Nombres réels, intervalles et valeur absolue · Seconde générale

Pourquoi étudier les nombres réels ?

Le problème fondamental

Les entiers ne suffisent pas pour mesurer le monde. La diagonale d'un carré de côté $$1$$ mesure $\sqrt2$ , un disque fait intervenir $\pi$ , et une température peut valoir $-3{,}7\,^{\circ}\mathrm{C}$ .

Nous avons donc besoin d'un ensemble de nombres assez vaste pour :

repérer chaque point d'une droite graduée ;
exprimer une mesure exacte ou approchée ;
décrire tout un groupe de valeurs avec un intervalle ;
traduire une contrainte de distance par une inégalité.

Exact ou approché ?

La calculatrice affiche souvent $$1{,}414213562$$ pour $\sqrt2$ . Pourtant,

\sqrt2\neq1{,}414213562.

Le nombre de droite est exact ; celui de gauche est seulement une valeur approchée. Cette distinction est essentielle : arrondir trop tôt peut fausser un calcul, tandis qu'une valeur exacte conserve toute l'information.

L'idée avant la formule

Des boîtes de nombres emboîtées

Tous les nombres n'ont pas la même nature. Le nombre $$5$$ est entier naturel, donc aussi entier relatif, décimal, rationnel et réel. En revanche, $\sqrt2$ est réel mais n'est rationnel.

Un intervalle est un morceau de droite

L'intervalle $$[-2;3]$$ contient tous les réels compris entre $$-2$$ et $$3$$ , extrémités incluses. Il ne s'agit pas seulement des entiers $$-2,-1,0,1,2,3$$ : il contient aussi $$-1{,}8$$ , $\dfrac12$ , $\sqrt2$ , et une infinité d'autres nombres.

La valeur absolue mesure une distance

$$|x|$$ ne doit pas être appris comme un mystère de signes. C'est la distance entre le point d'abscisse $$x$$ et l'origine. Ainsi $$|-4|=4$$ et $$|4|=4$$ : les points $$-4$$ et $$4$$ sont tous les deux à quatre unités de $$0$$ .

Plus généralement, $$|x-a|$$ est la distance entre $$x$$ et $$a$$ . La condition $|x-a|\leq r$ signifie donc que $$x$$ reste à une distance au plus $$r$$ du centre $$a$$ .

Le cours complet

La droite réelle

Sur une droite graduée orientée vers la droite :

si le point d'abscisse $$a$$ est à gauche du point d'abscisse $$b$$ , alors $$a<b$$ ;
si les deux points sont confondus, alors $$a=b$$ ;
plus un nombre est à droite, plus il est grand.

Les cinq ensembles de nombres

Un nombre décimal possède une écriture décimale finie. Par exemple,

-3{,}125=\frac{-3125}{1000}=\frac{-3125}{10^3}.

Un entier est aussi décimal : $7=\dfrac7{10^0}$ .

Intervalles bornés

Soient $$a$$ et $$b$$ deux réels tels que $$a<b$$ .

Intervalle	Inégalités vérifiées par $$x$$	Extrémités
$$[a;b]$$	$a\leq x\leq b$	$$a$$ et $$b$$ incluses
$$]a;b[$$	$$a<x<b$$	$$a$$ et $$b$$ exclues
$$[a;b[$$	$a\leq x<b$	$$a$$ incluse, $$b$$ exclue
$$]a;b]$$	$a<x\leq b$	$$a$$ exclue, $$b$$ incluse

Intervalles non bornés

Intervalle	Condition sur $$x$$
$[a;+\infty[$	$x\geq a$
$]a;+\infty[$	$$x>a$$
$]-\infty;a]$	$x\leq a$
$]-\infty;a[$	$$x<a$$
$]-\infty;+\infty[=\R$	aucune restriction

Représenter un intervalle

Intersection, réunion et complémentaire

Valeur absolue et distance

Intervalle de centre donné

Encadrement décimal et amplitude

Troncature, arrondi et chiffres significatifs

Pour $\pi\approx3{,}14159265$ :

\text{troncature au millième : }3{,}141,qquad \text{arrondi au millième : }3{,}142.

Pourquoi $\dfrac13$ n'est-il pas décimal ?

Pourquoi $\sqrt2$ est-il irrationnel ?

Démonstration · Preuve par l'absurde

Supposons que $\sqrt2$ soit rationnel. On pourrait alors l'écrire sous la forme d'une fraction irréductible

\sqrt2=\frac pq,

où $$p$$ et $$q$$ sont des entiers, $q\neq0$ , et $$p$$ et $$q$$ n'ont aucun diviseur commun autre que $$1$$ .

En élevant au carré :

2=\frac{p^2}{q^2},\qquad\text{donc}\qquad p^2=2q^2.

Ainsi $$p^2$$ est pair. Si $$p$$ était impair, son carré serait impair d'après la fiche 01. Donc $$p$$ est pair : il existe un entier $$k$$ tel que $$p=2k$$ .

En remplaçant $$p$$ :

\[(2k)^2=2q^2,qquad4k^2=2q^2,qquad q^2=2k^2.\]

Ainsi $$q^2$$ est pair, donc $$q$$ est pair.

Les nombres $$p$$ et $$q$$ sont donc tous les deux pairs : ils ont $$2$$ comme diviseur commun. Cela contredit le fait que la fraction $\dfrac pq$ était irréductible.

L'hypothèse est fausse : $\boxed{\sqrt2\notin\Q}$ . Comme $\sqrt2$ est réel, il est irrationnel. $\square$

Encadrer $\sqrt2$ par balayage

Méthode · Algorithme du programme

Le programme suivant cherche deux décimaux consécutifs à $10^{-n}$ près dont les carrés encadrent $$2$$ .

def encadrement_racine_2(n):
    puissance = 10**n
    k = 0
    while (k + 1)**2 <= 2 * puissance**2:
        k = k + 1
    return k / puissance, (k + 1) / puissance

Pour $$n=3$$ , la fonction renvoie $$(1{,}414;1{,}415)$$ .

Développements décimaux illimités

Un nombre rationnel a une écriture décimale qui est soit finie, soit illimitée et périodique à partir d'un certain rang :

\frac13=0{,}\overline{3},\qquad \frac27=0{,}\overline{285714},\qquad \frac16=0{,}1\overline{6}.

Les nombres irrationnels ont une écriture décimale illimitée non périodique. Aucune suite finie de chiffres ne permet de les écrire exactement.

Boîte à outils : les réflexes

Méthode · Choisir la bonne traduction

Information	Traduction utile
$$x$$ est compris entre $$a$$ et $$b$$ , bornes incluses	$x\in[a;b]$ ou $a\leq x\leq b$
$$x$$ est strictement supérieur à $$a$$	$x\in]a;+\infty[$
$$x$$ appartient à $$A$$ et à $$B$$	$x\in A\cap B$
$$x$$ appartient à $$A$$ ou à $$B$$	$x\in A\cup B$
$$x$$ est à moins de $$r$$ unités de $$a$$	$\|x-a\|\leq r$ et $x\in[a-r;a+r]$
Encadrement à $10^{-n}$ près	amplitude inférieure ou égale à $10^{-n}$

Pour aller plus loin

Cette partie dépasse les attendus obligatoires du programme. Elle ne suppose pourtant aucun don particulier : chaque idée est construite à partir de ce que tu viens d'apprendre. L'objectif est de te donner accès à des raisonnements souvent réservés aux classes les plus avancées.

Reconnaître une fraction décimale sans la calculatrice

Fabriquer de nouveaux irrationnels

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Le plus petit ensemble

Pour chaque nombre, indique le plus petit ensemble parmi $\N$ , $\Z$ , $\D$ , $\Q$ et $\R$ auquel il appartient.

\textbf{a) }0\quad \textbf{b) }-7\quad \textbf{c) }3{,}25\quad \textbf{d) }\frac74\quad \textbf{e) }\frac13

\textbf{f) }\sqrt{49}\quad \textbf{g) }\sqrt5\quad \textbf{h) }\pi\quad \textbf{i) }-\sqrt9\quad \textbf{j) }\frac{10}{5}.

Exercice 2 ★☆☆ : Appartenance ou inclusion ?

Complète avec $\in$ , $\notin$ , $\subset$ ou $\not\subset$ .

\textbf{a) }-3\ \ldots\ \Z\qquad \textbf{b) }\N\ \ldots\ \Q\qquad \textbf{c) }\frac27\ \ldots\ \D

\textbf{d) }\D\ \ldots\ \R\qquad \textbf{e) }\pi\ \ldots\ \Q\qquad \textbf{f) }\Z\ \ldots\ \N.

Exercice 3 ★☆☆ : Des inégalités aux intervalles

Traduis chaque condition par un intervalle.

\textbf{a) }-2\leq x\leq5\qquad \textbf{b) }3<x<9\qquad \textbf{c) }x\geq-4

\textbf{d) }x<7\qquad \textbf{e) }-1<x\leq6\qquad \textbf{f) }x\leq0.

Exercice 4 ★☆☆ : Appartenir à un intervalle

On pose $$I=[-3;2[$$ et $$J=]-1;4]$$ . Indique si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.

\textbf{a) }-3\in I\qquad \textbf{b) }2\in I\qquad \textbf{c) }-1\in J\qquad \textbf{d) }4\in J

\textbf{e) }0\in I\cap J\qquad \textbf{f) }3\in I\cup J.

Exercice 5 ★☆☆ : Représenter sur une droite

Représente sur trois droites graduées différentes les intervalles

A=[-4;1],\qquad B=]2;6[,\qquad C=]-\infty;3].

Précise pour chaque borne si elle est incluse ou exclue.

Exercice 6 ★★☆ : Intersection et réunion

Pour chaque paire d'intervalles, détermine $A\cap B$ et $A\cup B$ .

$$A=[-2;5]$$ et $$B=[1;8[$$ .
$A=]-\infty;3]$ et $B=]0;+\infty[$ .
$$A=[-5;-1]$$ et $$B=[2;6]$$ .
$$A=]-3;4[$$ et $$B=[-3;4]$$ .

Exercice 7 ★★☆ : Complémentaires

Dans l'ensemble de référence $\R$ , détermine le complémentaire de chacun des ensembles suivants.

\textbf{a) }[-2;5]\qquad \textbf{b) }]1;+\infty[\qquad \textbf{c) }]-\infty;4[\qquad \textbf{d) }\R.

Exercice 8 ★★☆ : Valeurs absolues et distances

Calcule $$|-8|$$ , $$|5|$$ , $$|3-11|$$ et $$|-4-7|$$ .
Calcule la distance entre $$-6$$ et $$2$$ , puis entre $$-3{,}5$$ et $$1{,}2$$ .
Trouve les deux nombres situés à une distance $$5$$ de $$2$$ .
Trouve le nombre situé à égale distance de $$-4$$ et $$10$$ .

Exercice 9 ★★☆ : Distance et intervalle

Traduis chaque inéquation par un intervalle.

\textbf{a) }|x-3|\leq2\qquad \textbf{b) }|x+4|\leq1\qquad \textbf{c) }|x|\leq7.

Puis traduis chaque intervalle par une inéquation avec une valeur absolue.

\textbf{d) }[-2;6]\qquad \textbf{e) }[-5;1]\qquad \textbf{f) }[0;10].

Exercice 10 ★★☆ : Centre, rayon et modélisation

Une pièce fabriquée est acceptée si sa longueur $$L$$ , en millimètres, diffère de $$25$$ de moins de $$0{,}3$$ mm, valeur limite acceptée.

Traduis la condition par $|L-a|\leq r$ .
Donne l'intervalle des longueurs acceptées.
Les pièces de longueurs $$24{,}69$$ , $$24{,}70$$ , $$25{,}18$$ et $$25{,}31$$ sont-elles acceptées ?

Exercice 11 ★★☆ : Encadrer une racine carrée

Sans utiliser la touche décimale de la calculatrice :

calcule $2{,}2^2$ et $2{,}3^2$ , puis encadre $\sqrt5$ à $10^{-1}$ près ;
calcule $2{,}23^2$ et $2{,}24^2$ , puis encadre $\sqrt5$ à $10^{-2}$ près ;
donne l'amplitude de chaque encadrement.

Exercice 12 ★★☆ : Arrondis raisonnables

Donne la troncature et l'arrondi de $$12{,}9876$$ au centième.
Arrondis $0{,}004\,786$ à trois chiffres significatifs.
Une distance est mesurée au mètre près : $12\,347$ m. Donne une écriture en kilomètres avec un nombre de chiffres significatifs cohérent.
Explique pourquoi annoncer $$12{,}347000000$$ km serait trompeur.

Exercice 13 ★★★ : Comprendre le balayage

On reprend la fonction encadrement_racine_2 du cours.

Pour $$n=1$$ , quelle est la valeur de puissance ?
Justifie que la boucle s'arrête avec $$k=14$$ .
Quel encadrement est renvoyé ? Quelle est son amplitude ?
Sans exécuter le programme, prévois le résultat pour $$n=2$$ .

Exercice 14 ★★★ : Le test des facteurs $$2$$ et $$5$$

Pour chaque fraction, commence par la rendre irréductible, puis détermine si elle représente un nombre décimal. Justifie sans effectuer la division.

\begin{aligned}&\textbf{a) }\frac{13}{125}\\&\textbf{b) }\frac7{30}\\&\textbf{c) }\frac{21}{84}\\&\textbf{d) }\frac{18}{45}\\&\textbf{e) }\frac{11}{48}.\end{aligned}

Exercice 15 ★★★ : Prouver que $\sqrt3$ est irrationnel

Montre que le carré d'un entier de la forme $$3k+1$$ ou $$3k+2$$ n'est pas multiple de $$3$$ .
Déduis que si $$n^2$$ est multiple de $$3$$ , alors $$n$$ est multiple de $$3$$ .
Suppose que $\sqrt3=\dfrac pq$ avec $\dfrac pq$ irréductible. En t'inspirant de la preuve pour $\sqrt2$ , montre que $$p$$ et $$q$$ seraient tous les deux multiples de $$3$$ .
Conclus.

Problème : Un irrationnel dans chaque intervalle ★★★

Le but est de démontrer que tout intervalle ouvert dont les bornes sont rationnelles contient à la fois des nombres rationnels et des nombres irrationnels. Autrement dit, même avec une loupe infiniment puissante, les deux familles restent entremêlées.

Partie A – Les rationnels sont stables par calcul

Soient $r=\dfrac ab$ et $s=\dfrac cd$ deux rationnels, avec $b\neq0$ et $d\neq0$ . Montre que $$r+s$$ est rationnel.
Montre de même que $$rs$$ est rationnel.
Si $r\neq0$ , montre que $\dfrac1r$ est rationnel.

Partie B – Déplacer et réduire un irrationnel

Soient $$x$$ irrationnel et $$r$$ rationnel. En supposant $$x+r$$ rationnel, obtiens une contradiction. Conclus.
Soient $$x$$ irrationnel et $$r$$ rationnel non nul. En supposant $$rx$$ rationnel, obtiens une contradiction. Conclus.
On pose $u=\dfrac{\sqrt2}{2}$ . Montre que $$u$$ est irrationnel puis que $$0<u<1$$ .

Partie C – Remplir un intervalle

Soient $$a$$ et $$b$$ deux rationnels tels que $$a<b$$ . On pose
$\[x=a+(b-a)u.\]$
Montre que $$a<x<b$$ .
Montre que $$x$$ est irrationnel.
Construis ainsi un nombre irrationnel strictement compris entre $$1{,}414$$ et $$1{,}415$$ .
Montre que le milieu $m=\dfrac{a+b}{2}$ est rationnel et vérifie $$a<m<b$$ .
Explique pourquoi les questions précédentes prouvent que tout intervalle ouvert à bornes rationnelles contient au moins un rationnel et au moins un irrationnel.
Trouve une deuxième construction donnant un irrationnel différent de $$x$$ dans $$]a;b[$$ .

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Démonstration · Le plus petit ensemble

On simplifie le nombre avant de le classer.

$$0$$ est un entier naturel : $\boxed{0\in\N}$ .
$$-7$$ est entier mais n'est pas naturel : $\boxed{-7\in\Z}$ .
$3{,}25=\dfrac{325}{100}$ possède une écriture décimale finie : $\boxed{3{,}25\in\D}$ .
$\dfrac74=1{,}75$ est décimal mais pas entier : $\boxed{\dfrac74\in\D}$ .
$\dfrac13$ est rationnel mais n'est pas décimal, d'après la preuve du cours : $\boxed{\dfrac13\in\Q}$ .
$\sqrt{49}=7$ : le plus petit ensemble est $\boxed{\N}$ .
$\sqrt5$ est irrationnel. La preuve est semblable à celle de $\sqrt2$ : une fraction irréductible supposée égale à $\sqrt5$ conduirait à un numérateur et un dénominateur tous deux divisibles par $$5$$ . Ainsi $\boxed{\sqrt5\in\R}$ , mais $\sqrt5\notin\Q$ .
$\pi$ est irrationnel : le plus petit ensemble proposé est $\boxed{\R}$ .
$-\sqrt9=-3$ : le plus petit ensemble est $\boxed{\Z}$ .
$\dfrac{10}{5}=2$ : après simplification, le plus petit ensemble est $\boxed{\N}$ .

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Démonstration · Arrondis raisonnables

Au centième, on garde deux chiffres après la virgule. La troncature est $\boxed{12{,}98}$ . Le chiffre suivant est $$7$$ , donc on augmente le centième : l'arrondi est $\boxed{12{,}99}$ .
Les trois premiers chiffres significatifs sont $$4$$ , $$7$$ et $$8$$ . Le chiffre suivant est $$6$$ , donc on arrondit le $$8$$ vers le haut :
$\boxed{0{,}004\,79}.$
$12\,347$ m correspondent à $\boxed{12{,}347\text{ km}}$ . Le dernier chiffre indique ici les millièmes de kilomètre, c'est-à-dire les mètres, ce qui correspond à la précision de la mesure.
L'écriture $$12{,}347000000$$ km laisserait croire que la mesure est connue jusqu'au millionième de mètre environ, alors qu'elle n'est connue qu'au mètre près. Les zéros ajoutés inventeraient une précision que l'on ne possède pas.

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Démonstration · Prouver que $\sqrt3$ est irrationnel

Pour un entier $$k$$ :
$\[(3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1,\]$ $\[(3k+2)^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1.\]$
Dans les deux cas, le carré est une unité après un multiple de $$3$$ : il n'est pas multiple de $$3$$ .
Tout entier qui n'est pas multiple de $$3$$ est de la forme $$3k+1$$ ou $$3k+2$$ . La question précédente montre que son carré n'est alors pas multiple de $$3$$ . Par contraposée :
$\boxed{\text{si }n^2\text{ est multiple de }3,\text{ alors }n\text{ est multiple de }3.}$
Supposons $\sqrt3=\dfrac pq$ , avec $\dfrac pq$ irréductible et $q\neq0$ . En élevant au carré :
$\[p^2=3q^2.\]$
Donc $$p^2$$ est multiple de $$3$$ , puis $$p$$ est multiple de $$3$$ . Il existe un entier $$k$$ tel que $$p=3k$$ . En remplaçant :
$9k^2=3q^2,\qquad q^2=3k^2.$
Donc $$q^2$$ , puis $$q$$ , sont multiples de $$3$$ .
$$p$$ et $$q$$ auraient $$3$$ comme diviseur commun, contrairement à l'irréductibilité de la fraction. L'hypothèse est impossible. Ainsi,
$\boxed{\sqrt3\text{ est irrationnel}.}$

Corrigé du problème : Un irrationnel dans chaque intervalle

Démonstration · Partie B – Déplacer et réduire un irrationnel

Supposons que $$x+r$$ soit rationnel. Comme $$r$$ est rationnel et que la différence de deux rationnels est rationnelle,
$\[x=(x+r)-r\]$
serait rationnel. Cela contredit l'hypothèse. Donc $\boxed{x+r\text{ est irrationnel}}$ .
Supposons que $$rx$$ soit rationnel. Comme $r\neq0$ , $$1/r$$ est rationnel d'après la partie A. Le produit
$x=\frac1r\,(rx)$
serait alors rationnel. Contradiction. Donc $\boxed{rx\text{ est irrationnel}}$ .
Si $u=\dfrac{\sqrt2}{2}$ était rationnel, son produit par le rationnel non nul $$2$$ serait rationnel. Or
$2u=\sqrt2$
est irrationnel. Donc $$u$$ est irrationnel.

De plus, $0<\sqrt2<2$ : $\sqrt2$ est positif et $\sqrt2<2$ car $$2<4=2^2$$ . En divisant par $$2>0$$ :
$\boxed{0<u<1}.$

Démonstration · Partie C – Remplir un intervalle

Comme $$a<b$$ , on a $$b-a>0$$ . En multipliant $$0<u<1$$ par le nombre positif $$b-a$$ :
$\[0<(b-a)u<b-a.\]$
En ajoutant $$a$$ aux trois membres :
$\[a<a+(b-a)u<b.\]$
Ainsi $\boxed{a<x<b}$ .
$$b-a$$ est un rationnel non nul. Comme $$u$$ est irrationnel, $$(b-a)u$$ est irrationnel. En lui ajoutant le rationnel $$a$$ , on obtient encore un irrationnel. Donc $\boxed{x\text{ est irrationnel}}$ .
Prenons $$a=1{,}414$$ et $$b=1{,}415$$ . Alors $$b-a=0{,}001$$ et la construction donne
$x=1{,}414+0{,}001\times\frac{\sqrt2}{2} =\boxed{1{,}414+\frac{\sqrt2}{2000}}.$
Ce nombre est irrationnel et strictement compris entre $$1{,}414$$ et $$1{,}415$$ .
Comme $$a$$ et $$b$$ sont rationnels, leur somme puis son quotient par $$2$$ sont rationnels : $$m$$ est rationnel. Puisque $$a<b$$ :
$\[2a<a+b<2b.\]$
En divisant par $$2>0$$ :
$\boxed{a<\frac{a+b}{2}<b}.$
Pour n'importe quels rationnels $$a<b$$ , la question 7 construit un irrationnel $$x$$ dans $$]a;b[$$ , et la question 10 construit un rationnel $$m$$ dans ce même intervalle. Aucun intervalle ouvert à bornes rationnelles, aussi petit soit-il, ne peut donc contenir une seule de ces deux familles.
Posons $$v=u/2$$ . Comme $$1/2$$ est rationnel non nul et $$u$$ irrationnel, $$v$$ est irrationnel. De plus,
$\[0<v<u<1.\]$
On peut donc poser
$\[y=a+(b-a)v.\]$
Le même raisonnement montre que $$a<y<b$$ et que $$y$$ est irrationnel. Enfin $v\neq u$ , donc $y\neq x$ . Nous avons construit deux irrationnels distincts dans $$]a;b[$$ .

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Intervalle	Inégalités vérifiées par $\(x\)$	Extrémités
$\([a;b]\)$	$a\leq x\leq b$	$\(a\)$ et $\(b\)$ incluses
$\(]a;b[\)$	$\(a<x<b\)$	$\(a\)$ et $\(b\)$ exclues
$\([a;b[\)$	$a\leq x<b$	$\(a\)$ incluse, $\(b\)$ exclue
$\(]a;b]\)$	$a<x\leq b$	$\(a\)$ exclue, $\(b\)$ incluse