique

Diagramme en bâtons

Pour une variable quantitative discrète, chaque valeur est représentée par un bâton dont la hauteur est proportionnelle à son effectif ou à sa fréquence.

Effectifs cumulés et fréquences cumulées

Pour la série des livres, les effectifs cumulés sont $$2,7,14,18,20$$ . Ils permettent de localiser immédiatement la médiane et les quartiles.

La moyenne

Moyenne simple et moyenne pondérée

Linéarité de la moyenne

Ajouter, retirer ou réunir des données

Médiane et quartiles

La médiane partage la série en deux

Les quartiles

Boîte à moustaches

Une boîte à moustaches représente le minimum, $$Q_1$$ , la médiane, $$Q_3$$ et le maximum.

Mesurer la dispersion

Étendue et écart interquartile

Variance et écart type

Données regroupées en classes

Pourquoi regrouper ?

Pour une variable continue, les valeurs exactes peuvent être très nombreuses. On les regroupe en intervalles appelés classes. La classe $$[10;20[$$ contient $$10$$ mais pas $$20$$ .

Histogramme

Moyenne estimée avec les centres de classes

Classe médiane et interpolation

Les fréquences cumulées de l'exemple sont $$0{,}10$$ , $$0{,}40$$ , $$0{,}80$$ , $$1$$ . La fréquence $$0{,}50$$ est atteinte dans $$[20;30[$$ : c'est la classe médiane.

Comparer deux séries

Calculer avec Python

from math import sqrt

def indicateurs(valeurs):
    n = len(valeurs)
    moyenne = sum(valeurs) / n
    variance = sum((x - moyenne)**2 for x in valeurs) / n
    return moyenne, sqrt(variance)

serie = [0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2,
         2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4]
print(indicateurs(serie))  # (1.95, environ 1.117)

Pour aller plus loin - Accessible à tous

Une formule plus rapide pour la variance

Transformer l'écart type

Pourquoi la moyenne est-elle un centre naturel ?

Score centré-réduit

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices progressifs

Exercice 1 ★☆☆ : Vocabulaire statistique

On étudie le temps, en minutes, mis par chacun des 50 salariés d'une entreprise pour venir travailler.

Identifier la population, un individu, le caractère étudié, sa nature et une unité adaptée. Expliquer pourquoi le temps n'est pas, en théorie, un caractère discret.

Exercice 2 ★☆☆ : Effectifs et fréquences

Le nombre de livres lus pendant un mois par 20 élèves est résumé ci-dessous.

Nombre de livres $$x_i$$	0	1	2	3	4
Effectif $$n_i$$	2	5	7	4	2

Vérifier l'effectif total.
Calculer les fréquences, puis les effectifs cumulés croissants.
Quelle proportion d'élèves a lu au moins deux livres ?

Exercice 3 ★☆☆ : Calculer une moyenne

Avec les données de l'exercice 2, calculer le nombre moyen de livres lus. Interpréter le résultat sans prétendre qu'un élève a nécessairement lu ce nombre de livres.

Exercice 4 ★☆☆ : Réunir deux groupes

Dans la classe A, 24 élèves ont obtenu une moyenne de $$12{,}5$$ . Dans la classe B, 36 élèves ont obtenu une moyenne de $$14{,}5$$ .

Calculer la moyenne des 60 élèves. Pourquoi la moyenne globale n'est-elle pas la moyenne simple de $$12{,}5$$ et $$14{,}5$$ ?

Exercice 5 ★☆☆ : Retrouver une valeur

Neuf nombres ont pour moyenne 12. Huit d'entre eux sont

8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15.

Déterminer le neuvième nombre et vérifier le résultat.

Exercice 6 ★★☆ : Médiane et quartiles

Reprendre la série de l'exercice 2. Déterminer la médiane, le premier quartile $$Q_1$$ , le troisième quartile $$Q_3$$ , l'étendue et l'écart interquartile. Justifier chaque réponse avec un rang ou un effectif cumulé.

Exercice 7 ★★☆ : Boîte à moustaches

On considère la série ordonnée

2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 6,\ 7,\ 8,\ 10,\ 12.

Déterminer le minimum, $$Q_1$$ , la médiane, $$Q_3$$ et le maximum.
Calculer l'étendue et l'écart interquartile.
Tracer la boîte à moustaches sur un axe gradué de 0 à 12.

Exercice 8 ★★☆ : Même moyenne, dispersions différentes

On compare les deux séries

\begin{aligned}&A: 9,\ 10,\ 10,\ 10,\ 11\\&\text{et}\quad B: 0,\ 5,\ 10,\ 15,\ 20.\end{aligned}

Calculer, pour chacune, la moyenne, la variance et l'écart type. Interpréter la comparaison.

Exercice 9 ★★☆ : Changement d'unité

Une température $$X$$ , exprimée en degrés Celsius, a pour moyenne $$18$$ et pour écart type $$3{,}5$$ . On la convertit en degrés Fahrenheit par

\[Y=1{,}8X+32.\]

Déterminer la moyenne et l'écart type de $$Y$$ . Expliquer pourquoi ajouter 32 ne modifie pas l'écart type.

Exercice 10 ★★☆ : Ajouter ou retirer une donnée

Une série de 30 valeurs a pour moyenne 14.

On ajoute la valeur 20. Calculer la nouvelle moyenne.
En repartant de la série initiale, on retire une valeur égale à 8. Calculer la nouvelle moyenne.
Dans chaque cas, expliquer le sens de la variation avant même de calculer.

Exercice 11 ★★☆ : Données regroupées en classes

Les durées, en minutes, de 20 trajets sont regroupées ainsi.

Durée	$$[0;10[$$	$$[10;20[$$	$$[20;30[$$	$$[30;40[$$
Effectif	2	6	8	4

Calculer les fréquences et les fréquences cumulées croissantes.
Tracer l'histogramme. Pourquoi peut-on prendre les effectifs comme hauteurs ici ?
Estimer la moyenne à l'aide des centres des classes.
Déterminer la classe médiane, puis estimer la médiane en supposant une répartition uniforme dans cette classe.

Exercice 12 ★★☆ : Comparer sans surinterpréter

Deux séries $$C$$ et $$D$$ ont les résumés suivants.

	Moyenne	Écart type	Médiane	Écart interquartile
$$C$$	50	4	49	5
$$D$$	53	12	50	6

Comparer le niveau central et la dispersion des deux séries. Donner ensuite une affirmation que ces seuls indicateurs ne permettent pas de justifier.

Exercice 13 ★★★ : Une moyenne pondérée trompeuse

Une usine possède deux lignes de production. La première fabrique 80 pièces de masse moyenne 102 g ; la seconde en fabrique 120 de masse moyenne 98 g.

Calculer la masse moyenne des 200 pièces. Un élève affirme : « La moyenne vaut 100 g, car 100 est au milieu de 98 et 102. » Expliquer précisément son erreur.

Exercice 14 ★★★ : Formule raccourcie de la variance

La série suivante est donnée par effectifs.

$$x_i$$	1	2	3
$$n_i$$	2	4	2

Calculer $\overline{x}$ et la moyenne des carrés $\dfrac1N\sum n_ix_i^2$ .
Utiliser $V=\dfrac1N\sum n_ix_i^2-\overline{x}^{2}$ pour calculer la variance et l'écart type.
Vérifier la variance avec la définition fondée sur les écarts à la moyenne.

Exercice 15 ★★★ : La meilleure valeur centrale

Pour les données $$2$$ , $$5$$ et $$8$$ , on pose

\[S(a)=(2-a)^2+(5-a)^2+(8-a)^2.\]

Calculer la moyenne de la série.
Montrer que $$S(a)=3(a-5)^2+18$$ .
En déduire la valeur de $$a$$ qui minimise $$S(a)$$ et interpréter ce résultat.

Problème défi : deux stations de mesure

Deux stations mesurent chaque jour une même grandeur. Durant une première période de 20 jours, on obtient les tableaux suivants.

Station A : valeur	10	12	14	16	18
Effectif	2	4	8	4	2

Station B : valeur	8	11	14	17	20
Effectif	2	4	8	4	2

Partie A : Étudier la station A

Vérifier que l'effectif total est 20.
Calculer les fréquences et les effectifs cumulés croissants.
Calculer la moyenne.
Déterminer la médiane.
Déterminer $$Q_1$$ , $$Q_3$$ et l'écart interquartile.
Calculer la variance et l'écart type, arrondi au centième.

Partie B : Comparer avec la station B

Calculer la moyenne de B.
Déterminer sa médiane, ses quartiles et son écart interquartile.
Calculer sa variance et son écart type, arrondi au centième.
Comparer les deux stations avec une phrase complète portant sur la position et la dispersion.

Partie C : Une seconde semaine, données regroupées

La station A fournit 20 nouvelles durées, regroupées en classes de même amplitude.

Durée	$$[0;10[$$	$$[10;20[$$	$$[20;30[$$	$$[30;40[$$
Effectif	2	6	8	4

Calculer les fréquences et les fréquences cumulées.
Tracer l'histogramme.
Estimer la moyenne à l'aide des centres des classes.
Identifier la classe médiane.
En supposant les valeurs uniformément réparties dans cette classe, estimer la médiane par interpolation linéaire.
Expliquer pourquoi les réponses aux questions 13 et 15 sont des estimations.

Partie D : Calibrer la station A

Après étalonnage, chaque valeur $$X$$ de la première période est remplacée par

\[Y=1{,}2X-2.\]

Calculer la moyenne de $$Y$$ .
Déterminer la médiane, $$Q_1$$ et $$Q_3$$ de $$Y$$ .
Déterminer l'écart type de $$Y$$ .
Déterminer sa variance.

Partie E : Regrouper les deux stations

On réunit les 20 mesures de A et les 20 mesures de B de la première période.

Calculer la moyenne des 40 mesures.
Les deux séries ayant la même moyenne, montrer que la variance de la série réunie est la moyenne de leurs variances. En déduire l'écart type global.
Classer A, B et la série réunie de la plus homogène à la plus dispersée. Justifier.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Démonstration · Du comptage aux fréquences

L'effectif total est

\[N=2+5+7+4+2=20.\]

On divise chaque effectif par 20.

$$x_i$$	0	1	2	3	4
$$n_i$$	2	5	7	4	2
$$f_i$$	$$0{,}10$$	$$0{,}25$$	$$0{,}35$$	$$0{,}20$$	$$0{,}10$$
Effectif cumulé	2	7	14	18	20

Contrôle : $$0{,}10+0{,}25+0{,}35+0{,}20+0{,}10=1$$ .

Au moins deux livres signifie 2, 3 ou 4 livres. Il y a $$7+4+2=13$$ élèves, soit

\frac{13}{20}=0{,}65=\boxed{65\,\%}.

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Démonstration · Des classes aux estimations

Les fréquences sont $$0{,}10$$ , $$0{,}30$$ , $$0{,}40$$ et $$0{,}20$$ . Leurs valeurs cumulées sont

0{,}10,\quad0{,}40,\quad0{,}80,\quad1.

Toutes les classes ont la même amplitude, 10 minutes : on peut donc prendre les effectifs comme hauteurs de l'histogramme. Sinon, il faudrait comparer des aires et utiliser des densités.

Les centres sont 5, 15, 25 et 35. La moyenne estimée vaut

\begin{aligned}\overline{x} &\approx \frac{2\times5+6\times15+8\times25+4\times35}{20} = \frac{440}{20}\\&= \boxed{22\ \text{min}}.\end{aligned}

Le rang médian se situe autour de 10. Or 8 valeurs sont inférieures à 20 et 16 sont inférieures à 30 : la classe médiane est $\boxed{[20;30[}$ .

Il faut parcourir $$10-8=2$$ positions parmi les 8 valeurs supposées uniformément réparties dans cette classe, soit $$2/8$$ de sa largeur :

20+\frac{2}{8}\times10=\boxed{22{,}5\ \text{min}}.

Ces deux résultats sont des estimations, car les valeurs exactes à l'intérieur des classes sont inconnues.

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème défi

Partie A : Station A

Démonstration · Questions 1 à 6

1. L'effectif total est $2+4+8+4+2=\boxed{20}$ .

2. On obtient :

Valeur	10	12	14	16	18
Fréquence	$$0{,}10$$	$$0{,}20$$	$$0{,}40$$	$$0{,}20$$	$$0{,}10$$
Effectif cumulé	2	6	14	18	20

3. La distribution est symétrique autour de 14. Le calcul confirme :

\begin{aligned}\overline{x}_A &= \frac{2\times10+4\times12+8\times14+4\times16+2\times18}{20}\\&= \frac{280}{20} = \boxed{14}.\end{aligned}

4. Les rangs 10 et 11 appartiennent au groupe de valeur 14, donc $\mathrm{Med}_A=\boxed{14}$ .

5. Le rang de $$Q_1$$ est 5 : $Q_{1,A}=12$ . Le rang de $$Q_3$$ est 15 : $Q_{3,A}=16$ . Ainsi,

IQR_A=16-12=\boxed{4}.

6. En exploitant les écarts à 14,

\begin{aligned}&V_A\\&= \frac{\begin{aligned}&2(-4)^2 +4(-2)^2 +8(0)^2 +4(2)^2\\&\quad {}+2(4)^2\end{aligned}}{20}\\&= \frac{96}{20} = \boxed{4{,}8}.\end{aligned}

Donc

\sigma_A=\sqrt{4{,}8}\approx\boxed{2{,}19}.

Partie B : Station B

Démonstration · Questions 7 à 10

7. La distribution est elle aussi symétrique autour de 14 :

\begin{aligned}\overline{x}_B &= \frac{2\times8+4\times11+8\times14+4\times17+2\times20}{20}\\&= \frac{280}{20} = \boxed{14}.\end{aligned}

8. Les rangs 10 et 11 valent 14, donc $\mathrm{Med}_B=14$ . Les rangs 5 et 15 valent respectivement 11 et 17 :

Q_{1,B}=11,\qquad Q_{3,B}=17, \qquad IQR_B=\boxed{6}.

9. Avec les écarts $$-6$$ , $$-3$$ , 0, 3 et 6,

V_B=\frac{2\times36+4\times9+8\times0+4\times9+2\times36}{20} =\frac{216}{20}=\boxed{10{,}8},

d'où

\sigma_B=\sqrt{10{,}8}\approx\boxed{3{,}29}.

10. Les deux stations ont le même centre : moyenne et médiane égales à 14. En revanche, A est plus homogène, car son écart interquartile et son écart type sont plus petits : $$4<6$$ et $$2{,}19<3{,}29$$ .

Partie C : Données regroupées

Démonstration · Questions 11 à 16

11. Les fréquences sont $$0{,}10$$ , $$0{,}30$$ , $$0{,}40$$ et $$0{,}20$$ ; les fréquences cumulées sont $$0{,}10$$ , $$0{,}40$$ , $$0{,}80$$ et 1.

12. Les classes ont toutes une largeur de 10 minutes. Un histogramme correct comporte donc quatre rectangles jointifs de hauteurs 2, 6, 8 et 4.

13. Les centres 5, 15, 25 et 35 donnent

\overline{x}\approx \frac{2\times5+6\times15+8\times25+4\times35}{20} =\boxed{22\ \text{min}}.

14. Le seuil médian est au rang 10. Il est atteint dans $\boxed{[20;30[}$ , car l'effectif cumulé passe de 8 à 16.

15. Il reste $$10-8=2$$ valeurs à parcourir parmi les 8 de cette classe. Sous l'hypothèse uniforme,

m\approx20+\frac{2}{8}\times(30-20) =\boxed{22{,}5\ \text{min}}.

16. Les positions exactes dans chaque classe sont inconnues. Remplacer chaque classe par son centre et supposer une répartition uniforme sont deux modèles utiles, mais ils ne reconstituent pas les données initiales.

Partie D : Calibrage affine

Partie E : Série réunie

Démonstration · Questions 21 à 23

21. Les groupes ont chacun 20 valeurs et une moyenne égale à 14 :

\overline{x}_{A\cup B} =\frac{20\times14+20\times14}{40} =\boxed{14}.

22. Tous les écarts sont mesurés à la même moyenne 14. La somme des carrés des écarts de A vaut $$20V_A$$ et celle de B vaut $$20V_B$$ . Ainsi,

\begin{aligned}V_{A\cup B} &= \frac{20V_A+20V_B}{40} = \frac{V_A+V_B}{2}\\&= \frac{4{,}8+10{,}8}{2} = \boxed{7{,}8}.\end{aligned}

Donc

\sigma_{A\cup B}=\sqrt{7{,}8}\approx\boxed{2{,}79}.

23. Les écarts types vérifient

\[2{,}19<2{,}79<3{,}29.\]

Le classement de la plus homogène à la plus dispersée est donc

\boxed{\begin{aligned} \text{station A} &< \text{série réunie}\\ &< \text{station B} \end{aligned}}.

La variance globale est bien intermédiaire, car elle est ici la moyenne des deux variances. Cette conclusion utilise le fait essentiel que les deux groupes ont la même moyenne.

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Nombre $\(x_i\)$	0	1	2	3	4	Total
Effectif $\(n_i\)$	2	5	7	4	2	20
Fréquence $\(f_i\)$	$\(0{,}10\)$	$\(0{,}25\)$	$\(0{,}35\)$	$\(0{,}20\)$	$\(0{,}10\)$	1

Durée en minutes	$\([0;10[\)$	$\([10;20[\)$	$\([20;30[\)$	$\([30;40[\)$	Total
Effectif	2	6	8	4	20
Fréquence	$\(0{,}10\)$	$\(0{,}30\)$	$\(0{,}40\)$	$\(0{,}20\)$	1

$\(x_i\)$	0	1	2	3	4
$\(n_i\)$	2	5	7	4	2
$\(f_i\)$	$\(0{,}10\)$	$\(0{,}25\)$	$\(0{,}35\)$	$\(0{,}20\)$	$\(0{,}10\)$
Effectif cumulé	2	7	14	18	20