Fonctions et courbes représentatives · Seconde générale

Pourquoi étudier les fonctions ?

Décrire une dépendance

Quand le temps passe, une température change. Quand le rayon d'un disque augmente, son aire change. Quand le nombre de kilomètres parcourus augmente, le prix d'une location peut changer. Une fonction sert à décrire précisément comment une grandeur dépend d'une autre.

La fonction n'est pas seulement une formule. Elle peut être donnée par une phrase, un tableau, une courbe, un programme ou une expression algébrique. Savoir passer d'une représentation à l'autre est essentiel : chacune montre une partie différente de l'information.

Pourquoi plusieurs représentations ?

Pour la fonction $$f(x)=x^2-1$$ :

la formule permet de calculer exactement $$f(2)=3$$ ;
le tableau permet de comparer rapidement quelques valeurs ;
la courbe permet de voir globalement les solutions de $$f(x)=0$$ ou le signe de $$f(x)$$ ;
le programme permet d'automatiser un grand nombre de calculs.

L'idée avant la formule

Entrée, règle, sortie

Considérons le programme de calcul suivant :

Le nombre choisi est la variable $$x$$ . Le résultat est son image et se note $$f(x)$$ . Ici,

\[f(x)=x^2-1.\]

Remonter la machine

Chercher l'image de $$2$$ , c'est partir de l'entrée : $$f(2)=2^2-1=3$$ . Chercher les antécédents de $$3$$ , c'est partir de la sortie et remonter la machine :

\begin{aligned}f(x) &= 3\\&\ssi x^2 -1 = 3\\&\ssi x^2 = 4\\&\ssi x = -2\ \text{ou}\ x = 2.\end{aligned}

Le nombre $$3$$ a donc deux antécédents par $$f$$ .

Le test de la droite verticale

Une courbe représente une fonction de $$x$$ si chaque droite verticale la rencontre au plus une fois. En effet, fixer une abscisse $$x$$ ne doit jamais donner deux ordonnées différentes.

Définir une fonction

Notation complète

Le symbole $\longmapsto$ décrit ce que devient une entrée ; le symbole $$=$$ compare deux nombres. Ainsi

x\longmapsto x^2-1

est une règle, tandis que $$f(2)=3$$ est une égalité.

Ensemble de définition

L'ensemble de définition contient exactement les entrées pour lesquelles la règle a un sens.

Le domaine peut venir de la situation

Un rectangle a un périmètre de $$20$$ cm. Si l'un de ses côtés mesure $$x$$ cm, l'autre mesure $$10-x$$ cm et son aire vaut

\[A(x)=x(10-x).\]

La formule est calculable pour tout réel, mais les longueurs imposent $x\geq0$ et $10-x\geq0$ . Le domaine pertinent est donc $$[0;10]$$ .

Calculer une image, chercher un antécédent

Calculer une image

Chercher un ou plusieurs antécédents

Chercher les antécédents d'un nombre $$k$$ revient à résoudre l'équation

\[f(x)=k\]

sur l'ensemble de définition de $$f$$ .

Lire dans un tableau de valeurs

Considérons le tableau suivant :

$$x$$	$$-3$$	$$-2$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$$4$$
$$f(x)$$	$$5$$	$$1$$	$$-3$$	$$-4$$	$$-3$$	$$5$$

On lit $$f(2)=-3$$ . Dans les valeurs présentées, $$5$$ a deux antécédents : $$-3$$ et $$4$$ .

Les représentations d'une fonction

Une même fonction, plusieurs langages

La fonction $$f(x)=x^2-1$$ peut être présentée de quatre manières.

Représentation	Exemple
Phrase	choisir un nombre, le mettre au carré, puis soustraire $$1$$
Formule	$$f(x)=x^2-1$$
Tableau	couples comme $$(-2;3)$$ , $$(0;-1)$$ , $$(2;3)$$
Courbe	ensemble des points de coordonnées $$(x;x^2-1)$$
Programme	une fonction Python qui renvoie `x**2 - 1`

Chaque représentation a ses forces : la formule donne l'exactitude, la courbe donne une vue d'ensemble, le tableau organise des données et le programme automatise les calculs.

Construire un tableau de valeurs

Pour $$f(x)=x^2-1$$ , on choisit des entrées et on calcule leurs images :

$$x$$	$$-3$$	$$-2$$	$$-1$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$
$$f(x)$$	$$8$$	$$3$$	$$0$$	$$-1$$	$$0$$	$$3$$	$$8$$

Chaque colonne fournit un point de la courbe : par exemple $$(2;3)$$ .

Fonction continue ou fonction discrète

La hauteur d'eau au cours du temps peut être modélisée sur un intervalle : toutes les valeurs intermédiaires du temps ont un sens. En revanche, le prix de $$n$$ billets avec $n\in\N$ est une fonction discrète : $$n=2{,}4$$ billet n'a pas de sens.

Sur un graphique, une fonction continue est souvent représentée par un trait ; une fonction discrète, par des points séparés.

Courbe représentative et lectures graphiques

L'équation $$y=f(x)$$

Lire une image : trajet vertical

Pour lire $$f(a)$$ , on part de $$a$$ sur l'axe des abscisses, on rejoint verticalement la courbe, puis on lit horizontalement l'ordonnée.

Lire des antécédents : trajet horizontal

Pour chercher les antécédents de $$k$$ , on trace mentalement la droite horizontale $$y=k$$ . Les abscisses de ses points d'intersection avec la courbe sont les solutions de $$f(x)=k$$ .

La droite $$y=3$$ coupe la courbe en deux points d'abscisses $$-2$$ et $$2$$ . Graphiquement, les antécédents de $$3$$ sont donc $$-2$$ et $$2$$ .

Résoudre une inéquation graphiquement

Sur le graphique précédent, $f(x)\leq3$ pour $x\in[-2;2]$ , dans la partie du domaine représentée.

Lire le signe d'une fonction

Le signe de $$f(x)$$ se lit par rapport à l'axe des abscisses :

au-dessus de l'axe, $$f(x)>0$$ ;
sur l'axe, $$f(x)=0$$ ;
au-dessous de l'axe, $$f(x)<0$$ .

Pour $$f(x)=x^2-1$$ , la courbe coupe l'axe en $$-1$$ et $$1$$ . Elle est sous l'axe pour $x\in]-1;1[$ , et sur ou au-dessus pour $x\in]-\infty;-1]\cup[1;+\infty[$ .

Comparer deux fonctions

Sur un même graphique, $f(x)\leq g(x)$ lorsque la courbe de $$f$$ est sous celle de $$g$$ , ou confondue avec elle. Les abscisses des intersections résolvent $$f(x)=g(x)$$ .

Modéliser une situation par une fonction

Construire le modèle

Un modèle n'est pas la réalité entière

Une fonction retient les grandeurs jugées importantes et laisse de côté d'autres effets. Le modèle du volume précédent néglige l'épaisseur du carton et les pertes au pliage. Un bon travail mathématique précise donc les hypothèses, le domaine et le niveau de précision attendu.

Une fonction en Python

Traduire une formule

La fonction mathématique $$f(x)=x^2-1$$ peut être programmée ainsi :

def f(x):
    return x**2 - 1

print(f(2))

Le mot return indique la valeur renvoyée. Le programme affiche $$3$$ .

Construire un tableau de valeurs

def f(x):
    return x**2 - 1

for x in range(-3, 4):
    print(x, f(x))

La boucle utilise les entiers de $$-3$$ à $$3$$ . Elle produit automatiquement les colonnes du tableau de valeurs, mais elle ne calcule pas les images des nombres non entiers situés entre eux.

Pour aller plus loin – guidé et facultatif

Cette partie prolonge le socle officiel. Elle n'est pas réservée à quelques-uns : chaque idée est construite à partir de la notion de machine déjà comprise.

Enchaîner deux fonctions

Soient $$f(x)=2x+1$$ et $$g(x)=x^2$$ . Si l'on applique d'abord $$f$$ , puis $$g$$ , la sortie de la première machine devient l'entrée de la seconde :

x\longmapsto f(x)=2x+1\longmapsto g(f(x))=(2x+1)^2.

Déplacer une courbe verticalement

Si $$g(x)=f(x)+k$$ , chaque point $$(x;f(x))$$ de $\mathcal C_f$ devient le point $$(x;f(x)+k)$$ de $\mathcal C_g$ . L'abscisse ne change pas et l'ordonnée augmente de $$k$$ : la courbe est translatée verticalement.

Déplacer une courbe horizontalement

Si $$h(x)=f(x-a)$$ , alors $$h(x+a)=f(x)$$ . Le point $$(x;f(x))$$ de $\mathcal C_f$ correspond au point $$(x+a;f(x))$$ de $\mathcal C_h$ . La courbe est décalée de $$a$$ unités vers la droite lorsque $$a>0$$ .

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices

Pour chaque exercice, commence par identifier le domaine et la représentation utilisée. Les étoiles indiquent une progression ; elles ne ferment la porte à personne.

Exercice 1 ★☆☆ : La machine et son vocabulaire

On considère la fonction $$p$$ qui à tout réel $$x$$ associe $$3x-4$$ .

Écrire $$p(x)$$ .
Calculer l'image de $$5$$ , puis celle de $$-2$$ .
Chercher l'antécédent de $$8$$ par $$p$$ .
Traduire la phrase « l'image de $$7$$ par $$p$$ est $$17$$ » par une égalité, puis la vérifier.

Exercice 2 ★☆☆ : Calculer des images

Soient

f(x)=2x^2-5x+3 \qquad\text{et}\qquad g(x)=\frac{x+1}{x-2}.

Calculer $$f(0)$$ , $$f(1)$$ , $$f(-2)$$ et $$f(1/2)$$ .
Préciser le domaine de $$g$$ .
Calculer $$g(3)$$ , $$g(0)$$ et $$g(-1)$$ .
Expliquer pourquoi $$g(2)$$ n'existe pas.

Exercice 3 ★☆☆ : Chercher des antécédents

On pose $$f(x)=x^2-4$$ et $$h(x)=3x+7$$ .

Chercher les antécédents de $$0$$ , puis de $$5$$ , par $$f$$ .
Le nombre $$-5$$ a-t-il un antécédent par $$f$$ ?
Chercher l'antécédent de $$-2$$ par $$h$$ .

Exercice 4 ★★☆ : Ensembles de définition

Déterminer l'ensemble de définition de chaque fonction :

\begin{aligned}\text{a) }a(x)&=3x+1, &\text{b) }b(x)&=\frac5{x+2},\\ \text{c) }c(x)&=\sqrt{2x-6}, &\text{d) }d(x)&=\frac{x-1}{x^2-9},\\ \text{e) }e(x)&=\frac{\sqrt{5-x}}{x+1}.&&\end{aligned}

Exercice 5 ★☆☆ : Compléter un tableau

Soit $$f(x)=x^2-2x-3$$ . Compléter le tableau, puis relever les antécédents de $$0$$ et de $$5$$ parmi les valeurs présentées.

$$x$$	$$-2$$	$$-1$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$4$$
$$f(x)$$

Graphique commun aux exercices 6, 7 et 8. La courbe polygonale ci-dessous représente une fonction $$u$$ ; ses sommets sont placés sur des points de la grille.

Schéma : Exercice 5 1 : Compléter un tableau

Exercice 6 ★☆☆ : Lire une courbe

Donner l'ensemble de définition de $$u$$ .
Lire $$u(-4)$$ , $$u(-2)$$ , $$u(0)$$ et $$u(4)$$ .
Donner tous les antécédents de $$2$$ , de $$-2$$ et de $$0$$ .

Exercice 7 ★★☆ : Équations et inéquations graphiques

À l'aide du graphique :

résoudre $$u(x)=1$$ ;
résoudre $u(x)\leq0$ ;
résoudre $$u(x)>1$$ .

Exercice 8 ★★☆ : Lire le signe

Donner les zéros de $$u$$ .
Déterminer les ensembles sur lesquels $$u(x)>0$$ et $$u(x)<0$$ .
Construire un tableau de signes de $$u$$ sur son domaine.

Exercice 9 ★★☆ : Un point appartient-il à la courbe ?

Soit $$f(x)=x^2-3x+1$$ et $\mathcal C_f$ sa courbe représentative.

Parmi les points $$A(0;1)$$ , $$B(2;-1)$$ , $$C(-1;5)$$ et $$D(3;0)$$ , lesquels appartiennent à $\mathcal C_f$ ?
Déterminer l'ordonnée du point de $\mathcal C_f$ d'abscisse $$4$$ .
Déterminer les abscisses des points de $\mathcal C_f$ d'ordonnée $$1$$ .

Exercice 10 ★★☆ : Une fonction discrète

Une carte annuelle coûte $$12$$ euros, puis chaque atelier coûte $$4$$ euros. On note $$C(n)$$ le prix de $$n$$ ateliers, avec $n\in\N$ .

Exprimer $$C(n)$$ .
Construire le tableau de valeurs pour $$n=0,1,2,3,4$$ .
Compléter la fonction Python suivante :

def cout(n):
    return ...

Dans une représentation graphique, pourquoi ne faut-il pas relier les points obtenus ?

Exercice 11 ★★★ : Comparer deux fonctions

On considère $$f(x)=2x+1$$ et $$g(x)=x^2-2$$ sur $\R$ .

Résoudre $$f(x)=g(x)$$ et donner les coordonnées des points d'intersection de leurs courbes.
Factoriser $$g(x)-f(x)$$ .
En déduire les solutions de $f(x)\leq g(x)$ .
Traduire la réponse précédente en termes de position relative des deux courbes.

Exercice 12 ★★★ : Aire d'un rectangle

Un rectangle a un périmètre de $$20$$ cm. L'un de ses côtés mesure $$x$$ cm. Pour étudier aussi les positions limites d'aire nulle, on autorise un côté de longueur $$0$$ .

Montrer que l'autre côté mesure $$10-x$$ et préciser le domaine de $$x$$ .
Exprimer l'aire $$A(x)$$ du rectangle.
Calculer $$A(3)$$ .
Déterminer les antécédents de $$16$$ par $$A$$ .
Montrer que $$A(x)=25-(x-5)^2$$ . En déduire que l'aire ne peut pas dépasser $$25$$ cm $$^2$$ et préciser quand cette valeur est atteinte.

Exercice 13 ★★☆ : Fonction, budget et Python

Le prix de stationnement pour $$n$$ heures entières est donné par $$P(n)=5+1{,}8n$$ , où $n\in\N$ .

Calculer $$P(6)$$ et interpréter le résultat.
Avec $$20$$ euros, combien d'heures entières peut-on payer au maximum ?
Écrire une fonction Python prix(n) qui renvoie $$P(n)$$ .
Expliquer la différence entre le domaine mathématique de la formule $$5+1{,}8x$$ et celui du modèle de stationnement.

Exercice 14 ★★★ : Enchaîner deux machines – pour aller plus loin

Soient $$f(x)=3x-2$$ et $$g(x)=x^2+1$$ .

Calculer $$f(2)$$ , puis $$g(f(2))$$ .
Calculer $$g(2)$$ , puis $$f(g(2))$$ . Comparer les deux résultats.
Déterminer les expressions de $(g\circ f)(x)$ et de $(f\circ g)(x)$ .
Résoudre $(g\circ f)(x)=1$ .

Exercice 15 ★★★ : Déplacer une courbe – pour aller plus loin

On pose $$f(x)=x^2$$ , $$g(x)=f(x)+3$$ et $$h(x)=f(x-2)$$ .

Donner les expressions développées de $$g(x)$$ et $$h(x)$$ .
Le point $$A(1;1)$$ appartient à $\mathcal C_f$ . Quels points correspondants obtient-on sur $\mathcal C_g$ et $\mathcal C_h$ ?
Décrire les déplacements qui transforment $\mathcal C_f$ en $\mathcal C_g$ , puis en $\mathcal C_h$ .
Résoudre $$g(x)=3$$ et $$h(x)=0$$ .

Problème : L'arche du jardin partagé ★★★

L'ouverture mesure $$10$$ m de large. Pour $x\in[0;10]$ , sa hauteur en mètres est modélisée par

h(x)=4-\frac4{25}(x-5)^2.

L'abscisse $$x=0$$ correspond au bord gauche et $$x=10$$ au bord droit.

Schéma : Problème : L'arche du jardin partagé 3

Partie A – Comprendre le modèle

Expliquer pourquoi le domaine retenu est $$[0;10]$$ et interpréter $$h(x)$$ .
Calculer $$h(0)$$ , $$h(2{,}5)$$ , $$h(5)$$ , $$h(7{,}5)$$ et $$h(10)$$ . Organiser les résultats dans un tableau.
Pour tout $$t$$ tel que $$5-t$$ et $$5+t$$ appartiennent au domaine, montrer que $$h(5-t)=h(5+t)$$ . Interpréter cette égalité sur la courbe.
Vérifier par le calcul que les trois points signalés sur le graphique appartiennent à $\mathcal C_h$ .

Partie B – Une zone haute d'au moins $$3$$ m

Résoudre exactement $$h(x)=3$$ dans $$[0;10]$$ .
En utilisant la forme de $$h$$ , montrer que
$h(x)\geq3\ssi |x-5|\leq2{,}5.$
En déduire l'intervalle correspondant et la largeur de la zone où l'arche mesure au moins $$3$$ m.

Partie C – Vérifier l'accessibilité

Une voie de service exige une hauteur minimale de $$2{,}40$$ m.

Montrer que $h(x)\geq2{,}4$ est équivalent à $(x-5)^2\leq10$ .
En déduire que la zone utilisable est
$[5-\sqrt{10};5+\sqrt{10}].$
Donner une valeur approchée de sa largeur au centimètre près.
Un véhicule de $$6$$ m de large est centré sous l'arche. Ses bords sont donc aux abscisses $$2$$ et $$8$$ . Peut-il passer en conservant la hauteur minimale de $$2{,}40$$ m ? Justifier de deux manières.

Partie D – Deux formules, une même arche

Un second bureau d'études propose la fonction

g(x)=\frac4{25}x(10-x) \qquad\text{pour }x\in[0;10].

Développer $$h(x)$$ et $$g(x)$$ , puis montrer que $$h(x)=g(x)$$ pour tout $x\in[0;10]$ .
Expliquer pourquoi les deux fonctions ont exactement la même courbe sur le domaine.
Indiquer une situation dans laquelle la forme factorisée de $$g$$ est plus pratique, puis une situation dans laquelle la forme de $$h$$ est plus pratique.

Partie E – Comparer avec un toit triangulaire

Un toit triangulaire de même largeur et de même hauteur est modélisé par

t(x)= \begin{cases} 0{,}8x & \text{si }0\leq x\leq5,\\ 0{,}8(10-x) & \text{si }5\leq x\leq10. \end{cases}

Pour $x\in[0;5]$ , montrer que
$h(x)-t(x)=\frac4{25}x(5-x)\geq0.$
Pour $x\in[5;10]$ , montrer que
$h(x)-t(x)=\frac4{25}(10-x)(x-5)\geq0.$
En déduire la position relative des deux courbes et les abscisses de leurs points d'intersection.

Partie F – Approcher la longueur de l'arche

On remplace la courbe par une ligne brisée joignant des points régulièrement espacés. Avec $$n$$ intervalles, on pose $\Delta x=10/n$ et on additionne les longueurs des $$n$$ segments.

Pour $$n=2$$ , les points utilisés sont $$(0;0)$$ , $$(5;4)$$ et $$(10;0)$$ . Montrer que la longueur approchée vaut $L_2=2\sqrt{41}$ .
Pour $$n=4$$ , utiliser les valeurs de la partie A pour montrer que
$L_4=\sqrt{61}+\sqrt{29}.$
Comparer $$L_2$$ et $$L_4$$ numériquement.
Expliquer chaque ligne du programme suivant et préciser ce que calcule longueur(100).

from math import sqrt

def h(x):
    return 4 - 4/25 * (x - 5)**2

def longueur(n):
    dx = 10 / n
    total = 0
    for k in range(n):
        x1 = k * dx
        x2 = (k + 1) * dx
        dy = h(x2) - h(x1)
        total = total + sqrt(dx**2 + dy**2)
    return total

Sans utiliser d'intégrale, expliquer pourquoi chaque longueur approchée est supérieure à $$10$$ m.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Démonstration · Calculer colonne par colonne

On remplace $$x$$ par chaque valeur :

$$x$$	$$-2$$	$$-1$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$4$$
$$f(x)$$	$$5$$	$$0$$	$$-3$$	$$-4$$	$$-3$$	$$0$$	$$5$$

Parmi les valeurs présentées, les antécédents de $$0$$ sont $\boxed{-1\text{ et }3}$ ; ceux de $$5$$ sont $\boxed{-2\text{ et }4}$ .

Le tableau seul permet cette conclusion pour les entrées affichées. Ici, la formule permettrait en plus de prouver qu'il n'y en a pas d'autres.

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Démonstration · Respecter le caractère discret

1. Le coût comprend $$12$$ euros fixes puis $$4$$ euros par atelier :

\boxed{C(n)=12+4n}, \qquad n\in\N.

2.

$$n$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$4$$
$$C(n)$$	$$12$$	$$16$$	$$20$$	$$24$$	$$28$$

3.

def cout(n):
    return 12 + 4*n

Corrigé 11

Démonstration · Une égalité pour les intersections, une inégalité pour la position

1.

\begin{aligned}f(x)=g(x) &\ssi2x+1=x^2-2\\ &\ssi x^2-2x-3=0\\ &\ssi(x-3)(x+1)=0\\ &\ssi x=-1\ \text{ou}\ x=3.\end{aligned}

Pour $$x=-1$$ , l'ordonnée vaut $$f(-1)=-1$$ . Pour $$x=3$$ , elle vaut $$f(3)=7$$ . Les points d'intersection sont

\boxed{(-1;-1)\text{ et }(3;7)}.

2.

g(x)-f(x)=x^2-2-(2x+1)=x^2-2x-3=\boxed{(x-3)(x+1)}.

3.

\begin{aligned}f(x) &\leq g(x)\\&\ssi g(x) -f(x)\\&\geq 0\\&\ssi (x-3)(x+1)\\&\geq 0.\end{aligned}

Le produit est positif ou nul à l'extérieur des deux racines :

\boxed{S=]-\infty;-1]\cup[3;+\infty[}.

4. Sur ces deux intervalles, la courbe de $$f$$ est sous celle de $$g$$ , ou confondue avec elle aux abscisses $$-1$$ et $$3$$ . Entre $$-1$$ et $$3$$ , la courbe de $$f$$ est strictement au-dessus de celle de $$g$$ .

Corrigé 12

Démonstration · Du domaine à l'optimisation

1. Si l'autre côté mesure $$y$$ , alors

\begin{aligned}2x +2y &= 20\\&\ssi x +y = 10\\&\ssi y = 10 -x.\end{aligned}

Les longueurs sont positives ou nulles dans le modèle élargi, donc $x\geq0$ et $10-x\geq0$ . Ainsi

\boxed{x\in[0;10]}.

2.

\boxed{A(x)=x(10-x)}.

3.

A(3)=3(10-3)=3\times7=\boxed{21\text{ cm}^2}.

4.

\begin{aligned}A(x)=16 &\ssi x(10-x)=16\\ &\ssi x^2-10x+16=0\\ &\ssi(x-2)(x-8)=0.\end{aligned}

Les deux solutions appartiennent au domaine : les antécédents de $$16$$ sont $\boxed{2\text{ et }8}$ .

5. On développe :

\begin{aligned}25 -(x-5)^2 &= 25 -(x^2-10x+25)\\&= 10x -x^2 = x(10-x) = A(x).\end{aligned}

Comme $(x-5)^2\geq0$ ,

A(x)=25-(x-5)^2\leq25.

L'égalité est obtenue si et seulement si $$(x-5)^2=0$$ , donc pour $$x=5$$ . L'aire maximale est $\boxed{25\text{ cm}^2}$ , atteinte par le carré de côté $$5$$ cm.

Corrigé 13

def prix(n):
    return 5 + 1.8*n

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème : L'arche du jardin partagé

Démonstration · Partie A – Comprendre le modèle

1. L'abscisse mesure la distance horizontale depuis le bord gauche. L'ouverture commence à $$x=0$$ et se termine à $$x=10$$ , donc le domaine physique est $\boxed{[0;10]}$ . Pour chaque $$x$$ de cet intervalle, $$h(x)$$ est la hauteur de l'arche en mètres.

2.

\begin{aligned}h(0)&=4-\frac4{25}\times25=0,\\ h(2{,}5)&=4-\frac4{25}\times6{,}25=3,\\ h(5)&=4,\\ h(7{,}5)&=3,\\ h(10)&=0.\end{aligned}

Ainsi :

$$x$$	$$0$$	$$2{,}5$$	$$5$$	$$7{,}5$$	$$10$$
$$h(x)$$	$$0$$	$$3$$	$$4$$	$$3$$	$$0$$

3.

\begin{aligned}h(5-t)&=4-\frac4{25}\big((5-t)-5\big)^2=4-\frac4{25}t^2,\\ h(5+t)&=4-\frac4{25}\big((5+t)-5\big)^2=4-\frac4{25}t^2.\end{aligned}

Donc $\boxed{h(5-t)=h(5+t)}$ . Deux points situés à la même distance horizontale de $$x=5$$ ont la même hauteur : la courbe est symétrique par rapport à la droite verticale $$x=5$$ .

4. Les calculs précédents donnent $$h(0)=0$$ , $$h(5)=4$$ et $$h(10)=0$$ . Ainsi $$(0;0)$$ , $$(5;4)$$ et $$(10;0)$$ vérifient bien l'équation $$y=h(x)$$ et appartiennent à $\mathcal C_h$ .

Démonstration · Partie C – Vérifier l'accessibilité

8. Comme $$2{,}4=12/5$$ ,

\begin{aligned}h(x)\geq2{,}4 &\ssi4-\frac4{25}(x-5)^2\geq\frac{12}{5}\\ &\ssi-\frac4{25}(x-5)^2\geq-\frac85\\ &\ssi\boxed{(x-5)^2\leq10}.\end{aligned}

9.

\begin{aligned}(x-5)^2 &\leq 10\\&\ssi |x -5|\\&\leq \sqrt{10}\\&\ssi -\sqrt{10}\\&\leq x -5\\&\leq \sqrt{10}.\end{aligned}

Ainsi

\boxed{x\in[5-\sqrt{10};5+\sqrt{10}]}.

La largeur vaut

2\sqrt{10}\approx6{,}3249\text{ m},

soit $\boxed{6{,}32\text{ m}}$ au centimètre près.

10. Première justification : la voie du véhicule occupe $$[2;8]$$ . Or

5-\sqrt{10}\approx1{,}84<2 \qquad\text{et}\qquad 8<8{,}16\approx5+\sqrt{10}.

Ainsi $$[2;8]$$ est contenu dans la zone accessible.

Seconde justification : pour tout $x\in[2;8]$ , on a $|x-5|\leq3$ , donc $(x-5)^2\leq9$ et

h(x)\geq4-\frac4{25}\times9=\frac{64}{25}=2{,}56>2{,}40.

Le véhicule peut donc passer avec la marge demandée.

Démonstration · Partie E – Comparer avec un toit triangulaire

14. Pour $x\in[0;5]$ , on utilise la forme factorisée de $$h=g$$ :

\begin{aligned}h(x)-t(x) &=\frac4{25}x(10-x)-0{,}8x\\ &=\frac4{25}x(10-x)-\frac{20}{25}x\\ &=\frac4{25}x(5-x).\end{aligned}

Sur $$[0;5]$$ , les deux facteurs $$x$$ et $$5-x$$ sont positifs ou nuls. Donc

\boxed{h(x)-t(x)\geq0}.

15. Pour $x\in[5;10]$ ,

\begin{aligned}h(x)-t(x) &=\frac4{25}x(10-x)-0{,}8(10-x)\\ &=(10-x)\left(\frac4{25}x-\frac{20}{25}\right)\\ &=\frac4{25}(10-x)(x-5).\end{aligned}

Sur $$[5;10]$$ , les facteurs $$10-x$$ et $$x-5$$ sont positifs ou nuls. Donc

\boxed{h(x)-t(x)\geq0}.

16. Sur tout $$[0;10]$$ , on a $h(x)\geq t(x)$ : la courbe de l'arche est au-dessus de celle du toit triangulaire, ou confondue avec elle. Dans la première moitié, l'égalité a lieu pour $$x=0$$ ou $$x=5$$ ; dans la seconde, pour $$x=5$$ ou $$x=10$$ . Les points d'intersection ont donc pour abscisses

\boxed{0,\ 5\text{ et }10}.

Démonstration · Partie F – Approcher la longueur de l'arche

17. Pour $$n=2$$ , chacun des deux segments a un déplacement horizontal de $$5$$ m et un déplacement vertical de $$4$$ m. Par le théorème de Pythagore, sa longueur est $\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}$ . Donc

\boxed{L_2=2\sqrt{41}\approx12{,}806\text{ m}}.

18. Les cinq points sont

(0;0),\quad(2{,}5;3),\quad(5;4),\quad(7{,}5;3),\quad(10;0).

Chacun des deux segments extérieurs mesure

\sqrt{2{,}5^2+3^2}=\frac{\sqrt{61}}2,

et chacun des deux segments intérieurs mesure

\sqrt{2{,}5^2+1^2}=\frac{\sqrt{29}}2.

Ainsi

\boxed{L_4=\sqrt{61}+\sqrt{29}\approx13{,}195\text{ m}}.

Cette approximation est environ $$0{,}389$$ m plus grande que $$L_2$$ .

19. La fonction h traduit la formule de la hauteur. Dans longueur(n), la variable dx est la largeur de chaque petit intervalle. La boucle construit ses deux extrémités x1 et x2, calcule la différence verticale dy, puis ajoute la longueur du segment obtenue par Pythagore.

L'appel longueur(100) utilise $$100$$ segments et renvoie environ

\boxed{13{,}3368\text{ m}}.

Il s'agit d'une approximation numérique de la longueur de la courbe, pas d'une valeur exacte.

20. Pour chaque segment,

\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\geq\sqrt{(\Delta x)^2}=\Delta x,

car $\Delta x>0$ . En additionnant les $$n$$ segments,

L_n\geq n\Delta x=n\times\frac{10}{n}=10.

Au moins un déplacement vertical est non nul, donc au moins une inégalité est stricte. Par conséquent

\boxed{L_n>10\text{ m}}.

Carte mémoire de la fiche

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Pourquoi étudier les fonctions ?

Décrire une dépendance

Pourquoi plusieurs représentations ?

L'idée avant la formule

Entrée, règle, sortie

Remonter la machine

Le test de la droite verticale

Définir une fonction

Notation complète

Ensemble de définition

Le domaine peut venir de la situation

Calculer une image, chercher un antécédent

Calculer une image

Chercher un ou plusieurs antécédents

Lire dans un tableau de valeurs

Les représentations d'une fonction

Une même fonction, plusieurs langages

Construire un tableau de valeurs

Fonction continue ou fonction discrète

Courbe représentative et lectures graphiques

L'équation \(y=f(x)\)

Lire une image : trajet vertical

Lire des antécédents : trajet horizontal

Résoudre une inéquation graphiquement

Lire le signe d'une fonction

Comparer deux fonctions

Modéliser une situation par une fonction

Construire le modèle

Un modèle n'est pas la réalité entière

Une fonction en Python

Traduire une formule

Construire un tableau de valeurs

Pour aller plus loin – guidé et facultatif

Enchaîner deux fonctions

Déplacer une courbe verticalement

Déplacer une courbe horizontalement

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : La machine et son vocabulaire

Exercice 2 ★☆☆ : Calculer des images

Exercice 3 ★☆☆ : Chercher des antécédents

Exercice 4 ★★☆ : Ensembles de définition

Exercice 5 ★☆☆ : Compléter un tableau

Exercice 6 ★☆☆ : Lire une courbe

Exercice 7 ★★☆ : Équations et inéquations graphiques

Exercice 8 ★★☆ : Lire le signe

Exercice 9 ★★☆ : Un point appartient-il à la courbe ?

Exercice 10 ★★☆ : Une fonction discrète

Exercice 11 ★★★ : Comparer deux fonctions

Exercice 12 ★★★ : Aire d'un rectangle

Exercice 13 ★★☆ : Fonction, budget et Python

Exercice 14 ★★★ : Enchaîner deux machines – pour aller plus loin

Exercice 15 ★★★ : Déplacer une courbe – pour aller plus loin

Problème : L'arche du jardin partagé ★★★

Partie A – Comprendre le modèle

Partie B – Une zone haute d'au moins \(3\) m

Partie C – Vérifier l'accessibilité

Partie D – Deux formules, une même arche

Partie E – Comparer avec un toit triangulaire

Partie F – Approcher la longueur de l'arche

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème : L'arche du jardin partagé

Carte mémoire de la fiche

Maîtrise du chapitre

L'équation $\(y=f(x)\)$

Partie B – Une zone haute d'au moins $\(3\)$ m