Le cours complet Puissances d'exposant entier
Définition · Exposant positif, nul ou négatif
Soit \(a\) un réel et \(n\) un entier naturel non nul.
\[a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\text{ facteurs}}.\]
Si \(a\neq0\) , on définit aussi
\[a^0=1
\qquad\text{et}\qquad
a^{-n}=\frac{1}{a^n}.\]
Dans \(a^n\) , \(a\) est la base et \(n\) est l'exposant .
Exemple
\[3^4=3\times3\times3\times3=81,
\qquad
2^{-3}=\frac1{2^3}=\frac18,
\qquad
10^{-4}=0{,}0001.\]
Attention · Parenthèses et signe
\[(-3)^2=9
\qquad\text{mais}\qquad
-3^2=-(3^2)=-9.\]
La puissance est calculée avant le signe \(-\) placé devant. De plus, \(0^0\) n'est pas défini dans ce cours et \(0^{-n}\) n'a aucun sens, car il conduirait à diviser par \(0\) .
Propriété · Signe d'une puissance
Pour \(n\in\N\) non nul :
si \(a>0\) , alors \(a^n>0\) ;
si \(a<0\) et \(n\) est pair, alors \(a^n>0\) ;
si \(a<0\) et \(n\) est impair, alors \(a^n<0\) .
Démonstration · Comprendre la parité de l'exposant
Les facteurs négatifs se regroupent par paires. Chaque paire produit un nombre positif. Avec un nombre pair de facteurs, il ne reste aucun signe \(-\) ; avec un nombre impair, il en reste exactement un.
Règles de calcul sur les puissances
Théorème · Même base
Pour tous entiers \(m\) et \(n\) , lorsque les expressions sont définies :
\[\begin{aligned}&\boxed{a^m\times a^n=a^{m+n}},\\&\boxed{\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\quad(a\neq0)},\\&\boxed{(a^m)^n=a^{mn}}.\end{aligned}\]
Démonstration · Produit et quotient, d'abord avec des exposants positifs
Pour \(m,n\in\N^*\) , le produit \(a^m a^n\) contient \(m+n\) facteurs \(a\) , donc vaut \(a^{m+n}\) .
Si \(m\geq n\) et \(a\neq0\) , on simplifie \(n\) facteurs au numérateur et au dénominateur :
\[\frac{a^m}{a^n}=\frac{\cancel{a\cdots a}\,a^{m-n}}{\cancel{a\cdots a}}=a^{m-n}.\]
Lorsque \(m<n\) , il reste \(n-m\) facteurs au dénominateur :
\[\frac{a^m}{a^n}=\frac1{a^{n-m}}=a^{-(n-m)}=a^{m-n}.\]
C'est précisément pour conserver cette règle que l'on a défini les exposants négatifs.
Démonstration · Puissance d'une puissance
Dans \((a^m)^n\) , le bloc \(a^m\) est répété \(n\) fois. Chaque bloc contient \(m\) facteurs \(a\) ; il y a donc \(mn\) facteurs :
\[(a^m)^n=a^{mn}.\]
La même identité reste vraie pour les exposants entiers relatifs dès que \(a\neq0\) .
Théorème · Même exposant
Pour tout entier \(n\) , lorsque les expressions sont définies :
\[\boxed{a^n b^n=(ab)^n},
\qquad
\boxed{\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n\quad(b\neq0)}.\]
Démonstration
Pour \(n>0\) ,
\[a^n b^n=(a\cdots a)(b\cdots b)=(ab)\cdots(ab)=(ab)^n.\]
Le raisonnement est identique pour un quotient. Les cas \(n=0\) et \(n<0\) suivent des définitions de \(a^0\) et \(a^{-n}\) .
Attention · On ne distribue pas une puissance sur une somme
En général,
\[(a+b)^n\neq a^n+b^n.\]
Par exemple, \((2+3)^2=25\) tandis que \(2^2+3^2=13\) .
Méthode · Simplifier un produit de puissances
Regroupe les puissances de même base.
Additionne les exposants dans un produit, soustrais-les dans un quotient.
Transforme une puissance de puissance en multipliant les exposants.
Termine avec des exposants positifs si l'énoncé le demande.
Par exemple,
\[\frac{(x^3)^2x^{-1}}{x^4}=x^{6-1-4}=x
\qquad(x\neq0).\]
Puissances de \(10\) , notation scientifique et ordre de grandeur
Définition · Notation scientifique
Tout nombre décimal non nul peut s'écrire sous la forme
\[a\times10^n,\]
où \(n\in\Z\) et \(1\leq |a|<10\) . Cette écriture est la notation scientifique du nombre.
Exemple
\[\begin{aligned}73\,500 &=7{,}35\times10^4,\\0{,}000,082 &=8{,}2\times10^{-5},\\-910 &=-9{,}1\times10^2.\end{aligned}\]
Méthode · Multiplier en notation scientifique
On regroupe les coefficients puis les puissances de \(10\) :
\[(3\times10^5)(4\times10^{-2})=12\times10^3=1{,}2\times10^4.\]
La dernière égalité remet le coefficient entre \(1\) et \(10\) .
Définition · Ordre de grandeur
Un ordre de grandeur est une puissance de \(10\) proche du nombre. Il permet d'estimer rapidement un résultat et d'en tester la cohérence.
Exemple · Contrôle de vraisemblance
\(19{,}8\times0{,}51\) est proche de \(20\times0{,}5=10\) . Un affichage de calculatrice égal à \(100{,}98\) serait donc manifestement faux.
La racine carrée
Définition
Pour tout réel \(a\geq0\) , la racine carrée de \(a\) , notée \(\sqrt a\) , est l'unique nombre réel positif ou nul dont le carré vaut \(a\) :
\[\sqrt a\geq0
\qquad\text{et}\qquad
(\sqrt a)^2=a.\]
Exemple
\[\sqrt0=0,\qquad \sqrt1=1,\qquad \sqrt{36}=6,\qquad \sqrt{2{,}25}=1{,}5.\]
Le nombre \(\sqrt7\) est exact. La calculatrice en donne seulement une approximation : \(\sqrt7\approx2{,}646\) .
Attention · Deux confusions à éviter
Dans l'ensemble des réels, \(\sqrt{-4}\) n'est pas défini. De plus,
\[\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b\]
en général : \(\sqrt{9+16}=5\) tandis que \(\sqrt9+\sqrt{16}=7\) .
Pourquoi \(\sqrt{a^2}=|a|\) ?
Démonstration · Démonstration complète
On distingue deux cas.
Si \(a\geq0\) , alors \(|a|=a\) . Le nombre \(a\) est positif et son carré vaut \(a^2\) , donc \(\sqrt{a^2}=a=|a|\) .
Si \(a<0\) , alors \(|a|=-a>0\) . De plus \((-a)^2=a^2\) , donc le nombre positif dont le carré vaut \(a^2\) est \(-a\) : \(\sqrt{a^2}=-a=|a|\) .
Dans les deux cas, \(\sqrt{a^2}=|a|\) .
Exemple
\[\sqrt{(-8)^2}=|-8|=8,
\qquad
\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|.\]
On ne peut retirer la valeur absolue de \(|x-3|\) que si l'on connaît le signe de \(x-3\) .
Produit et quotient de racines carrées
Théorème · Produit – démonstration exigible
Pour tous réels \(a\geq0\) et \(b\geq0\) ,
\[\boxed{\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b}.\]
Démonstration · Démonstration
Comme \(\sqrt a\geq0\) et \(\sqrt b\geq0\) , leur produit \(\sqrt a\,\sqrt b\) est positif ou nul. Calculons son carré :
\[(\sqrt a\,\sqrt b)^2=(\sqrt a)^2(\sqrt b)^2=ab.\]
Le nombre \(\sqrt a\,\sqrt b\) est donc le nombre positif ou nul dont le carré vaut \(ab\) . Par définition de la racine carrée, il est égal à \(\sqrt{ab}\) .
Théorème · Quotient
Pour \(a\geq0\) et \(b>0\) ,
\[\boxed{\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}}.\]
Démonstration
Le quotient \(\sqrt a/\sqrt b\) est positif ou nul et
\[\left(\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\right)^2
=\frac{(\sqrt a)^2}{(\sqrt b)^2}=\frac ab.\]
Il est donc la racine carrée de \(a/b\) .
Méthode · Simplifier une racine
Cherche le plus grand facteur carré parfait :
\[\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=\sqrt{36}\sqrt2=6\sqrt2.\]
De même,
\[\sqrt{300}=10\sqrt3,
\qquad
\sqrt{\frac{49}{20}}=\frac7{2\sqrt5}=\frac{7\sqrt5}{10}.\]
La dernière forme s'obtient en multipliant numérateur et dénominateur par \(\sqrt5\) .
Fractions et expressions fractionnaires
Définition · Valeurs interdites
Une expression fractionnaire n'est définie que lorsque son dénominateur est non nul. Par exemple,
\[\frac{2x+1}{x-4}\]
est définie pour tous les réels \(x\) sauf \(x=4\) .
Propriété · Règles sur les fractions
Pour \(b\neq0\) , \(d\neq0\) et, dans le quotient, \(c\neq0\) :
\[\frac ab+\frac cb=\frac{a+c}{b},
\qquad
\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd},\]
\[\begin{aligned}\frac ab\times\frac cd &=\frac{ac}{bd},\\\frac{\frac ab}{\frac cd} &=\frac ab\times\frac dc=\frac{ad}{bc}.\end{aligned}\]
Démonstration · Pourquoi diviser revient-il à multiplier par l'inverse ?
Le nombre \(d/c\) est l'inverse de \(c/d\) , car
\[\frac cd\times\frac dc=1.\]
Ainsi, multiplier \(a/b\) par \(d/c\) produit exactement le nombre qui, multiplié par \(c/d\) , redonne \(a/b\) . C'est donc le quotient de \(a/b\) par \(c/d\) .
Attention · On ne simplifie que des facteurs
\[\frac{3x}{3x+6}\neq\frac{x}{x+6}.\]
Il faut d'abord factoriser le dénominateur :
\[\frac{3x}{3x+6}=\frac{3x}{3(x+2)}=\frac{x}{x+2}
\qquad(x\neq-2).\]
Le facteur \(3\) entier est simplifié ; aucun terme d'une somme n'a été supprimé.
Expressions algébriques : vocabulaire et substitution
Définition
Une expression algébrique est une expression comportant des nombres, des lettres et des opérations.
Un terme est une partie séparée des autres par \(+\) ou \(-\) .
Un facteur est une partie d'un produit.
Réduire , c'est regrouper les termes semblables.
Développer , c'est transformer un produit en somme.
Factoriser , c'est transformer une somme en produit.
Méthode · Remplacer une lettre par un nombre
Place la valeur entre parenthèses avant de calculer. Pour \(A(x)=2x^2-3x+1\) et \(x=-2\) :
\[A(-2)=2\times(-2)^2-3\times(-2)+1=8+6+1=15.\]
Sans parenthèses, le signe de la puissance est facilement perdu.
Propriété · Réduire
On peut additionner seulement les termes qui possèdent exactement la même partie littérale :
\[3x^2-5x+7+2x^2+x-4=5x^2-4x+3.\]
On ne peut pas regrouper \(x^2\) et \(x\) .
Distributivité, développement et factorisation
Théorème · Distributivité
Pour tous réels \(a,b,c\) ,
\[\boxed{a(b+c)=ab+ac}
\qquad\text{et}\qquad
\boxed{a(b-c)=ab-ac}.\]
Dans l'autre sens,
\[\boxed{ab+ac=a(b+c)}.\]
Démonstration · Interprétation par une aire
Un rectangle de hauteur \(a\) et de largeur totale \(b+c\) a pour aire \(a(b+c)\) . En le coupant en deux rectangles de largeurs \(b\) et \(c\) , la somme des aires vaut \(ab+ac\) . Les deux calculs mesurent la même aire, donc \(a(b+c)=ab+ac\) .
Méthode · Développer un produit de deux sommes
Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde :
\[(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.\]
Par exemple,
\[(2x-3)(x+5)=2x^2+10x-3x-15=2x^2+7x-15.\]
Méthode · Factoriser par un facteur commun
Repère le facteur présent dans chaque terme et place-le devant une parenthèse :
\[12x^2-18x=6x(2x-3).\]
Vérifie en redéveloppant mentalement : \(6x\times2x=12x^2\) et \(6x\times(-3)=-18x\) .
Les trois identités remarquables
Théorème
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
\[\boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2},\]
\[\boxed{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2},
\qquad
\boxed{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}.\]
Ces égalités fonctionnent dans les deux sens : développement ou factorisation.
Démonstration · Démonstration algébrique
Par double distributivité,
\[(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2.\]
De même,
\[(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a^2-2ab+b^2,\]
et
\[(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2.\]
Attention · Le terme du milieu ne disparaît pas
\[(a+b)^2\neq a^2+b^2.\]
Le carré contient deux rectangles d'aire \(ab\) , d'où le terme \(2ab\) .
Forme Exemple Ce qu'elle montre rapidement Développée réduite \(x^2-6x+5\) les coefficients et le calcul terme à terme Factorisée \((x-1)(x-5)\) les facteurs et les valeurs qui annulent le produit Carré complété \((x-3)^2-4\) la comparaison avec un carré et le calcul autour de \(3\)
Exemple · Trois formes d'une même expression
\[(x-3)^2-4=x^2-6x+9-4=x^2-6x+5=(x-1)(x-5).\]
La forme doit être choisie en fonction de la question, pas par habitude.
Méthode · Principe
Pour exprimer une variable, effectue la même opération sur les deux membres et défais les opérations dans l'ordre inverse.
\(U=RI\) donne \(I=U/R\) si \(R\neq0\) .
\(d=vt\) donne \(t=d/v\) si \(v\neq0\) .
\(V=\pi r^2h\) donne \(h=V/(\pi r^2)\) si \(r\neq0\) .
Exemple · Une relation du premier degré
Dans \(3x+2y=7\) , isolons \(y\) :
\[2y=7-3x
\qquad\text{puis}\qquad
\boxed{y=\frac{7-3x}{2}}.\]
Chaque ligne est obtenue en appliquant la même opération aux deux membres.
Méthode · Application numérique d'une formule
Ecris d'abord la formule avec les lettres.
Remplace chaque lettre par sa valeur, entre parenthèses si elle est négative.
Respecte les priorités de calcul et conserve les unités.
Arrondis seulement à la fin et contrôle l'ordre de grandeur.
Pour un cylindre de rayon \(r=3{,}2\) cm et de hauteur \(h=10\) cm :
\[V=\pi r^2h=\pi\times3{,}2^2\times10=102{,}4\pi\ \text{cm}^3\approx322\ \text{cm}^3.\]
Algorithme : dépasser un seuil par des puissances
Le programme officiel demande de savoir déterminer la première puissance d'un nombre positif qui dépasse un seuil.
def premiere_puissance(base, seuil):
n = 0
puissance = 1
while puissance <= seuil:
n = n + 1
puissance = puissance * base
return n, puissancePour premiere_puissance(2, 1000), le programme renvoie \((10,1024)\) : \(2^{10}\) est la première puissance de \(2\) strictement supérieure à \(1000\) .
Démonstration · Pourquoi l'algorithme fonctionne-t-il ?
Au début de chaque passage dans la boucle, la variable puissance vaut \(\texttt{base}^n\) . Chaque passage augmente \(n\) de \(1\) et multiplie la puissance par la base : l'égalité reste vraie. La boucle s'arrête à la première valeur pour laquelle la puissance dépasse le seuil.
Pour aller plus loin Intuition · Un approfondissement ouvert à tous
Cette partie dépasse le socle strictement exigible, mais n'utilise aucun prérequis caché. Chaque étape repose seulement sur la distributivité et les identités déjà démontrées.
Développer \((a+b+c)^2\)
On considère \(a+b+c\) comme la somme de deux blocs : \((a+b)+c\) . Alors
\[(a+b+c)^2=((a+b)+c)^2=(a+b)^2+2c(a+b)+c^2.\]
En développant :
\[\boxed{(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}.\]
Démonstration · Lecture de la formule
Les trois carrés \(a^2,b^2,c^2\) apparaissent une fois. Chaque produit de deux lettres distinctes apparaît deux fois : \(ab\) et \(ba\) , \(ac\) et \(ca\) , \(bc\) et \(cb\) .
Exemple
\[(x+2y-3)^2=x^2+4y^2+9+4xy-6x-12y.\]
Le signe \(-\) de \(-3\) est conservé dans chacun de ses produits.
Développer \((a+b)^3\)
On part de \((a+b)^3=(a+b)^2(a+b)\) :
\[\begin{aligned}(a+b)^3
&=(a^2+2ab+b^2)(a+b)\\
&=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3\\
&=\boxed{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}.\end{aligned}\]
Exemple · Calcul mental puissant
\[\begin{aligned}101^3 &= (100+1)^3\\&= 1\,000\,000 +30\,000 +300 +1\\&= 1\,030\,301.\end{aligned}\]
Les expressions \(a+b\) et \(a-b\) sont dites conjuguées, car leur produit supprime les termes croisés :
\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2.\]
Ainsi,
\[\begin{aligned}\frac1{\sqrt5+2} &= \frac{\sqrt5-2}{(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)}\\&= \frac{\sqrt5-2}{5-4} = \boxed{\sqrt5-2}.\end{aligned}\]
Cette technique servira dans le problème final pour mesurer exactement une erreur d'approximation.
Une identité inattendue : Sophie Germain
L'identité suivante semble difficile à deviner, mais sa preuve n'utilise que la différence de deux carrés :
\[\boxed{a^4+4b^4=(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2)}.\]
Démonstration · Faire apparaître une différence de carrés
On ajoute et on retranche \(4a^2b^2\) :
\[\begin{aligned}a^4+4b^4
&=a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2\\
&=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2\\
&=(a^2+2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab).\end{aligned}\]
On retrouve exactement les deux facteurs annoncés.
Exemple. Avec \(a=3\) et \(b=1\) :
\[3^4+4=85=(9-6+2)(9+6+2)=5\times17.\]
L'identité a transformé une somme de puissances en un produit.
Mesurer l'écart entre deux racines
Pour \(a>0\) et \(h>0\) , on multiplie par le conjugué :
\[\begin{aligned}\sqrt{a+h}-\sqrt a
&=\frac{(\sqrt{a+h}-\sqrt a)(\sqrt{a+h}+\sqrt a)}{\sqrt{a+h}+\sqrt a}\\
&=\boxed{\frac{h}{\sqrt{a+h}+\sqrt a}}.\end{aligned}\]
Exemple · Encadrer \(\sqrt{101}\) sans calculatrice
Comme \(10^2<101\) , on a \(\sqrt{101}>10\) . De plus,
\[\sqrt{101}-10=\frac1{\sqrt{101}+10}<\frac1{20}=0{,}05.\]
Donc
\[\boxed{10<\sqrt{101}<10{,}05}.\]
Le conjugué transforme une différence de racines difficile à mesurer en un quotient simple.
Exercices Exercice 1 ★☆☆ : Comprendre les exposants
Calcule sans calculatrice et justifie brièvement :
\[A=(-2)^5,\quad B=-2^4,\quad C=5^0,\quad D=10^{-3},\quad E=\left(\frac12\right)^{-2}.\]
Parmi \(0^5\) , \(0^0\) et \(0^{-2}\) , indique les expressions définies dans ce cours.
Exercice 2 ★☆☆ : Les règles de puissances
Simplifie puis calcule lorsque c'est possible :
\[A=\frac{2^7\times2^{-3}}{2^2},
\qquad
B=\frac{(3^{-2})^{-3}}{3^4},
\qquad
C=\frac{5^3\times2^3}{10^2}.\]
Pour \(x\neq0\) , simplifie
\[D=\frac{(x^4)^3x^{-5}}{x^2}\]
sous la forme d'une puissance d'exposant positif.
Exercice 3 ★☆☆ : Notation scientifique
Donne l'écriture scientifique de \(0{,}000456\) , \(78\,900\) et \(-0{,}00903\) .
Calcule et donne le résultat en notation scientifique :
\[\frac{(6\times10^{-4})(3\times10^7)}{9\times10^2}.\]
Sans effectuer le calcul exact, donne un ordre de grandeur de \((3{,}98\times10^6)(2{,}1\times10^{-3})\) .
Exercice 4 ★☆☆ : Premiers calculs avec des racines
Calcule \(\sqrt{144}\) , \(\sqrt{0{,}81}\) , \(\sqrt{(-7)^2}\) et \((\sqrt{13})^2\) .
Calcule \(\sqrt{x^2}\) pour \(x=-4\) , puis pour \(x=6\) .
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ? Justifie par un calcul ou un contre-exemple.
\[\sqrt{9+16}=\sqrt9+\sqrt{16},
\qquad
\sqrt{9\times16}=\sqrt9\times\sqrt{16}.\]
Exercice 5 ★☆☆ : Simplifier des racines
Ecris sous la forme \(a\sqrt b\) , avec \(b\) le plus petit possible :
\[\sqrt{48},\qquad \sqrt{180},\qquad 3\sqrt{20}-2\sqrt{45}+\sqrt5.\]
Simplifie aussi exactement
\[\sqrt{\frac{75}{12}}.\]
Exercice 6 ★★☆ : Fractions sans calculatrice
Calcule et donne une fraction irréductible :
\[A=\frac23-\frac58,
\qquad
B=\frac{\frac79}{\frac{14}{15}}.\]
Donne la valeur interdite puis simplifie, pour toutes les valeurs autorisées :
\[C(x)=\frac{x^2-9}{x-3}.\]
Explique pourquoi la formule simplifiée ne permet toujours pas de donner une valeur à \(C(3)\) .
Exercice 7 ★★☆ : Substituer sans perdre les signes
On pose
\[A(x)=3x^2-2x-5,
\qquad
B(x)=\frac{x+1}{x^2-4}.\]
Calcule \(A(-2)\) et \(A(1/3)\) .
Détermine les valeurs interdites de \(B\) .
Calcule \(B(3)\) et explique pourquoi \(B(-2)\) ne peut pas être calculé.
Exercice 8 ★★☆ : Réduire proprement
Réduis les expressions suivantes :
\[E=5x^2-3x+7-(2x^2+4x-1),\]
\[F=2a-3b+5-4a+b-7,
\qquad
G=3x(x-2)-x(2x+1).\]
Exercice 9 ★★☆ : Développer
Développe et réduis :
\[A=3(2x-5)-4(x+1),\]
\[B=(2x-3)(x+5),
\qquad
C=(3x-1)^2.\]
Exercice 10 ★★☆ : Factoriser
Factorise le plus possible :
\[A=7x^2-21x,
\qquad
B=4x^2-25,
\qquad
C=x^2+10x+25,\]
\[D=3x(x-2)+5(x-2).\]
On pose
\[P(x)=(x+2)^2-(x-2)^2.\]
Développe et réduis \(P(x)\) .
Retrouve le même résultat en utilisant une différence de deux carrés.
Calcule mentalement \(P(125)\) .
On pose aussi \(Q(x)=(3x-1)^2-16\) . Donne une forme développée et une forme factorisée de \(Q(x)\) .
L'aire d'un disque est \(S=\pi r^2\) . Exprime \(r\) en fonction de \(S\) , en rappelant que \(r\geq0\) .
La relation \(E=\dfrac12mv^2\) donne une énergie \(E\) pour une masse \(m>0\) et une vitesse \(v\geq0\) . Exprime \(v\) en fonction de \(E\) et \(m\) .
Calcule la vitesse si \(E=900\) J et \(m=2\) kg. Contrôle en remplaçant dans la formule initiale.
Exercice 13 ★★★ : Deux identités utiles
Démontre, pour tous réels \(x\) et \(y\) :
\[(x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2),\]
\[(x-y)^2+4xy=(x+y)^2.\]
Utilise ensuite une identité remarquable pour calculer mentalement \(999^2\) .
Exercice 14 ★★★ : Comprendre un algorithme de puissances
On exécute l'algorithme du cours avec base = 1.5 et seuil = 5.
Complète un tableau donnant, après chaque passage, \(n\) et puissance.
Quelle valeur est renvoyée ? Traduis-la par deux inégalités portant sur des puissances de \(1{,}5\) .
Que se passe-t-il si \(0<\texttt{base}\leq1\) et que le seuil est supérieur à \(1\) ? Explique le danger.
Exercice 15 ★★★ : Reconnaître un carré caché
Développe \((\sqrt5+2)^2\) , puis simplifie \(\sqrt{9+4\sqrt5}\) .
Développe \((2-\sqrt3)^2\) . Justifie que \(2-\sqrt3>0\) , puis simplifie \(\sqrt{7-4\sqrt3}\) .
Sans calculatrice, simplifie
\[\frac1{\sqrt5-2}.\]
Corrigés détaillés Corrigé 1
Démonstration · Comprendre chaque signe
\[A=(-2)^5=-32\]
car l'exposant est impair. En revanche, dans \(B=-2^4\) , la puissance est prioritaire :
\[B=-(2^4)=-16.\]
Puis
\[C=5^0=1,
\qquad
D=10^{-3}=\frac1{10^3}=0{,}001,\]
et
\[E=\left(\frac12\right)^{-2}=\frac1{(1/2)^2}=4.\]
\(0^5=0\) est défini. Dans ce cours, \(0^0\) n'est pas défini. Enfin \(0^{-2}\) conduirait à \(1/0^2\) , donc à une division par zéro : il n'est pas défini.
Corrigé 2
Démonstration · Une base à la fois
\[\begin{aligned}A&=2^{7-3-2}=2^2=\boxed4,\\
B&=\frac{3^{(-2)(-3)}}{3^4}=3^{6-4}=3^2=\boxed9,\\
C&=\frac{(5\times2)^3}{10^2}=\frac{10^3}{10^2}=10=\boxed{10}.\end{aligned}\]
Pour \(x\neq0\) ,
\[D=x^{4\times3-5-2}=x^{12-7}=\boxed{x^5}.\]
Les conditions \(x\neq0\) restent indispensables, car l'expression de départ contient \(x^{-5}\) et une division par \(x^2\) .
Corrigé 3
Démonstration · Déplacer la virgule, puis contrôler
\[0{,}000456=\boxed{4{,}56\times10^{-4}},\]
\[78\,900=\boxed{7{,}89\times10^4},
\qquad
-0{,}00903=\boxed{-9{,}03\times10^{-3}}.\]
Pour le quotient,
\[\begin{aligned}\frac{(6\times10^{-4})(3\times10^7)}{9\times10^2}
&=\frac{18}{9}\times10^{-4+7-2}\\
&=2\times10^1=\boxed{2\times10^1}.\end{aligned}\]
Enfin \(3{,}98\times10^6\) est proche de \(4\times10^6\) et \(2{,}1\times10^{-3}\) de \(2\times10^{-3}\) . Le produit est donc proche de
\[8\times10^3.\]
L'ordre de grandeur est quelques milliers.
Corrigé 4
Démonstration · La racine est toujours positive ou nulle
\[\begin{aligned}\sqrt{144} &=12,\\\sqrt{0{,}81} &=0{,}9,\\\sqrt{(-7)^2} &=|-7|=7,\\(\sqrt{13})^2 &=13.\end{aligned}\]
Pour \(x=-4\) , \(\sqrt{x^2}=|x|=4\) . Pour \(x=6\) , \(\sqrt{x^2}=6\) .
La première affirmation est fausse :
\[\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
\quad\text{mais}\quad
\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7.\]
La seconde est vraie et illustre la propriété du produit :
\[\sqrt{9\times16}=\sqrt{144}=12=3\times4=\sqrt9\times\sqrt{16}.\]
Corrigé 5
Démonstration · Extraire les carrés parfaits
\[\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=\boxed{4\sqrt3},\]
\[\sqrt{180}=\sqrt{36\times5}=\boxed{6\sqrt5}.\]
Ensuite,
\[3\sqrt{20}-2\sqrt{45}+\sqrt5
=3(2\sqrt5)-2(3\sqrt5)+\sqrt5
=\boxed{\sqrt5}.\]
Enfin,
\[\sqrt{\frac{75}{12}}
=\sqrt{\frac{25}{4}}
=\boxed{\frac52}.\]
La fraction sous la racine a d'abord été simplifiée par \(3\) .
Corrigé 6
Démonstration · Fractions et valeur interdite
Pour la différence, le dénominateur commun est \(24\) :
\[A=\frac{16}{24}-\frac{15}{24}=\boxed{\frac1{24}}.\]
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
\[B=\frac79\times\frac{15}{14}
=\frac{1\times5}{3\times2}
=\boxed{\frac56}.\]
L'expression \(C(x)\) n'est pas définie lorsque \(x-3=0\) , donc \(x=3\) est interdit. Pour \(x\neq3\) :
\[C(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\boxed{x+3}.\]
La simplification est une égalité valable seulement sur l'ensemble où l'expression de départ est définie. Elle ne crée pas une valeur en \(x=3\) : \(C(3)\) reste impossible à calculer.
Corrigé 7
Démonstration · Les parenthèses protègent les valeurs
\[\begin{aligned}A(-2)&=3(-2)^2-2(-2)-5=12+4-5=\boxed{11},\\
A\left(\frac13\right)&=3\times\frac19-\frac23-5
=\frac13-\frac23-5=\boxed{-\frac{16}{3}}.\end{aligned}\]
Pour \(B\) , on factorise le dénominateur :
\[x^2-4=(x-2)(x+2).\]
Les valeurs interdites sont donc \(\boxed{-2\text{ et }2}\) . Puis
\[B(3)=\frac{3+1}{3^2-4}=\frac45.\]
\(B(-2)\) n'existe pas, car son dénominateur serait nul.
Corrigé 8
Démonstration · Distribuer le signe \(-\)
\[\begin{aligned}E&=5x^2-3x+7-2x^2-4x+1\\
&=\boxed{3x^2-7x+8}.\end{aligned}\]
De même,
\[F=(2a-4a)+(-3b+b)+(5-7)=\boxed{-2a-2b-2}.\]
Enfin on développe avant de réduire :
\[G=3x^2-6x-2x^2-x=\boxed{x^2-7x}.\]
Corrigé 9
Démonstration · Chaque terme doit être distribué
\[\begin{aligned}A&=6x-15-4x-4=\boxed{2x-19},\\
B&=2x^2+10x-3x-15=\boxed{2x^2+7x-15},\\
C&=(3x)^2-2\times3x\times1+1^2=\boxed{9x^2-6x+1}.\end{aligned}\]
Dans \(C\) , le terme du milieu est \(-6x\) : il ne faut pas l'oublier.
Corrigé 10
Démonstration · Facteur commun ou identité remarquable
\[A=7x(x-3).\]
\(B\) est une différence de carrés :
\[B=(2x)^2-5^2=\boxed{(2x-5)(2x+5)}.\]
\(C\) est le développement de \((x+5)^2\) :
\[C=\boxed{(x+5)^2}.\]
Enfin le facteur commun de \(D\) est \(x-2\) :
\[D=(x-2)(3x+5).\]
Corrigé 11
Démonstration · Deux chemins, même résultat
Par développement,
\[\begin{aligned}P(x)&=(x^2+4x+4)-(x^2-4x+4)\\
&=\boxed{8x}.\end{aligned}\]
Par différence de carrés,
\[P(x)=\big((x+2)-(x-2)\big)\big((x+2)+(x-2)\big)=4\times2x=8x.\]
La forme réduite donne immédiatement
\[P(125)=8\times125=\boxed{1000}.\]
Pour \(Q\) :
\[Q(x)=9x^2-6x+1-16=\boxed{9x^2-6x-15}.\]
Comme \(16=4^2\) ,
\[\begin{aligned}Q(x)&=(3x-1-4)(3x-1+4)\\
&=\boxed{(3x-5)(3x+3)}.\end{aligned}\]
Corrigé 12
Démonstration · Isoler puis choisir la racine positive
De \(S=\pi r^2\) , on tire
\[r^2=\frac S\pi.\]
Comme un rayon est positif ou nul,
\[\boxed{r=\sqrt{\frac S\pi}}.\]
De \(E=\frac12mv^2\) , on obtient
\[2E=mv^2,
\qquad
v^2=\frac{2E}{m}.\]
La vitesse demandée est positive ou nulle :
\[\boxed{v=\sqrt{\frac{2E}{m}}}.\]
Avec \(E=900\) et \(m=2\) :
\[v=\sqrt{\frac{1800}{2}}=\sqrt{900}=\boxed{30\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}.\]
Contrôle : \(\frac12\times2\times30^2=900\) J.
Corrigé 13
Démonstration · Développer les deux membres
\[\begin{aligned}(x+y)^2+(x-y)^2
&=(x^2+2xy+y^2)+(x^2-2xy+y^2)\\
&=2x^2+2y^2=\boxed{2(x^2+y^2)}.\end{aligned}\]
Puis
\[\begin{aligned}(x-y)^2+4xy
&=x^2-2xy+y^2+4xy\\
&=x^2+2xy+y^2=\boxed{(x+y)^2}.\end{aligned}\]
Pour le calcul mental,
\[999^2=(1000-1)^2=1\,000\,000-2000+1=\boxed{998\,001}.\]
Corrigé 14
Démonstration · Suivre les variables
Au départ, \((n,\texttt{puissance})=(0,1)\) . Après chaque passage :
\[\begin{array}{c|ccccc}
\text{nombre de passages} & 0&1&2&3&4\\ \hline
n&0&1&2&3&4\\
\texttt{puissance}&1&1{,}5&2{,}25&3{,}375&5{,}0625
\end{array}\]
La boucle s'arrête donc avec
\[\boxed{(n,\texttt{puissance})=(4,5{,}0625)}.\]
Cela traduit
\[1{,}5^3\leq5<1{,}5^4.\]
Si \(0<\texttt{base}\leq1\) , les puissances ne deviennent jamais supérieures à un seuil \(>1\) . La condition de la boucle reste toujours vraie : le programme ne s'arrête pas. Il faut donc imposer base > 1 pour cet objectif.
Corrigé 15
Démonstration · Identifier le carré, puis contrôler le signe
\[(\sqrt5+2)^2=5+4\sqrt5+4=9+4\sqrt5.\]
Comme \(\sqrt5+2>0\) ,
\[\boxed{\sqrt{9+4\sqrt5}=\sqrt5+2}.\]
Ensuite,
\[(2-\sqrt3)^2=4-4\sqrt3+3=7-4\sqrt3.\]
Comme \(3<4\) , on a \(\sqrt3<2\) , donc \(2-\sqrt3>0\) . Ainsi
\[\boxed{\sqrt{7-4\sqrt3}=2-\sqrt3}.\]
Enfin, on multiplie par le conjugué :
\[\begin{aligned}\frac1{\sqrt5-2} &= \frac{\sqrt5+2}{(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)}\\&= \frac{\sqrt5+2}{5-4} = \boxed{\sqrt5+2}.\end{aligned}\]
Corrigé du problème : Approcher \(\sqrt2\) sans calculatrice
Démonstration · Partie E – Programme Python
La formule de \(T\) se traduit directement :
def heron_racine_deux(x, n):
for k in range(n):
x = (x + 2 / x) / 2
return xDémonstration · Lecture du programme
En partant de \(x=2\) , trois passages produisent successivement \(3/2\) , \(17/12\) puis \(577/408\) en calcul exact. Avec des nombres flottants, Python en donne des approximations décimales.
