Probabilités conditionnelles et arbres · Seconde générale

Pourquoi modéliser le hasard ?

Quand on lance une pièce, on ne peut pas prévoir le résultat du prochain lancer. Pourtant, on peut décrire les résultats possibles et mesurer leurs chances. Les probabilités ne suppriment pas le hasard : elles construisent un modèle pour raisonner malgré l'incertitude.

Expérience, issues et évènements

L'univers rassemble toutes les issues

Traduire avec les ensembles

Loi de probabilité sur un univers fini

Probabilités des issues

Exemple · Une roue non équilibrée

Une roue porte les lettres $$a,b,c,d$$ avec les probabilités suivantes.

Issue	$$a$$	$$b$$	$$c$$	$$d$$
Probabilité	$$0{,}15$$	$$0{,}25$$	$$0{,}40$$	$$0{,}20$$

Si $V=\{a,c\}$ , alors $$P(V)=0{,}15+0{,}40=0{,}55$$ .

Le cas de l'équiprobabilité

Calculer avec les évènements

Évènement contraire

Réunion de deux évènements

Probabilités conditionnelles

Réduire l'univers au groupe connu

Exemple · Depuis un tableau d'effectifs

On choisit au hasard un élève parmi 200.

	Musique	Pas musique	Total
Sport	72	48	120
Pas sport	28	52	80
Total	100	100	200

Avec $$S$$ : « pratique un sport » et $$M$$ : « pratique la musique »,

P_S(M)=\frac{72}{120}=0{,}60, \qquad P_M(S)=\frac{72}{100}=0{,}72.

Retrouver une intersection

Construire un arbre pondéré

Ce que porte chaque branche

Multiplier le long d'un chemin

Passer du texte au tableau et à l'arbre

On obtient

P(C)=0{,}35\times0{,}80+0{,}65\times0{,}50=0{,}605.

Tests : faux positifs et inversion

Quatre situations à distinguer

On note $$M$$ : « la personne est malade » et $$T$$ : « le test est positif ».

Exemple · Pourquoi un test positif ne suffit pas à lire la sensibilité

Dans une population de 10 000 personnes, $2\,\%$ sont malades. Un test a une sensibilité de $95\,\%$ et une spécificité de $90\,\%$ .

	Test positif	Test négatif	Total
Malade	190	10	200
Non-malade	980	8 820	9 800
Total	1 170	8 830	10 000

Ainsi,

\begin{aligned}P_M(T) &=\frac{190}{200}=95\,\%,\\P_T(M) &=\frac{190}{1170}\approx16{,}2\,\%.\end{aligned}

Fréquences et loi des grands nombres

Observer avec Python

On simule un évènement de probabilité $$0{,}4$$ grâce à random(), qui fournit un nombre pseudo-aléatoire entre $$0$$ et $$1$$ .

from random import random

n = 10000
succes = 0

for _ in range(n):
    if random() < 0.4:
        succes = succes + 1

frequence = succes / n
print(frequence)

Pour aller plus loin - Accessible à tous

Inverser un conditionnement : formule de Bayes

Indépendance de deux évènements

Deux tests conditionnellement indépendants

Si deux tests sont indépendants une fois l'état $$M$$ connu, et si chacun est positif avec probabilité $$0{,}95$$ parmi les malades, alors

P_M(T_1\cap T_2)=0{,}95^2=0{,}9025.

Cette hypothèse doit être annoncée : deux tests réalisés de la même façon peuvent partager des sources d'erreur et ne pas être indépendants.

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices progressifs

Exercice 1 ★☆☆ : Décrire une expérience

On lance une pièce puis un dé à quatre faces numérotées de 1 à 4.

Écrire l'univers sous forme de couples.
Donner son cardinal.
Écrire l'évènement $$A$$ : « obtenir pile et un nombre pair ».

Exercice 2 ★☆☆ : ET, OU, NON

On lance un dé équilibré à six faces. Soit $$A$$ : « obtenir un nombre pair » et $$B$$ : « obtenir au moins 4 ». Écrire $$A$$ , $$B$$ , $A\cap B$ , $A\cup B$ et $\overline A$ , puis calculer leurs probabilités.

Exercice 3 ★☆☆ : Compléter une loi

Une variable aléatoire prend quatre issues $$a,b,c,d$$ avec

P(a)=0{,}10,\qquad P(b)=0{,}20,\qquad P(c)=x,\qquad P(d)=0{,}35.

Déterminer $$x$$ , puis calculer la probabilité de $E=\{b,c\}$ .

Exercice 4 ★☆☆ : Compter en équiprobabilité

On choisit uniformément un entier entre 1 et 20. Calculer la probabilité d'obtenir :

un multiple de 3 ;
un carré parfait ;
un multiple de 3 ou un carré parfait.

Exercice 5 ★☆☆ : Contraire et réunion

On sait que

P(A)=0{,}62,\qquad P(B)=0{,}45,\qquad P(A\cap B)=0{,}28.

Calculer $P(\overline A)$ , $P(A\cup B)$ et la probabilité que ni $$A$$ ni $$B$$ ne se réalise.

Exercice 6 ★★☆ : Conditionner dans un tableau

On choisit au hasard un élève dans le tableau suivant.

	Musique	Pas musique	Total
Sport	72	48	120
Pas sport	28	52	80
Total	100	100	200

Calculer et interpréter $$P_S(M)$$ , $$P_M(S)$$ , $P_{\overline S}(M)$ et $P_M(\overline S)$ .

Exercice 7 ★★☆ : Traduire sans inverser

Dans un établissement, $40\,\%$ des élèves sont demi-pensionnaires. Parmi eux, $30\,\%$ participent à un atelier ; parmi les externes, $18\,\%$ participent à un atelier.

Définir deux évènements $$D$$ et $$A$$ .
Traduire les trois données en probabilités.
Expliquer pourquoi aucune donnée ne fournit directement $$P_A(D)$$ .

Exercice 8 ★★☆ : Construire et exploiter un arbre

On a

P(V)=0{,}35,\qquad P_V(C)=0{,}80,\qquad P_{\overline V}(C)=0{,}50.

Construire l'arbre complet.
Calculer $P(V\cap C)$ et $P(\overline V\cap C)$ .
En déduire $$P(C)$$ .

Exercice 9 ★★☆ : Retrouver une branche

On sait que

P(A)=0{,}40,\qquad P_A(B)=0{,}75,\qquad P(B)=0{,}48.

Calculer $P(A\cap B)$ , puis déterminer $P_{\overline A}(B)$ à l'aide d'un arbre.

Exercice 10 ★★☆ : Comprendre un test

Sur 1 000 personnes, $4\,\%$ sont malades. Un test a une sensibilité de $90\,\%$ et une spécificité de $95\,\%$ .

Construire le tableau d'effectifs.
Calculer la fréquence des personnes malades parmi les tests positifs.
Comparer ce résultat à la sensibilité et expliquer la différence.

Exercice 11 ★★☆ : De l'arbre au tableau

Une entreprise reçoit $60\,\%$ de ses colis du fournisseur $$F$$ . Parmi les colis de $$F$$ , $3\,\%$ sont endommagés ; parmi les autres, $7\,\%$ le sont.

Construire l'arbre.
Sur une base de 10 000 colis, dresser le tableau d'effectifs attendu.
Calculer la probabilité qu'un colis soit endommagé.

Exercice 12 ★★☆ : Lire une simulation

On exécute le programme suivant.

from random import random
n = 5000
compteur = 0
for _ in range(n):
    if random() < 0.27:
        compteur = compteur + 1
print(compteur / n)

Que simule-t-il ? Autour de quelle valeur la sortie doit-elle généralement se situer ? Que changerait le remplacement de $5\,000$ par $$50$$ ?

Exercice 13 ★★★ : Une probabilité cachée

On sait que

P(A)=0{,}25,\qquad P(B)=0{,}45,\qquad P_A(B)=0{,}80.

Déterminer $P_{\overline A}(B)$ .

Exercice 14 ★★★ : Retrouver l'origine d'un défaut

Une usine utilise la machine $$X$$ pour $70\,\%$ de sa production et la machine $$Y$$ pour le reste. Les taux de défaut sont respectivement $1\,\%$ et $4\,\%$ . Un objet choisi au hasard est défectueux. Calculer la probabilité qu'il provienne de $$Y$$ .

Exercice 15 ★★★ : Tester une indépendance

On donne

P(A)=0{,}40,\qquad P(B)=0{,}30,\qquad P(A\cap B)=0{,}12.

Calculer $$P_A(B)$$ et $$P_B(A)$$ .
Montrer que $$A$$ et $$B$$ sont indépendants.
Que deviendrait la conclusion si $P(A\cap B)=0{,}15$ ?

Problème défi : comprendre un dépistage rare

On modélise une campagne concernant 20 000 personnes. On suppose que $1\,\%$ sont malades. Un test est positif pour $95\,\%$ des personnes malades et négatif pour $98\,\%$ des personnes non malades.

On note $$M$$ : « malade » et $$T$$ : « test positif ».

Partie A - Construire le modèle

Traduire les trois pourcentages par $$P(M)$$ , $$P_M(T)$$ et $P_{\overline M}(\overline T)$ .
Calculer $P(\overline M)$ , $P_M(\overline T)$ et $P_{\overline M}(T)$ .
Construire l'arbre pondéré complet.
Nommer les chemins correspondant à un vrai positif, un faux positif, un vrai négatif et un faux négatif.

Partie B - Raisonner sur 20 000 personnes

Calculer le nombre de personnes malades et non malades.
Parmi les malades, calculer les nombres de tests positifs et négatifs.
Parmi les non-malades, calculer les nombres de tests positifs et négatifs.
Dresser le tableau croisé complet.
Calculer $$P(T)$$ de deux manières : avec le tableau, puis avec l'arbre.
Calculer $$P_T(M)$$ et l'interpréter par une phrase.
Expliquer pourquoi $$P_T(M)$$ est très différent de la sensibilité $$P_M(T)$$ .

Partie C - Deux tests positifs

On effectue un second test identique sur un nouvel échantillon. On suppose que, lorsque l'état de santé est fixé, les deux résultats sont indépendants.

Expliquer le rôle de cette nouvelle hypothèse.
Calculer $P_M(T_1\cap T_2)$ et $P_{\overline M}(T_1\cap T_2)$ .
Calculer $P(M\cap T_1\cap T_2)$ et $P(\overline M\cap T_1\cap T_2)$ .
En déduire la probabilité d'être malade sachant que les deux tests sont positifs.
Comparer avec la réponse à la question 10.

Partie D - Le taux de base change

Dans une population plus exposée, on suppose maintenant que $5\,\%$ des personnes sont malades. Les performances du test restent les mêmes.

Sur 20 000 personnes, construire les quatre effectifs du nouveau tableau.
Calculer la probabilité d'être malade parmi les tests positifs.
Expliquer pourquoi cette probabilité a changé alors que le test est identique.

Partie E - Simuler et garder un esprit critique

Compléter les deux conditions manquantes du programme ci-dessous pour simuler la situation initiale.

from random import random

n = 20000
positifs = 0
malades_parmi_positifs = 0

for _ in range(n):
    malade = random() < ...
    if malade:
        test_positif = random() < ...
    else:
        test_positif = random() < 0.02
    if test_positif:
        positifs = positifs + 1
        if malade:
            malades_parmi_positifs += 1

print(malades_parmi_positifs / positifs)

Quelle valeur la sortie doit-elle approcher lorsque $$n$$ est grand ?
Pourquoi les résultats changent-ils d'une exécution à l'autre ?
Donner deux raisons pour lesquelles ce modèle ne suffit pas à prendre une décision médicale réelle.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Démonstration · Construire les quatre cases

Il y a $0{,}04\times1000=40$ malades et 960 non-malades.

Parmi les malades, $90\,\%$ sont positifs : 36 positifs et 4 négatifs.
Parmi les non-malades, $95\,\%$ sont négatifs : 912 négatifs et 48 positifs.

	Positif	Négatif	Total
Malade	36	4	40
Non-malade	48	912	960
Total	84	916	1 000

Parmi les 84 tests positifs, 36 concernent une personne malade :

P_T(M)=\frac{36}{84}=\frac37\approx\boxed{42{,}9\,\%}.

La sensibilité $90\,\%$ conditionne par « malade » ; le résultat $42{,}9\,\%$ conditionne par « test positif ».

Corrigé 11

Démonstration · Choisir une base compatible

Notons $$E$$ : « endommagé ». L'arbre porte

P(F)=0{,}60,\quad P_F(E)=0{,}03, \quad P_{\overline F}(E)=0{,}07.

Sur 10 000 colis, on obtient 6 000 colis de $$F$$ , dont 180 endommagés, et 4 000 autres colis, dont 280 endommagés.

	Endommagé	Intact	Total
$$F$$	180	5 820	6 000
$\overline F$	280	3 720	4 000
Total	460	9 540	10 000

Ainsi,

P(E)=\frac{460}{10000}=\boxed{0{,}046}=\boxed{4{,}6\,\%}.

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème défi

Partie A - Construire le modèle

Partie B - Raisonner sur 20 000 personnes

Démonstration · Questions 5 à 11

5. Le nombre de malades est

0{,}01\times20000=200.

Il y a donc $20\,000-200=19\,800$ non-malades.

6. Parmi les 200 malades, $95\,\%$ ont un test positif :

0{,}95\times200=190.

Les 10 autres ont un test négatif.

7. Parmi les 19 800 non-malades, $2\,\%$ ont un faux positif :

0{,}02\times19800=396.

Les $19\,800-396=19\,404$ autres ont un test négatif.

8. On obtient

	Positif	Négatif	Total
Malade	190	10	200
Non-malade	396	19 404	19 800
Total	586	19 414	20 000

9. Avec le tableau,

P(T)=\frac{586}{20000}=\boxed{0{,}0293}.

Avec l'arbre,

\begin{aligned}P(T) &= 0{,}01\times0{,}95 +0{,}99\times0{,}02\\&= 0{,}0095 +0{,}0198 = \boxed{0{,}0293}.\end{aligned}

10. Parmi les 586 tests positifs, 190 concernent une personne malade :

P_T(M)=\frac{190}{586}=\frac{95}{293}\approx\boxed{32{,}4\,\%}.

11. La sensibilité $P_M(T)=95\,\%$ regarde les tests positifs parmi seulement 200 malades. La probabilité $$P_T(M)$$ regarde les malades parmi 586 tests positifs. Comme les non-malades sont très nombreux, leurs $$396$$ faux positifs pèsent fortement dans le second groupe.

Partie C - Deux tests positifs

Démonstration · Questions 12 à 16

12. L'indépendance conditionnelle autorise à multiplier les probabilités des deux résultats une fois l'état de santé fixé. Sans cette hypothèse, connaitre la probabilité de chaque test séparé ne suffirait pas à calculer celle de deux positifs.

13. Parmi les malades,

P_M(T_1\cap T_2)=0{,}95^2=\boxed{0{,}9025}.

Parmi les non-malades,

P_{\overline M}(T_1\cap T_2)=0{,}02^2=\boxed{0{,}0004}.

14. En tenant compte du taux de base,

P(M\cap T_1\cap T_2)=0{,}01\times0{,}9025=0{,}009025,

P(\overline M\cap T_1\cap T_2)=0{,}99\times0{,}0004=0{,}000396.

15. La probabilité de deux tests positifs vaut

\[0{,}009025+0{,}000396=0{,}009421.\]

Donc

P_{T_1\cap T_2}(M) =\frac{0{,}009025}{0{,}009421} \approx\boxed{95{,}8\,\%}.

16. Après un seul test positif, le modèle donnait environ $32{,}4\,\%$ . Après deux tests positifs conditionnellement indépendants, il donne environ $95{,}8\,\%$ . Le second test réduit fortement le poids des faux positifs dans ce modèle.

Partie D - Le taux de base change

Démonstration · Questions 17 à 19

17. Il y a maintenant $0{,}05\times20000=1\,000$ malades et 19 000 non-malades.

malades positifs : $0{,}95\times1000=950$ ; malades négatifs : 50 ;
non-malades positifs : $0{,}02\times19000=380$ ; non-malades négatifs : 18 620.

	Positif	Négatif	Total
Malade	950	50	1 000
Non-malade	380	18 620	19 000
Total	1 330	18 670	20 000

18.

P_T(M)=\frac{950}{1330}=\frac{95}{133}\approx\boxed{71{,}4\,\%}.

19. Le test conserve la même sensibilité et la même spécificité, mais la population contient davantage de malades. Les vrais positifs deviennent donc plus nombreux par rapport aux faux positifs. La probabilité après un test dépend du taux de base de la population étudiée.

Partie E - Simuler et garder un esprit critique

Démonstration · Questions 20 à 23

20. Dans la situation initiale, les lignes manquantes sont

malade = random() < 0.01
...
test_positif = random() < 0.95

21. Pour un grand nombre de répétitions, la sortie doit être proche de

P_T(M)\approx\boxed{0{,}324}.

22. Les appels à random() produisent de nouvelles réalisations pseudo-aléatoires à chaque exécution. Les effectifs fluctuent donc autour de leurs valeurs attendues ; la fréquence affichée n'est pas exactement constante.

23. Plusieurs limites doivent être signalées. Par exemple :

la sensibilité, la spécificité et le taux de maladie peuvent dépendre de la population et du protocole ;
les résultats de deux tests ne sont pas nécessairement indépendants ;
un modèle ne contient ni symptômes, ni antécédents, ni qualité du prélèvement ;
une décision réelle exige une interprétation professionnelle et souvent des examens complémentaires.

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

	Endommagé	Intact	Total
$\(F\)$	180	5 820	6 000
$\overline F$	280	3 720	4 000
Total	460	9 540	10 000