Dans la vie courante, une valeur exacte ne suffit pas toujours. On veut savoir si une vitesse respecte une limite, si un budget est suffisant, si une mesure appartient à une zone de tolérance, ou laquelle de deux offres est la plus avantageuse.
Une inégalité ne dit pas seulement que deux valeurs sont différentes. Elle les ordonne. Mais cet ordre doit être manipulé avec soin : ajouter conserve l'ordre, tandis que multiplier par un nombre négatif le renverse.
Une question de point de vue
Comparer \(A\) et \(B\) peut signifier deux choses différentes :
mesurer l'écart additif\(A-B\) : combien d'unités les séparent ?
mesurer le rapport multiplicatif\(A/B\) lorsque \(B>0\) : combien de fois \(B\) faut-il pour obtenir \(A\) ?
Une augmentation de \(20\) euros n'a pas le même poids sur un prix de \(100\) euros et sur un prix de \(1000\) euros. La variation additive est la même, mais la variation relative change.
L'idée avant la formule
L'ordre se lit de gauche à droite
Sur une droite graduée orientée vers la droite, \(a<b\) signifie que le point d'abscisse \(a\) est à gauche du point d'abscisse \(b\). Plus un nombre est à droite, plus il est grand.
Ajouter, c'est translater
Ajouter le même nombre \(c\) à \(a\) et à \(b\) déplace les deux points de la même distance et dans le même sens. Leur ordre ne peut donc pas changer :
\[a<b\quad\Longrightarrow\quad a+c<b+c.\]
Soustraire \(c\) revient à ajouter \(-c\) ; l'ordre est encore conservé.
Multiplier par un nombre négatif, c'est retourner la droite
L'application \(x\mapsto-x\) transforme la droite en son image miroir autour de \(0\). Le point le plus à droite devient le plus à gauche. C'est pourquoi le sens de l'inégalité s'inverse.
On lit \(-b<-a\), donc \(a<b\) entraîne \(-a>-b\).
Ranger dans l'ordre croissant : \(-3\), \(\sqrt9\), \(0\), \(\dfrac52\), \(-\dfrac12\).
Traduire par une inégalité : « \(x\) est au moins égal à \(-4\) » ; « \(y\) est strictement inférieur à \(7\) ».
On sait que \(-2<5\). Comparer \(2\) et \(-5\), puis \(-2+9\) et \(5+9\).
Exercice 2 ★☆☆ : Transformer une inégalité
On part de \(4<9\). Recopier et compléter, en justifiant :
\(4-7\;\ldots\;9-7\) ;
\(4\times3\;\ldots\;9\times3\) ;
\(4\times(-2)\;\ldots\;9\times(-2)\) ;
\(\dfrac4{-5}\;\ldots\;\dfrac9{-5}\).
Enfin, déduire de \(x+4\leq10\) une comparaison entre \(x\) et \(6\).
Exercice 3 ★☆☆ : Encadrer une somme et une différence
On suppose que \(1\leq x\leq4\) et \(-2\leq y\leq3\).
Encadrer \(x+y\).
Encadrer \(x-y\).
Donner des valeurs de \(x\) et \(y\) pour lesquelles chaque borne obtenue est atteinte.
Exercice 4 ★☆☆ : Comparer par différence
Comparer exactement les deux nombres de chaque ligne.
\(\dfrac7{12}\) et \(\dfrac58\) ;
\(1001^2\) et \(1000\times1002\) ;
\((x+2)^2\) et \(x^2+4\), suivant le signe de \(x\).
Exercice 5 ★☆☆ : Comparer des racines
Sans utiliser de valeur décimale, comparer :
\[\begin{aligned}&\sqrt{50}\ \text{ et }\ 7,\\&2\sqrt3\ \text{ et }\ \sqrt{13},\\&\sqrt7\ \text{ et }\ \frac83.\end{aligned}\]
Chaque comparaison doit comporter une phrase expliquant pourquoi on peut comparer les carrés.
Exercice 6 ★★☆ : Deux offres au supermarché
Un paquet A contient \(450\) g de café et coûte \(3{,}60\) euros. Un paquet B contient \(750\) g et coûte \(5{,}70\) euros.
Calculer exactement le prix par kilogramme de chaque paquet.
Quelle offre est la moins chère à quantité égale ?
De quel pourcentage environ le prix au kilogramme de B est-il inférieur à celui de A ?
Exercice 7 ★★☆ : Combiner des encadrements
On suppose que \(-1\leq a\leq3\) et \(2\leq b\leq5\).
Encadrer \(2a+3b\).
Encadrer \(a-b\).
Expliquer pourquoi les quatre bornes trouvées sont les meilleures possibles.
Exercice 8 ★★☆ : Produit et quotient positifs
On suppose que \(2\leq x\leq5\) et \(3\leq y\leq7\).
Encadrer \(xy\).
Montrer que \(\dfrac17\leq\dfrac1y\leq\dfrac13\).
En déduire un encadrement de \(\dfrac xy\).
Exercice 9 ★★☆ : Expressions affines
On considère \(f(x)=3x-5\) et \(g(x)=-2x+7\).
Si \(a<b\), comparer \(f(a)\) et \(f(b)\), puis \(g(a)\) et \(g(b)\).
Justifier que \(f\) est croissante et que \(g\) est décroissante.
Encadrer \(f(x)\) et \(g(x)\) lorsque \(-2\leq x\leq4\).
Exercice 10 ★★☆ : Variations additive et multiplicative
Une quantité passe de \(80\) à \(92\). Calculer sa variation absolue, son coefficient multiplicateur et son taux d'évolution.
Un prix de \(240\) euros diminue de \(15\,\%\). Calculer le nouveau prix.
Après une hausse de \(20\,\%\), un prix vaut \(96\) euros. Quel était le prix initial ?
Exercice 11 ★★☆ : Pourcentages successifs
Une valeur augmente de \(20\,\%\), puis diminue de \(20\,\%\). Est-elle revenue à sa valeur initiale ?
Après une baisse de \(20\,\%\), de quel pourcentage faut-il augmenter la nouvelle valeur pour revenir exactement au départ ?
Vérifier les deux réponses en partant d'une valeur initiale de \(100\).
Exercice 12 ★★☆ : Un paramètre dont le signe change
On sait que \(a<b\). Comparer \(a(c-2)\) et \(b(c-2)\) dans chacun des trois cas suivants :
\[c>2,
\qquad c=2,
\qquad c<2.\]
Préciser, pour chaque cas, le signe du nombre par lequel on multiplie l'inégalité \(a<b\).
Exercice 13 ★★★ : Une inégalité fondamentale
Soit \(x>0\).
Calculer \(x+\dfrac1x-2\) et l'écrire sous la forme d'un quotient dont le numérateur est un carré.
Démontrer que \(x+\dfrac1x\geq2\).
Déterminer le cas d'égalité.
En remplaçant \(x\) par \(\sqrt{\dfrac ab}\) avec \(a,b>0\), retrouver l'inégalité arithmético-géométrique.
Exercice 14 ★★★ : Un produit avec des nombres négatifs
On suppose que \(-2\leq x\leq3\) et \(1\leq y\leq4\).
Pourquoi la règle « multiplier les deux bornes inférieures et les deux bornes supérieures » ne s'applique-t-elle pas directement ?
Calculer les quatre produits \((-2)\times1\), \((-2)\times4\), \(3\times1\) et \(3\times4\).
En déduire le meilleur encadrement possible de \(xy\).
Exercice 15 ★★★ : Rationaliser pour comparer
Soient \(a>b>0\).
Démontrer que
\[\sqrt a-\sqrt b=\frac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}.\]
Si \(a-b=1\) et \(b\geq1\), montrer que
\[0<\sqrt a-\sqrt b<\frac1{2\sqrt b}.\]
Sans calculatrice, comparer \(\sqrt2-1\) et \(\sqrt{101}-10\).
Problème : Une racine presque demi-entière ★★★
Partie A : Localiser la racine
Montrer, en comparant des carrés, que
\[n<x_n<n+\frac12.\]
En posant \(d_n=x_n-n\), en déduire que \(0<d_n<\dfrac12\).
En multipliant par une expression conjuguée, montrer que
\[d_n=\frac{n}{x_n+n}.\]
Partie B : Mesurer l'erreur exactement
On pose maintenant \(e_n=n+\dfrac12-x_n\).
Montrer que
\[e_n=\frac{1}{4\left(n+\frac12+x_n\right)}.\]
En utilisant \(x_n>n\), prouver que
\[0<e_n<\frac1{8n}.\]
En déduire l'encadrement
\[n+\frac12-\frac1{8n}<\sqrt{n^2+n}<n+\frac12.\]
Appliquer cet encadrement à \(n=100\).
Partie C : Comment les écarts évoluent-ils ?
Montrer que
\[d_n=\frac1{\sqrt{1+1/n}+1}.\]
Démontrer que la suite des écarts \(d_n\) est strictement croissante : \(d_{n+1}>d_n\).
Démontrer que la suite des erreurs \(e_n\) est strictement décroissante : \(e_{n+1}<e_n\).
Partie D : Une garantie de précision
On approche \(x_n\) par \(A_n=n+\dfrac12\).
Donner une borne de l'erreur absolue \(|A_n-x_n|\), puis montrer que l'erreur relative vérifie
\[\frac{|A_n-x_n|}{x_n}<\frac1{8n^2}.\]
Trouver le plus petit entier \(n\) que cette borne permet de choisir pour garantir une erreur relative strictement inférieure à \(10^{-6}\).
Partie E : Traduire le raisonnement en Python
Compléter le programme suivant afin qu'il renvoie le plus petit entier \(n\geq1\) pour lequel la garantie \(\dfrac1{8n^2}<\varepsilon\) est satisfaite.
def rang_precision(epsilon):
n = 1
while ............................:
n = ............................
return n
print(rang_precision(10**(-6)))
Expliquer pourquoi la boucle finit toujours lorsque \(\varepsilon>0\), puis prévoir la valeur affichée.
Corrigés détaillés
Corrigé 1
Corrigé 2
Corrigé 3
Corrigé 4
Corrigé 5
Corrigé 6
Corrigé 7
Corrigé 8
Corrigé 9
Corrigé 10
Corrigé 11
Corrigé 12
Corrigé 13
Corrigé 14
Corrigé 15
Corrigé du problème : Une racine presque demi-entière
def rang_precision(epsilon):
n = 1
while 1 / (8 * n**2) >= epsilon:
n = n + 1
return n
print(rang_precision(10**(-6)))
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