Fonctions de référence · Seconde générale

Pourquoi étudier les fonctions de référence ?

Construire une bibliothèque mentale

Quand tu lis un mot courant, tu ne redécouvres pas chaque lettre : tu reconnais le mot. En mathématiques, les fonctions de référence jouent le même rôle. Reconnaître la forme de $$x^2$$ , de $$|x|$$ ou de $$1/x$$ permet de prévoir un domaine, un signe, une symétrie et l'allure d'une courbe avant même de calculer.

Les questions toujours posées

Pour chaque fonction, nous répondrons dans le même ordre :

quelles entrées sont autorisées ?
quelles valeurs la fonction peut-elle produire ?
où est-elle positive, nulle ou négative ?
possède-t-elle une symétrie ?
comment varie-t-elle ?
comment résoudre $$f(x)=k$$ ou $f(x)\leq k$ ?

La carte d'identité d'une fonction

Domaine, signe et variations

Ces informations ne doivent pas être confondues. Par exemple, la fonction carré est positive ou nulle sur $\R$ , mais elle n'est pas croissante sur tout $\R$ .

Fonction paire : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

Fonction impaire : symétrie par rapport à l'origine

La fonction affine

Formule et droite représentative

Variations

Signe

Supposons $m\neq0$ . La fonction s'annule une seule fois :

mx+p=0\ssi x=-\frac{p}{m}.

Si $$m>0$$ , elle est négative à gauche de cette racine et positive à droite. Si $$m<0$$ , c'est l'inverse.

La fonction carré

Définition, signe et symétrie

Pour tout réel $$x$$ , $x^2\geq0$ , et $x^2=0\ssi x=0$ . De plus,

\[q(-x)=(-x)^2=x^2=q(x),\]

donc $$q$$ est paire.

Variations

Équations et inéquations

Pour $k\in\R$ :

x^2=k \begin{cases} \text{n'a aucune solution} & \text{si }k<0,\\ \text{a pour unique solution }0 & \text{si }k=0,\\ \text{a pour solutions }-\sqrt{k}\text{ et }\sqrt{k} & \text{si }k>0. \end{cases}

Pour $a\geq0$ , la distance de $$x$$ à $$0$$ est $$|x|$$ . On obtient :

\begin{aligned}x^2 &\leq a^2\\&\ssi |x|\\&\leq a\\&\ssi x\\&\in [-a;a],\end{aligned}

\begin{aligned}x^2 &\geq a^2\\&\ssi |x|\\&\geq a\\&\ssi x\\&\in ]-\infty;-a]\cup[a;+\infty[.\end{aligned}

La fonction valeur absolue

Distance à zéro

Ainsi $$|-4|=4$$ , car la distance entre $$-4$$ et $$0$$ vaut $$4$$ . Pour tout $$x$$ , $|x|\geq0$ , et $|x|=0\ssi x=0$ . De plus, $$|-x|=|x|$$ : la fonction valeur absolue est paire.

Variations et résolutions

Sur $]-\infty;0]$ , $$|x|=-x$$ : c'est une fonction affine de coefficient $$-1$$ , donc elle est décroissante. Sur $[0;+\infty[$ , $$|x|=x$$ : elle est croissante. Son minimum est $$0$$ .

Pour $a\geq0$ :

|x|=a\ssi x=-a\ \text{ou}\ x=a,

\begin{aligned}|x| &\leq a\ssi x\in[-a;a],\\|x| &\geq a\\&\ssi x\\&\in ]-\infty;-a]\cup[a;+\infty[.\end{aligned}

La fonction inverse

Domaine, signe et symétrie

Le numérateur $$1$$ est positif : $$1/x$$ a donc le signe de $$x$$ . La fonction ne s'annule jamais. Enfin,

i(-x)=\frac1{-x}=-\frac1x=-i(x),

donc la fonction inverse est impaire.

Variations

Équations et inéquations

L'équation $$1/x=k$$ n'a aucune solution si $$k=0$$ . Si $k\neq0$ , elle a l'unique solution $$x=1/k$$ .

La fonction racine carrée

Domaine et courbe

La racine carrée est toujours positive ou nulle et $\sqrt{x}=0\ssi x=0$ .

Variations

Résoudre

L'équation $\sqrt{x}=k$ impose d'abord $k\geq0$ . Si $k\geq0$ ,

\sqrt{x}=k\ssi x=k^2.

Pour $k\geq0$ , la croissance de la fonction donne

\sqrt{x}\leq k\ssi 0\leq x\leq k^2.

Lien avec la fonction carré

Sur $[0;+\infty[$ , les fonctions carré et racine carrée annulent leurs effets :

(\sqrt{x})^2=x \qquad\text{et}\qquad \sqrt{x^2}=x\quad\text{si }x\geq0.

La fonction cube

Définition, signe et symétrie

Le cube conserve le signe : $$x^3<0$$ si $$x<0$$ , $$x^3=0$$ si $$x=0$$ , et $$x^3>0$$ si $$x>0$$ . De plus,

\[c(-x)=(-x)^3=-x^3=-c(x),\]

donc la fonction cube est impaire.

Variations

Pour tout réel $$k$$ , l'équation $$x^3=k$$ possède une unique solution, notée $\sqrt[3]{k}$ . La croissance donne aussi

x^3\leq k\ssi x\leq\sqrt[3]{k}.

Le répertoire des courbes

Une vue d'ensemble

Fonction	Formule	Domaine	Symétrie	Signe
Affine	$$mx+p$$	$\R$	cas particulier	dépend de $$m,p$$
Carré	$$x^2$$	$\R$	paire	positif ou nul
Valeur absolue	$$\|x\|$$	$\R$	paire	positif ou nul
Inverse	$$1/x$$	$\R\setminus\{0\}$	impaire	signe de $$x$$
Racine carrée	$\sqrt{x}$	$[0;+\infty[$	aucune parité	positif ou nul
Cube	$$x^3$$	$\R$	impaire	signe de $$x$$

Comparer $$x^2$$ , $$x$$ et $\sqrt{x}$ sur $\R_+$

Résoudre avec une fonction de référence

Le protocole fiable

Comparer sans calculatrice

Pour comparer deux images, on utilise le domaine où l'on se trouve et le sens de variation. Par exemple, $$3<5$$ et la fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty[$ , donc

\frac13>\frac15.

De même, $-4<-2\leq0$ et la fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ , donc

\[(-4)^2>(-2)^2.\]

Fonctions de référence en Python

Définir les fonctions

from math import sqrt

def carre(x):
    return x**2

def inverse(x):
    return 1/x

def racine(x):
    return sqrt(x)

Construire une table de comparaison

from math import sqrt

for k in range(0, 9):
    x = k/4
    print(x, x**2, x, sqrt(x))

Ce programme observe les positions relatives pour $x=0,0{,}25,\ldots,2$ . Il fournit des exemples, mais la démonstration algébrique prouve le résultat pour une infinité de réels.

Pour aller plus loin - guidé et facultatif

Cette section prolonge explicitement le programme officiel. Elle est accessible à tous : elle n'utilise que les fonctions de référence et les transformations déjà comprises dans la fiche précédente.

La forme $a\,f(x-h)+k$

Partons d'une courbe $$y=f(x)$$ et considérons

g(x)=a\,f(x-h)+k.

$$x-h$$ déplace horizontalement la courbe de $$h$$ unités ;
multiplier par $$a$$ multiplie toutes les ordonnées par $$a$$ ; si $$a<0$$ , la courbe est aussi retournée ;
ajouter $$k$$ déplace verticalement la courbe de $$k$$ unités.

Exemple : une parabole transformée

Pour

\[g(x)=2(x-1)^2-3,\]

on part de $$x^2$$ , on déplace la courbe d'une unité vers la droite, on double les ordonnées puis on descend de $$3$$ . Le sommet devient $$S(1;-3)$$ et l'axe de symétrie est $$x=1$$ .

Schéma : Exemple : une parabole transformée

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices

Pour chaque exercice, commence par identifier le domaine et la fonction de référence. Les étoiles indiquent une progression : elles ne ferment la porte à personne.

Exercice 1 ★☆☆ : Reconnaître la famille

Pour chaque fonction, donne son domaine, son nom de référence et une propriété essentielle :

\begin{aligned}a(x) &=x^2,\\b(x) &=\frac1x,\\c(x) &=|x|,\\d(x) &=\sqrt{x},\\e(x) &=x^3,\\f(x) &=-2x+5.\end{aligned}

Exercice 2 ★☆☆ : Calculer des images

Calcule exactement :

q(-3),\ q\left(\frac12\right),\quad v(-7),\quad i(-4),\quad r(49),\quad c(-2).

On utilise respectivement $$q(x)=x^2$$ , $$v(x)=|x|$$ , $$i(x)=1/x$$ , $r(x)=\sqrt{x}$ et $$c(x)=x^3$$ .

Exercice 3 ★☆☆ : Une fonction affine

Soit $$f(x)=-3x+6$$ .

Donne le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine.
Calcule $$f(-1)$$ et $$f(4)$$ .
Détermine la racine de $$f$$ .
Donne son sens de variation et son signe.

Exercice 4 ★☆☆ : Carrés et distances

Résous $$x^2=25$$ , puis $$x^2=-4$$ .
Résous $x^2\leq16$ .
Résous $$x^2>9$$ .
Explique graphiquement le nombre de solutions de $$x^2=k$$ selon $$k$$ .

Exercice 5 ★☆☆ : Valeur absolue

Résous $$|x|=6$$ .
Résous $|x-2|\leq3$ .
Résous $$|2x+1|>5$$ .
Traduis $|x+4|\leq1{,}5$ par une phrase de distance.

Exercice 6 ★★☆ : La fonction inverse

Compare sans décimales $$1/3$$ et $$1/5$$ , puis $$-1/4$$ et $$-1/7$$ .
Résous $$1/x=-2$$ .
Résous $1/x\geq1$ à l'aide d'un tableau de signes.
Pourquoi l'équation $$1/x=0$$ n'a-t-elle aucune solution ?

Exercice 7 ★★☆ : La racine carrée

Donne le domaine de $x\mapsto\sqrt{3x-6}$ .
Résous $\sqrt{x+5}=4$ .
Résous $\sqrt{2x-1}\leq3$ .
Explique pourquoi $\sqrt{x^2}=|x|$ .

Exercice 8 ★★☆ : La fonction cube

Compare $$(-3)^3$$ et $$(-2)^3$$ sans tout développer.
Résous $$x^3=-27$$ .
Résous $2x^3+1\leq17$ .
Montre que $$x^3-x=x(x-1)(x+1)$$ et donne son signe.

Exercice 9 ★★☆ : Comparer trois fonctions

Range dans l'ordre croissant $0{,}4^2$ , $$0{,}4$$ et $\sqrt{0{,}4}$ sans calculatrice.
Range dans l'ordre croissant $$3^2$$ , $$3$$ et $\sqrt3$ .
Résous sur $[0;+\infty[$ l'inéquation $x^2\leq x$ .
Résous sur $[0;+\infty[$ l'inéquation $\sqrt{x}\leq x$ .

Exercice 10 ★★☆ : Équations mélangées

Résous dans $\R$ :

\begin{aligned}\text{a) }3x^2-12 &=0,\\\text{b) }2|x+1|-6 &=0,\\\text{c) }\frac{4}{x} &=5,\\\text{d) }\sqrt{5x-1} &=2.\end{aligned}

Exercice 11 ★★★ : Inéquations mélangées

Résous :

\begin{aligned}\text{a) }2x^2-8 &\leq0,\\\text{b) }|3x-2| &\geq4,\\\text{c) }\frac{1}{x} &<-\frac12,\\\text{d) }\sqrt{x+1} &>2.\end{aligned}

Exercice 12 ★★☆ : Distance de freinage

À la vitesse $$v$$ en km/h, une estimation de la distance de freinage sur route sèche est

d(v)=\frac{v^2}{200}, \qquad v\in[0;130].

Calcule $$d(50)$$ et $$d(90)$$ .
À partir de quelle vitesse cette distance atteint-elle $$50$$ m ?
Montre que doubler la vitesse multiplie la distance de freinage par $$4$$ .
Explique pourquoi le domaine du modèle n'est pas $\R$ .

Exercice 13 ★★☆ : Table de valeurs en Python

Complète le programme afin d'afficher $$x$$ , $$x^2$$ , $\sqrt{x}$ et $$1/x$$ pour $x\in\{0{,}25;0{,}5;1;2;4\}$ .

from math import sqrt

valeurs = [0.25, 0.5, 1, 2, 4]
for x in valeurs:
    print(...)

Explique pourquoi cette expérience numérique ne remplace pas une démonstration.

Exercice 14 ★★★ : Une parabole transformée - pour aller plus loin

On pose $$g(x)=-2(x+1)^2+4$$ .

Décris les transformations qui font passer de $$y=x^2$$ à $\mathcal C_g$ .
Donne le sommet et l'axe de symétrie.
Résous $$g(x)=2$$ .
Résous $g(x)\geq0$ .

Exercice 15 ★★★ : Synthèse sans calculatrice

Soit

F(x)=|x-2|+\frac{4}{|x-2|+1}.

Justifie que $$F$$ est définie sur $\R$ et que $$F(2-t)=F(2+t)$$ .
Calcule $$F(0)$$ , $$F(1)$$ , $$F(2)$$ , $$F(3)$$ et $$F(4)$$ .
En posant $$u=|x-2|+1$$ , montre que
$F(x)-3=\frac{(u-2)^2}{u}.$
Détermine les solutions de $$F(x)=3$$ .

Problème : Le relais de secours ★★★

On repère la route par l'intervalle $$[0;8]$$ . Son centre a pour abscisse $$4$$ . Pour un relais placé à l'abscisse $$x$$ , on pose

\[d(x)=|x-4|\]

et

C(x)=d(x)+1+\frac{9}{d(x)+1}.

Le nombre $$C(x)$$ est un indice de coût : plus il est petit, meilleur est le compromis.

Partie A - Comprendre la distance

Donne le domaine physique de $$x$$ et l'ensemble des valeurs possibles de $$d(x)$$ .
Calcule $$d(0)$$ , $$d(2)$$ , $$d(4)$$ , $$d(6)$$ et $$d(8)$$ .
Montre que, pour tout $t\in[0;4]$ , $$d(4-t)=d(4+t)$$ .
Déduis-en que $$C(4-t)=C(4+t)$$ . Interprète cette égalité.

Partie B - Transformer le problème

On pose

\[u=d(x)+1.\]

Montre que $u\in[1;5]$ et que
$C(x)=u+\frac9u.$
Vérifie l'identité
$u+\frac9u-6=\frac{(u-3)^2}{u}.$
Pourquoi le membre de droite est-il toujours positif ou nul ?
Déduis la valeur minimale de $$C(x)$$ et tous les emplacements où elle est atteinte.

Partie C - Une exigence de coût

Le service impose $C(x)\leq6{,}5$ .

Montre que cette inéquation équivaut à
$2u^2-13u+18\leq0.$
Factorise $$2u^2-13u+18$$ .
Résous l'inéquation en $$u$$ , en tenant compte de $u\in[1;5]$ .
Reviens à $$d(x)$$ puis à $$x$$ . Donne l'ensemble exact des emplacements acceptables.

Partie D - Comparer deux modèles

Un second bureau propose l'indice affine par morceaux

A(x)=6+\frac12|x-4|.

En fonction de $$u$$ , montre que
$C(x)-A(x)=\frac{(u-2)(u-9)}{2u}.$
Détermine les emplacements où les deux modèles donnent le même indice.
Sur quelles parties de la route le modèle $$C$$ est-il plus avantageux que le modèle $$A$$ ?

Partie E - Vérification numérique

def cout(x):
    d = abs(x - 4)
    return d + 1 + 9/(d + 1)

meilleur_x = 0
meilleur_cout = cout(0)

for k in range(81):
    x = k/10
    if cout(x) < meilleur_cout:
        meilleur_x = x
        meilleur_cout = cout(x)

print(meilleur_x, meilleur_cout)

Explique le rôle de chaque variable et ce que cherche la boucle.
Quel emplacement le programme affiche-t-il en premier ? Pourquoi ne montre-t-il pas, à lui seul, qu'il existe un second emplacement optimal ?
Explique pourquoi la preuve de la partie B est plus forte que le balayage numérique.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Démonstration · Identifier avant de calculer

Fonction	Famille	Domaine	Propriété essentielle
$$a(x)=x^2$$	carré	$\R$	paire, positive ou nulle
$$b(x)=1/x$$	inverse	$\R\setminus\{0\}$	impaire, signe de $$x$$
$$c(x)=\|x\|$$	valeur absolue	$\R$	distance à $$0$$ , paire
$d(x)=\sqrt{x}$	racine carrée	$[0;+\infty[$	croissante, positive ou nulle
$$e(x)=x^3$$	cube	$\R$	impaire et croissante
$$f(x)=-2x+5$$	affine	$\R$	décroissante car $$-2<0$$

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Démonstration · Écrire les quatre sorties

from math import sqrt

valeurs = [0.25, 0.5, 1, 2, 4]
for x in valeurs:
    print(x, x**2, sqrt(x), 1/x)

Les cinq lignes suggèrent les positions relatives, mais elles ne testent qu'un nombre fini de valeurs. Une démonstration algébrique établit le résultat pour tous les réels d'un intervalle.

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème : Le relais de secours

Démonstration · Partie D - Comparer deux modèles

Comme $$d(x)=u-1$$ ,
$A(x)=6+\frac12(u-1)=\frac{11}{2}+\frac u2.$
Donc
$\begin{aligned}C(x) -A(x) &= u +\frac9u -\frac{11}{2} -\frac u2\\&= \frac{u^2-11u+18}{2u} = \frac{(u-2)(u-9)}{2u}.\end{aligned}$
Dans le domaine $u\in[1;5]$ , le dénominateur $$2u$$ est positif et $$u-9$$ est négatif. L'égalité est donc possible seulement pour $$u=2$$ . Alors $$d(x)=1$$ , donc
$\boxed{\,x=3\ \text{ou}\ x=5\,}.$
Sur $$[1;2[$$ , $$u-2<0$$ et $$u-9<0$$ , donc $$C-A>0$$ : $$A$$ est plus petit. Sur $$]2;5]$$ , les deux facteurs ont des signes opposés, donc $$C-A<0$$ : $$C$$ est plus petit.

Or $u>2\ssi d(x)>1\ssi |x-4|>1$ . Le modèle $$C$$ est donc strictement plus avantageux sur
$\boxed{\, [0;3[\cup]5;8]\,}.$
Les deux modèles sont égaux en $$3$$ et $$5$$ .

Démonstration · Partie E - Vérification numérique

x est l'emplacement testé, d sa distance au centre, meilleur_x le meilleur emplacement déjà rencontré et meilleur_cout son indice. La boucle teste $$81$$ positions, de $$0$$ à $$8$$ par pas de $$0{,}1$$ , et conserve une position lorsqu'elle améliore strictement le coût.
Le programme affiche d'abord
$\boxed{\,2{,}0\quad 6{,}0\,}.$
Le point $$x=6$$ possède le même coût, mais la condition utilise le signe strict <. Une égalité ne remplace donc pas la première position mémorisée.
Le balayage ne teste qu'un nombre fini de positions et dépend du pas $$0{,}1$$ . La preuve
$C(x)-6=\frac{(u-3)^2}{u}\geq0$
traite tous les réels de la route, donne la valeur minimale exacte et caractérise les deux cas d'égalité. Elle est donc plus forte.

Carte mémoire de la fiche

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Fonction	Formule	Domaine	Symétrie	Signe
Affine	$\(mx+p\)$	$\R$	cas particulier	dépend de $\(m,p\)$
Carré	$\(x^2\)$	$\R$	paire	positif ou nul
Valeur absolue	$\(\|x\|\)$	$\R$	paire	positif ou nul
Inverse	$\(1/x\)$	$\R\setminus\{0\}$	impaire	signe de $\(x\)$
Racine carrée	$\sqrt{x}$	$[0;+\infty[$	aucune parité	positif ou nul
Cube	$\(x^3\)$	$\R$	impaire	signe de $\(x\)$

Fonction	Famille	Domaine	Propriété essentielle
$\(a(x)=x^2\)$	carré	$\R$	paire, positive ou nulle
$\(b(x)=1/x\)$	inverse	$\R\setminus\{0\}$	impaire, signe de $\(x\)$
$\(c(x)=\|x\|\)$	valeur absolue	$\R$	distance à $\(0\)$ , paire
$d(x)=\sqrt{x}$	racine carrée	$[0;+\infty[$	croissante, positive ou nulle
$\(e(x)=x^3\)$	cube	$\R$	impaire et croissante
$\(f(x)=-2x+5\)$	affine	$\R$	décroissante car $\(-2<0\)$

Pourquoi étudier les fonctions de référence ?

Construire une bibliothèque mentale

Les questions toujours posées

La carte d'identité d'une fonction

Domaine, signe et variations

Fonction paire : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

Fonction impaire : symétrie par rapport à l'origine

La fonction affine

Formule et droite représentative

Variations

Signe

La fonction carré

Définition, signe et symétrie

Variations

Équations et inéquations

La fonction valeur absolue

Distance à zéro

Variations et résolutions

La fonction inverse

Domaine, signe et symétrie

Variations

Équations et inéquations

La fonction racine carrée

Domaine et courbe

Variations

Résoudre

Lien avec la fonction carré

La fonction cube

Définition, signe et symétrie

Variations

Le répertoire des courbes

Une vue d'ensemble

Comparer \(x^2\), \(x\) et \(\sqrt{x}\) sur \(\R_+\)

Résoudre avec une fonction de référence

Le protocole fiable

Comparer sans calculatrice

Fonctions de référence en Python

Définir les fonctions

Construire une table de comparaison

Pour aller plus loin - guidé et facultatif

La forme \(a\,f(x-h)+k\)

Exemple : une parabole transformée

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Reconnaître la famille

Exercice 2 ★☆☆ : Calculer des images

Exercice 3 ★☆☆ : Une fonction affine

Exercice 4 ★☆☆ : Carrés et distances

Exercice 5 ★☆☆ : Valeur absolue

Exercice 6 ★★☆ : La fonction inverse

Exercice 7 ★★☆ : La racine carrée

Exercice 8 ★★☆ : La fonction cube

Exercice 9 ★★☆ : Comparer trois fonctions

Exercice 10 ★★☆ : Équations mélangées

Exercice 11 ★★★ : Inéquations mélangées

Exercice 12 ★★☆ : Distance de freinage

Exercice 13 ★★☆ : Table de valeurs en Python

Exercice 14 ★★★ : Une parabole transformée - pour aller plus loin

Exercice 15 ★★★ : Synthèse sans calculatrice

Problème : Le relais de secours ★★★

Partie A - Comprendre la distance

Partie B - Transformer le problème

Partie C - Une exigence de coût

Partie D - Comparer deux modèles

Partie E - Vérification numérique

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Comparer $\(x^2\)$ , $\(x\)$ et $\sqrt{x}$ sur $\R_+$

La forme $a\,f(x-h)+k$