Équations et inéquations du premier degré · Seconde générale

Pourquoi étudier les équations et les inéquations ?

Une inconnue, mais pas une devinette

Une quantité est souvent inconnue : la longueur d'un terrain, le nombre de trajets possibles avec un budget, l'instant auquel deux tarifs deviennent équivalents. Une équation traduit une égalité imposée ; une inéquation traduit une contrainte comme « au plus », « au moins » ou « strictement moins de ».

Résoudre ne consiste pas à essayer des nombres au hasard. On transforme la phrase mathématique jusqu'à faire apparaître toutes les valeurs possibles de l'inconnue, et seulement celles-là.

Résoudre, c'est aussi expliquer

Une réponse comme « $$x=4$$ » n'est convaincante que si l'on sait :

d'où vient le nombre $$4$$ ;
pourquoi aucune autre valeur ne convient ;
si toutes les transformations effectuées gardent exactement les mêmes solutions ;
si les contraintes du problème sont respectées.

Cette fiche apprend donc une méthode générale : traduire, transformer, conclure et vérifier.

L'idée avant la formule

Phrase ouverte et ensemble des solutions

L'égalité $$3x+5=20$$ est une phrase ouverte : elle devient vraie ou fausse selon la valeur choisie pour $$x$$ .

Pour $$x=5$$ , on obtient $3\times5+5=20$ : la phrase est vraie. Pour $$x=4$$ , on obtient $$17=20$$ : elle est fausse. Ainsi $$5$$ est une solution et $$4$$ ne l'est pas.

Des transformations réversibles

On veut passer d'une phrase compliquée à une phrase simple sans gagner ni perdre de solution. Le symbole $\Longleftrightarrow$ signifie « est équivalent à » : les deux phrases ont exactement les mêmes solutions.

3x+5=20 \quad\Longleftrightarrow\quad 3x=15 \quad\Longleftrightarrow\quad x=5.

Chaque flèche peut être parcourue dans les deux sens : on a d'abord soustrait $$5$$ aux deux membres, puis divisé les deux membres par $3\neq0$ .

Pour une inéquation, le sens compte

On peut ajouter ou soustraire un même nombre sans changer le sens. En revanche, multiplier ou diviser par un nombre négatif renverse l'ordre :

-2x<6 \quad\Longleftrightarrow\quad x>-3.

Le nombre $$-3$$ n'est pas solution car l'inégalité est stricte. On conclut $S=]-3;+\infty[$ .

Schéma : Pour une inéquation, le sens compte

Équations du premier degré

Vocabulaire indispensable

Dans une équation, les expressions situées à gauche et à droite du signe $$=$$ sont les deux membres. La lettre recherchée est l'inconnue.

Les deux opérations fondamentales

Les trois cas de l'équation générale

Dénominateurs et valeurs interdites

Une expression comme $\dfrac{3}{x-2}$ n'existe pas pour $$x=2$$ . Avant toute transformation, on détermine donc l'ensemble de définition.

Produit nul et équation $x^2=a$

La propriété du produit nul

Résoudre $$x^2=a$$

Inéquations du premier degré

Les règles de transformation

Cas particuliers

Double inégalité et intersection

La phrase $-2\leq3x+1<7$ impose deux conditions simultanées :

-2\leq3x+1 \qquad\text{et}\qquad 3x+1<7.

On peut ici transformer les trois membres en même temps :

\begin{aligned}{}-2 &\leq 3x +1\\&< 7\\&\ssi -3\\&\leq 3x\\&< 6\\&\ssi -1\\&\leq x\\&< 2.\end{aligned}

Donc $\boxed{S=[-1;2[}$ .

Signe d'une expression, d'un produit ou d'un quotient

Signe de $$ax+b$$

Supposons $a\neq0$ et posons $\alpha=-b/a$ , l'unique solution de $$ax+b=0$$ .

Produit et quotient de facteurs affines

Pour résoudre $(2x-1)(x+3)\leq0$ , on repère les valeurs qui annulent les facteurs : $$-3$$ et $$1/2$$ . Puis on combine les signes.

Le produit est négatif ou nul entre les deux racines :

\boxed{\begin{aligned} &(2x-1)(x+3)\leq0\\ &\ssi x\in[-3;1/2] \end{aligned}}.

Modéliser un problème

Du français aux mathématiques

Expression	Traduction possible
au plus $$A$$	$x\leq A$
au moins $$A$$	$x\geq A$
strictement moins de $$A$$	$$x<A$$
strictement plus de $$A$$	$$x>A$$
$$p$$ euros fixes puis $$q$$ par unité	$$p+qx$$
deux quantités égales	une équation
une contrainte de budget	une inéquation

Isoler une lettre dans une formule

La même logique permet d'exprimer une grandeur en fonction des autres.

Pour aller plus loin – guidé et facultatif

Cette partie n'est pas nécessaire pour maîtriser le socle officiel. Elle montre cependant que les mêmes idées permettent d'aborder des questions plus riches, sans formule magique.

Une équation avec un paramètre

Dans $$(m-2)x=m+1$$ , la lettre $$x$$ est l'inconnue et $$m$$ est un paramètre : il désigne un nombre fixé, mais que l'on ne connaît pas encore.

Le paramètre ne rend pas le calcul mystérieux : il oblige seulement à examiner le cas où un diviseur potentiel s'annule.

Distance et valeur absolue

L'équation $$|x-a|=r$$ signifie que la distance entre $$x$$ et $$a$$ vaut $$r$$ .

Un mini-algorithme de vérification

Un programme peut tester une valeur, mais il ne remplace pas la preuve que toutes les solutions ont été trouvées.

def est_solution_equation(x):
    return 4 * (2*x - 1) + 3 == 5*x + 11

for valeur in range(-2, 8):
    if est_solution_equation(valeur):
        print(valeur)

Le programme affiche $$4$$ . Cela vérifie la solution parmi les entiers testés ; le raisonnement algébrique prouve, lui, que $$4$$ est l'unique solution réelle.

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices

Pour chaque exercice, rédige les transformations et termine par l'ensemble des solutions. Les étoiles indiquent le niveau de difficulté ; elles ne disent jamais que l'exercice est inaccessible.

Exercice 1 ★☆☆ : Tester une solution

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en montrant le remplacement de $$x$$ .

$$4$$ est solution de $$3x-5=7$$ .
$$-2$$ est solution de $$x^2-3x=10$$ .
$$1/2$$ est solution de $$4x+1<3$$ .
$$3$$ est solution de $\dfrac{x+1}{x-1}=2$ .

Exercice 2 ★☆☆ : Premiers équilibres

Résoudre dans $\R$ :

\begin{aligned}\text{a) }x+7 &=19,\\\text{b) }5x &=-35,\\\text{c) }3x-8 &=13,\\\text{d) }7-2x &=15.\end{aligned}

Exercice 3 ★☆☆ : L'inconnue dans les deux membres

Résoudre dans $\R$ :

\begin{aligned}\text{a) }5x+7&=2x+19, &\text{b) }9-4x&=3x+2,\\ \text{c) }3(x-2)+5&=2(x+4), &\text{d) }\frac{2x-1}{3}&=\frac{x+5}{2}.\end{aligned}

Exercice 4 ★☆☆ : Combien de solutions ?

Résoudre et préciser si l'équation possède zéro, une ou une infinité de solutions :

\begin{aligned}\text{a) }4(x+2)&=4x+8, &\text{b) }3(x-1)&=3x+5,\\ \text{c) }2(3x-4)+1&=6x-7, &\text{d) }5(x+1)-2x&=3x+2.\end{aligned}

Exercice 5 ★★☆ : Quotients et valeurs interdites

Résoudre dans $\R$ après avoir indiqué les valeurs interdites :

\begin{aligned}\text{a) }\frac{x+2}{x-1}&=3, &\text{b) }\frac{5}{2x+1}&=1,\\ \text{c) }\frac{x}{x+2}&=\frac34, &\text{d) }\frac{2x-3}{x+1}&=2.\end{aligned}

Exercice 6 ★☆☆ : Carrés

Résoudre dans $\R$ :

\begin{aligned}\text{a) }x^2 &=49,\\\text{b) }x^2 &=11,\\\text{c) }x^2 &=-4,\\\text{d) }(2x-1)^2 &=25.\end{aligned}

Exercice 7 ★★☆ : Produit nul

Résoudre dans $\R$ sans développer lorsque la forme est déjà factorisée :

\begin{aligned}\text{a) }(x-6)(2x+3)&=0,\\ \text{b) }x(5x-2)(x+4)&=0,\\ \text{c) }(x+3)^2-16&=0,\\ \text{d) }(3x-1)(x+2)&=(3x-1)(2x-5).\end{aligned}

Exercice 8 ★☆☆ : Premières inéquations

Résoudre puis donner la réponse sous forme d'intervalle :

\begin{aligned}\text{a) }x+4&<9, &\text{b) }3x&\geq-12,\\ \text{c) }-5x&\leq20, &\text{d) }7-2x&>1.\end{aligned}

Exercice 9 ★★☆ : Inconnue dans les deux membres

Résoudre dans $\R$ :

\begin{aligned}\text{a) }5x-7&\leq2x+8, &\text{b) }4-3x&<7x+9,\\ \text{c) }2(x-1)+3&\geq5(x+2), &\text{d) }6(x-2)-4x&>2(x+1)-15.\end{aligned}

Exercice 10 ★★☆ : Deux contraintes simultanées

Résoudre :

$-5\leq2x+1<9$ ;
$$3x-2>7$$ et $5x+4\leq29$ ;
$x+3\leq1$ et $$2x-5>-11$$ ;
$4x+1\geq13$ et $$2x-7< -3$$ .

Représenter chaque ensemble de solutions sur une droite graduée.

Exercice 11 ★★☆ : Signe d'une expression affine

Pour chaque expression, déterminer sa racine, construire son tableau de signe, puis résoudre l'inéquation proposée.

$$A(x)=3x-12$$ et $A(x)\leq0$ ;
$$B(x)=-5x-10$$ et $$B(x)>0$$ ;
$$C(x)=7-2x$$ et $C(x)\geq0$ .

Exercice 12 ★★★ : Produits et quotients

Résoudre à l'aide d'un tableau de signes :

\begin{aligned}\text{a) }(x-2)(x+5)&\geq0,\\ \text{b) }(3x+6)(4-x)&<0,\\ \text{c) }\frac{x-1}{x+3}&\leq0,\\ \text{d) }\frac{(2x-1)(x+4)}{x-3}&>0.\end{aligned}

Exercice 13 ★★☆ : Isoler une variable

Exprimer la lettre demandée en fonction des autres. Préciser la condition qui autorise la division.

$P=2L+2\ell$ : exprimer $$L$$ .
$$v=v_0+at$$ : exprimer $$t$$ .
$R=\dfrac{U}{I}$ : exprimer $$I$$ .
$$ax+by=c$$ : exprimer $$x$$ .

Exercice 14 ★★★ : Équation à paramètre – pour aller plus loin

Selon les valeurs du réel $$m$$ , résoudre dans $\R$ l'équation

\[(m-1)x=2m-2.\]

On distinguera soigneusement le cas $$m=1$$ du cas $m\neq1$ .

Puis résoudre, selon $p\in\R$ ,

\[(p+2)x=p^2-4.\]

Exercice 15 ★★★ : Modéliser et interpréter

Un service de location propose deux tarifs pour une journée :

tarif A : $$18$$ euros, puis $$0{,}22$$ euro par kilomètre ;
tarif B : $$30$$ euros, puis $$0{,}10$$ euro par kilomètre.

On note $x\geq0$ le nombre de kilomètres parcourus.

Exprimer les deux prix $$A(x)$$ et $$B(x)$$ .
Pour quelle distance les prix sont-ils égaux ?
Pour quelles distances le tarif B est-il moins cher ou de même prix que le tarif A ?
Une personne dispose de $$47$$ euros et choisit le tarif B. Quelle distance entière maximale peut-elle parcourir ?
Expliquer pourquoi une distance négative trouvée par un calcul devrait être rejetée.

Problème : Le pass culturel solidaire ★★★

On note $x\geq0$ le nombre d'activités effectuées pendant l'année. Les prix, en euros, sont :

S(x)=4x, \qquad M(x)=15+2{,}5x, \qquad L(x)=45+x.

Partie A – Comprendre les trois offres

Pour chaque offre, expliquer le rôle du terme fixe et du coefficient de $$x$$ .
Calculer les trois prix pour $$x=0$$ , $$x=8$$ , $$x=16$$ et $$x=24$$ . Organiser les résultats dans un tableau.
Résoudre les trois équations $$S(x)=M(x)$$ , $$S(x)=L(x)$$ et $$M(x)=L(x)$$ .
Interpréter concrètement chaque solution.

Partie B – Choisir sans se tromper

Résoudre $S(x)\leq M(x)$ puis $S(x)\leq L(x)$ .
En déduire que l'offre S est la moins chère pour $0\leq x\leq10$ .
Résoudre $M(x)\leq S(x)$ puis $M(x)\leq L(x)$ .
En déduire que l'offre M est la moins chère pour $10\leq x\leq20$ .
Prouver que l'offre L est la moins chère pour $x\geq20$ .
Résumer la meilleure offre sur une droite graduée. Que se passe-t-il exactement pour $$x=10$$ et $$x=20$$ ?

Partie C – Tenir compte d'un budget

Avec un budget de $$54$$ euros, combien d'activités entières peut-on faire au maximum avec chaque offre ?
Parmi ces trois possibilités, laquelle permet le plus grand nombre d'activités ? Vérifier que ce choix correspond bien aux intervalles obtenus dans la partie B.

Partie D – Coût moyen

Pour $$x>0$$ , le coût moyen par activité de l'offre M est

C_M(x)=\frac{15+2{,}5x}{x}.

Résoudre $$C_M(x)=3$$ . Interpréter la solution.
Résoudre $C_M(x)\leq3{,}25$ et donner le plus petit nombre entier d'activités correspondant.

Partie E – Une aide pour rendre le pass L accessible

Une subvention de $$p$$ euros, avec $p\geq0$ , transforme le prix du pass L en

\[L_p(x)=45-p+x.\]

L'association voudrait que ce pass soit moins cher ou de même prix que les deux autres dès $$12$$ activités.

Traduire cette volonté par deux inégalités devant être vraies pour tout $x\geq12$ .
Montrer que, pour comparer $$L_p$$ à S sur $[12;+\infty[$ , la contrainte la plus exigeante se rencontre en $$x=12$$ . Faire de même pour la comparaison avec M.
Déterminer la plus petite valeur de $$p$$ qui réalise l'objectif.
Pour cette valeur minimale, préciser les éventuelles égalités de prix et expliquer ce que change la subvention.

Partie F – Traduire la décision en Python

Compléter mentalement puis expliquer le programme suivant, qui renvoie le nom d'une offre la moins chère. En cas d'égalité, il peut renvoyer l'une des offres ex aequo.

def meilleur_pass(x):
    prix_s = 4*x
    prix_m = 15 + 2.5*x
    prix_l = 45 + x
    minimum = min(prix_s, prix_m, prix_l)
    if prix_s == minimum:
        return "S"
    elif prix_m == minimum:
        return "M"
    else:
        return "L"

for x in range(0, 31):
    print(x, meilleur_pass(x))

Prévoir les changements de valeur affichée sans exécuter le programme.
Pourquoi cette exploration numérique ne remplace-t-elle pas les preuves de la partie B ?

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Démonstration · Domaine, calcul, contrôle

a) La valeur interdite est $$1$$ . Pour $x\neq1$ ,

\begin{aligned}\frac{x+2}{x-1} &= 3\\&\ssi x +2 = 3x -3\\&\ssi 5 = 2x\\&\ssi x = \frac52.\end{aligned}

La valeur $$5/2$$ est autorisée : $\boxed{S=\{5/2\}}$ .

b) La valeur interdite est $$-1/2$$ . Pour $x\neq-1/2$ ,

\begin{aligned}\frac5{2x+1} &= 1\\&\ssi 5 = 2x +1\\&\ssi x = 2.\end{aligned}

Donc $\boxed{S=\{2\}}$ .

c) La valeur interdite est $$-2$$ . Pour $x\neq-2$ ,

\begin{aligned}\frac{x}{x+2} &= \frac34\\&\ssi 4x = 3(x+2)\\&\ssi 4x = 3x +6\\&\ssi x = 6.\end{aligned}

Donc $\boxed{S=\{6\}}$ .

d) La valeur interdite est $$-1$$ . Pour $x\neq-1$ ,

\begin{aligned}\frac{2x-3}{x+1} &= 2\\&\ssi 2x -3 = 2x +2\\&\ssi -3 = 2.\end{aligned}

Cette dernière phrase est impossible : $\boxed{S=\varnothing}$ .

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Démonstration · Chercher la partie commune

a)

\begin{aligned}{}-5 &\leq 2x +1\\&< 9\\&\ssi -6\\&\leq 2x\\&< 8\\&\ssi -3\\&\leq x\\&< 4.\end{aligned}

Donc $\boxed{S=[-3;4[}$ .

b) La première contrainte donne $$3x>9$$ , donc $$x>3$$ . La seconde donne $5x\leq25$ , donc $x\leq5$ . Leur intersection est $\boxed{S=]3;5]}$ .

c) On obtient $x\leq-2$ et

\begin{aligned}2x -5 &> -11\\&\ssi 2x\\&> -6\\&\ssi x\\&> -3.\end{aligned}

La partie commune est $\boxed{S=]-3;-2]}$ .

d) Les deux contraintes donnent $x\geq3$ et

\begin{aligned}2x -7 &< -3\\&\ssi 2x\\&< 4\\&\ssi x\\&< 2.\end{aligned}

Aucun réel ne peut être simultanément supérieur ou égal à $$3$$ et strictement inférieur à $$2$$ : $\boxed{S=\varnothing}$ .

Sur une droite graduée, un crochet fermé correspond à un point inclus, un crochet ouvert à un point exclu ; le dernier cas ne contient aucun point.

Corrigé 11

Corrigé 12

Démonstration · Ranger d'abord toutes les valeurs critiques

a) Les racines sont $$-5$$ et $$2$$ . Le produit de deux facteurs de coefficient directeur positif est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Comme on demande $\geq0$ , les racines sont incluses :

\boxed{S=]-\infty;-5]\cup[2;+\infty[}.

b) Les racines sont $$-2$$ et $$4$$ . Pour $$x<-2$$ , le premier facteur est négatif et le second positif : le produit est négatif. Entre $$-2$$ et $$4$$ , les deux sont positifs. Après $$4$$ , leurs signes sont opposés. L'inégalité est stricte :

\boxed{S=]-\infty;-2[\,\cup\,]4;+\infty[}.

c) La valeur $$-3$$ est interdite et le numérateur s'annule en $$1$$ . Le quotient est positif sur $]-\infty;-3[$ , négatif sur $$]-3;1[$$ , nul en $$1$$ , puis positif. Ainsi

\boxed{S=]-3;1]}.

Le point $$-3$$ reste exclu, même si le signe recherché autorise l'égalité.

d) Les valeurs critiques sont $$-4$$ , $$1/2$$ et la valeur interdite $$3$$ . Le signe du quotient est successivement

\begin{aligned}&-\quad\text{sur }]-\infty;-4[,\\&+\quad\text{sur }]-4;1/2[,\\&-\quad\text{sur }]1/2;3[,\\&+\quad\text{sur }]3;+\infty[.\end{aligned}

Comme l'inégalité est stricte, les zéros sont exclus ; $$3$$ est interdit. Donc

\boxed{S=]-4;1/2[\,\cup\,]3;+\infty[}.

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Démonstration · Construire puis interpréter le modèle

1. Pour $x\geq0$ kilomètres,

\boxed{A(x)=18+0{,}22x} \qquad\text{et}\qquad \boxed{B(x)=30+0{,}10x}.

2. Les prix sont égaux lorsque

\begin{aligned}18+0{,}22x&=30+0{,}10x\\ 0{,}12x&=12\\ x&=100.\end{aligned}

Les deux tarifs coûtent alors $$40$$ euros. La distance cherchée est $\boxed{100\text{ km}}$ .

3.

\begin{aligned}B(x)\leq A(x) &\ssi30+0{,}10x\leq18+0{,}22x\\ &\ssi12\leq0{,}12x\\ &\ssi x\geq100.\end{aligned}

En tenant compte de $x\geq0$ , le tarif B est au moins aussi avantageux à partir de $\boxed{100\text{ km}}$ .

4. Avec le tarif B,

\begin{aligned}30 +0{,}10x &\leq 47\\&\ssi 0{,}10x\\&\leq 17\\&\ssi x\\&\leq 170.\end{aligned}

La distance entière maximale est donc $\boxed{170\text{ km}}$ .

5. L'inconnue représente une distance, donc le modèle impose $x\geq0$ . Une solution algébrique négative serait hors du domaine du problème et devrait être rejetée.

Corrigé du problème : Le pass culturel solidaire

Démonstration · Partie A – Comprendre les trois offres

1. Dans $$S(x)=4x$$ , il n'y a aucun coût fixe et chaque activité ajoute $$4$$ euros. Dans $$M(x)=15+2{,}5x$$ , l'adhésion fixe coûte $$15$$ euros et chaque activité ajoute $$2{,}50$$ euros. Dans $$L(x)=45+x$$ , le coût fixe est $$45$$ euros et chaque activité supplémentaire ne coûte qu'un euro.

2.

$$x$$	$$0$$	$$8$$	$$16$$	$$24$$
$$S(x)$$	$$0$$	$$32$$	$$64$$	$$96$$
$$M(x)$$	$$15$$	$$35$$	$$55$$	$$75$$
$$L(x)$$	$$45$$	$$53$$	$$61$$	$$69$$

3. On résout successivement :

\begin{aligned}S(x)=M(x) &\ssi4x=15+2{,}5x \ssi1{,}5x=15,\\ &\ssi\boxed{x=10};\\[2pt] S(x)=L(x) &\ssi4x=45+x \ssi3x=45,\\ &\ssi\boxed{x=15};\\[2pt] M(x)=L(x) &\ssi15+2{,}5x=45+x \ssi1{,}5x=30,\\ &\ssi\boxed{x=20}.\end{aligned}

4. Pour $$10$$ activités, S et M coûtent tous deux $$40$$ euros. Pour $$15$$ activités, S et L coûtent tous deux $$60$$ euros. Pour $$20$$ activités, M et L coûtent tous deux $$65$$ euros. Une égalité entre deux offres ne signifie pas forcément qu'elles sont les moins chères : à $$x=15$$ , l'offre M coûte seulement $$52{,}50$$ euros.

Démonstration · Partie B – Choisir sans se tromper

5.

\begin{aligned}S(x) &\leq M(x)\\&\ssi 4x\\&\leq 15 +2{,}5x\\&\ssi x\\&\leq 10.\end{aligned}

De plus,

\begin{aligned}S(x) &\leq L(x)\\&\ssi 4x\\&\leq 45 +x\\&\ssi x\\&\leq 15.\end{aligned}

6. Pour que S soit la moins chère, les deux inégalités doivent être vraies. Avec $x\geq0$ , leur intersection est

[0;10]\cap[0;15]=\boxed{[0;10]}.

7.

\begin{aligned}M(x) &\leq S(x)\ssi x\geq10,\\M(x) &\leq L(x)\ssi x\leq20.\end{aligned}

8. Les deux conditions sont vraies simultanément pour

\boxed{x\in[10;20]}.

9.

\begin{aligned}L(x) &\leq S(x)\ssi x\geq15,\\L(x) &\leq M(x)\ssi x\geq20.\end{aligned}

Leur intersection avec $x\geq0$ est $\boxed{[20;+\infty[}$ .

10. Le choix peut donc se résumer ainsi :

Pour $$x=10$$ , S et M sont ex aequo et moins chères que L. Pour $$x=20$$ , M et L sont ex aequo et moins chères que S.

Démonstration · Partie E – Une aide pour rendre le pass L accessible

15. L'objectif est que, pour tout $x\geq12$ ,

L_p(x)\leq S(x) \qquad\text{et}\qquad L_p(x)\leq M(x).

Autrement dit,

45-p+x\leq4x \qquad\text{et}\qquad 45-p+x\leq15+2{,}5x.

16. La première inégalité s'écrit

45-p\leq3x.

Sur $[12;+\infty[$ , le membre $$3x$$ est le plus petit en $$x=12$$ . Si l'inégalité est vraie en $$12$$ , elle le reste donc pour tout $x\geq12$ . On obtient

45-p\leq36\ssi p\geq9.

La seconde s'écrit

30-p\leq1{,}5x.

Le membre $$1{,}5x$$ est lui aussi le plus petit en $$x=12$$ . Il faut et il suffit donc que

30-p\leq18\ssi p\geq12.

17. Les deux contraintes doivent être satisfaites :

p\geq9 \qquad\text{et}\qquad p\geq12.

Leur intersection est $[12;+\infty[$ . La plus petite subvention possible est donc

\boxed{p=12\text{ euros}}.

18. Avec cette subvention, $L_{12}(x)=33+x$ . Pour $$x=12$$ ,

L_{12}(12)=45, \qquad M(12)=45, \qquad S(12)=48.

L et M sont ex aequo. Pour $$x>12$$ , on a

L_{12}(x)-M(x)=18-1{,}5x<0

et

L_{12}(x)-S(x)=33-3x<0.

Le pass subventionné L devient alors strictement le moins cher. L'aide avance donc son seuil d'intérêt de $$20$$ à $$12$$ activités.

Carte mémoire de la fiche

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

$\(x\)$	$\(0\)$	$\(8\)$	$\(16\)$	$\(24\)$
$\(S(x)\)$	$\(0\)$	$\(32\)$	$\(64\)$	$\(96\)$
$\(M(x)\)$	$\(15\)$	$\(35\)$	$\(55\)$	$\(75\)$
$\(L(x)\)$	$\(45\)$	$\(53\)$	$\(61\)$	$\(69\)$

Expression	Traduction possible
au plus $\(A\)$	$x\leq A$
au moins $\(A\)$	$x\geq A$
strictement moins de $\(A\)$	$\(x<A\)$
strictement plus de $\(A\)$	$\(x>A\)$
$\(p\)$ euros fixes puis $\(q\)$ par unité	$\(p+qx\)$
deux quantités égales	une équation
une contrainte de budget	une inéquation

Pourquoi étudier les équations et les inéquations ?

Une inconnue, mais pas une devinette

Résoudre, c'est aussi expliquer

L'idée avant la formule

Phrase ouverte et ensemble des solutions

Des transformations réversibles

Pour une inéquation, le sens compte

Équations du premier degré

Vocabulaire indispensable

Les deux opérations fondamentales

Les trois cas de l'équation générale

Dénominateurs et valeurs interdites

Produit nul et équation \(x^2=a\)

La propriété du produit nul

Résoudre \(x^2=a\)

Inéquations du premier degré

Les règles de transformation

Cas particuliers

Double inégalité et intersection

Signe d'une expression, d'un produit ou d'un quotient

Signe de \(ax+b\)

Produit et quotient de facteurs affines

Modéliser un problème

Du français aux mathématiques

Isoler une lettre dans une formule

Pour aller plus loin – guidé et facultatif

Une équation avec un paramètre

Distance et valeur absolue

Un mini-algorithme de vérification

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Tester une solution

Exercice 2 ★☆☆ : Premiers équilibres

Exercice 3 ★☆☆ : L'inconnue dans les deux membres

Exercice 4 ★☆☆ : Combien de solutions ?

Exercice 5 ★★☆ : Quotients et valeurs interdites

Exercice 6 ★☆☆ : Carrés

Exercice 7 ★★☆ : Produit nul

Exercice 8 ★☆☆ : Premières inéquations

Exercice 9 ★★☆ : Inconnue dans les deux membres

Exercice 10 ★★☆ : Deux contraintes simultanées

Exercice 11 ★★☆ : Signe d'une expression affine

Exercice 12 ★★★ : Produits et quotients

Exercice 13 ★★☆ : Isoler une variable

Exercice 14 ★★★ : Équation à paramètre – pour aller plus loin

Exercice 15 ★★★ : Modéliser et interpréter

Problème : Le pass culturel solidaire ★★★

Partie A – Comprendre les trois offres

Partie B – Choisir sans se tromper

Partie C – Tenir compte d'un budget

Partie D – Coût moyen

Partie E – Une aide pour rendre le pass L accessible

Partie F – Traduire la décision en Python

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème : Le pass culturel solidaire

Carte mémoire de la fiche

Maîtrise du chapitre

Résoudre $\(x^2=a\)$

Signe de $\(ax+b\)$