Le cours complet Le radian
Définition · Le radian
Le radian est l'unité de mesure d'angle telle que, sur un cercle de rayon 1, un angle de \(\theta\) radians découpe un arc de longueur \(\theta\) . Comme le périmètre du cercle de rayon 1 vaut \(2\pi\) , un tour complet mesure \(2\pi\) radians :
\[\boxed{180\degree=\pi\ \text{rad}.}\]
Méthode · Convertir degrés \(\leftrightarrow\) radians
On utilise la proportion \(\dfrac{\text{angle en degrés}}{180}=\dfrac{\text{angle en radians}}{\pi}\) .
degrés \(0\) \(30\) \(45\) \(60\) \(90\) \(180\) \(360\) radians \(0\) \(\dfrac{\pi}{6}\) \(\dfrac{\pi}{4}\) \(\dfrac{\pi}{3}\) \(\dfrac{\pi}{2}\) \(\pi\) \(2\pi\)
Propriété · Longueur d'un arc
Sur un cercle de rayon \(R\) , un angle au centre de \(\theta\) radians découpe un arc de longueur
\[\boxed{L=R\,\theta}\qquad(\theta\ \text{en radians}).\]
Exemple · Conversions
\(60\degree=\dfrac{60}{180}\pi=\dfrac{\pi}{3}\) ; \(\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{3\times 180}{4}\degree=135\degree\) . Sur un cercle de rayon \(5\) cm, l'arc correspondant à \(\dfrac{\pi}{3}\) mesure \(L=5\times\dfrac{\pi}{3}\approx 5{,}24\) cm.
Le cercle trigonométrique et l'enroulement
Définition · Cercle trigonométrique et image d'un réel
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\) et de rayon 1, orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre). On note \(I(1\,;0)\) .
En enroulant la droite des réels autour de ce cercle (à partir de \(I\) ), à chaque réel \(x\) correspond un unique point \(M\) du cercle : c'est l'image de \(x\) . Le réel \(x\) est alors une mesure en radians de l'angle orienté \(\widehat{(\vec{OI},\vec{OM})}\) .
Propriété · Plusieurs réels, un même point
Comme un tour complet mesure \(2\pi\) , les réels qui diffèrent d'un nombre entier de tours ont la même image :
\[x\quad\text{et}\quad x+2k\pi\ (k\in\Z)\quad\text{ont le même point }M.\]
On dit qu'ils sont associés modulo \(2\pi\) . C'est l'origine de la périodicité .
Cosinus et sinus d'un réel
Définition · Cosinus et sinus
Soit \(x\) un réel et \(M\) son image sur le cercle trigonométrique. Par définition :
\[\boxed{\cos x=\text{abscisse de }M,\qquad \sin x=\text{ordonnée de }M.}\]
Autrement dit \(M=(\cos x\,;\,\sin x)\) .
Propriété · Lien avec le triangle rectangle
Lorsque \(0<x<\dfrac{\pi}{2}\) , le triangle rectangle de sommets \(O\) , \(H(\cos x\,;0)\) et \(M\) redonne les formules du collège : \(\cos x=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\) et \(\sin x=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}\) (ici l'hypoténuse \(OM=1\) ). La définition par le cercle prolonge ces formules à tous les réels.
Théorème · Propriétés fondamentales
Pour tout réel \(x\) :
\[\boxed{\cos^2 x+\sin^2 x=1},\qquad -1\leqslant\cos x\leqslant 1,\qquad -1\leqslant\sin x\leqslant 1.\]
De plus, par enroulement : \(\cos(x+2k\pi)=\cos x\) et \(\sin(x+2k\pi)=\sin x\) pour tout entier \(k\) .
Démonstration · La relation \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\)
Le point \(M(\cos x\,;\sin x)\) est sur le cercle de centre \(O\) et de rayon 1. La distance \(OM\) vaut donc 1, et le théorème de Pythagore (ou la formule de la distance) donne
\[OM^2=\cos^2 x+\sin^2 x=1^2=1.\]
\(\blacksquare\)
Valeurs remarquables
Méthode · Toutes les valeurs : \(\cos\) et \(\sin\) de \(0\) à \(2\pi\)
\(x\) \(\cos x\) \(\sin x\) \(0\) \(1\) \(0\) \(\frac{\pi}{6}\) \(\frac{\sqrt3}{2}\) \(\frac12\) \(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{\sqrt2}{2}\) \(\frac{\sqrt2}{2}\) \(\frac{\pi}{3}\) \(\frac12\) \(\frac{\sqrt3}{2}\) \(\frac{\pi}{2}\) \(0\) \(1\) \(\frac{2\pi}{3}\) \(-\frac12\) \(\frac{\sqrt3}{2}\) \(\frac{3\pi}{4}\) \(-\frac{\sqrt2}{2}\) \(\frac{\sqrt2}{2}\) \(\frac{5\pi}{6}\) \(-\frac{\sqrt3}{2}\) \(\frac12\) \(\pi\) \(-1\) \(0\)
\(x\) \(\cos x\) \(\sin x\) \(\pi\) \(-1\) \(0\) \(\frac{7\pi}{6}\) \(-\frac{\sqrt3}{2}\) \(-\frac12\) \(\frac{5\pi}{4}\) \(-\frac{\sqrt2}{2}\) \(-\frac{\sqrt2}{2}\) \(\frac{4\pi}{3}\) \(-\frac12\) \(-\frac{\sqrt3}{2}\) \(\frac{3\pi}{2}\) \(0\) \(-1\) \(\frac{5\pi}{3}\) \(\frac12\) \(-\frac{\sqrt3}{2}\) \(\frac{7\pi}{4}\) \(\frac{\sqrt2}{2}\) \(-\frac{\sqrt2}{2}\) \(\frac{11\pi}{6}\) \(\frac{\sqrt3}{2}\) \(-\frac12\) \(2\pi\) \(1\) \(0\)
Comment retenir tout ça sans rien apprendre par cœur : on ne mémorise que le premier quadrant (de \(0\) à \(\frac{\pi}{2}\) ). Pour les autres, on lit les signes sur le cercle ( \(\cos\) = abscisse, \(\sin\) = ordonnée ) et on utilise les angles associés (section suivante).
Démonstration · Calcul de \(\sin\frac{\pi}{4}\) (exigible)
L'image de \(\dfrac{\pi}{4}\) (soit \(45\degree\) ) est sur la bissectrice du premier quadrant, la droite d'équation \(y=x\) . Donc \(M\) a une abscisse égale à son ordonnée : \(\cos\dfrac{\pi}{4}=\sin\dfrac{\pi}{4}\) . En reportant dans \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\) :
\[2\sin^2\frac{\pi}{4}=1\ \Longrightarrow\ \sin^2\frac{\pi}{4}=\frac12\ \Longrightarrow\ \sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\]
(on garde la valeur positive car \(M\) est dans le premier quadrant). De même \(\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}\) . \(\blacksquare\)
Démonstration · Calcul de \(\cos\frac{\pi}{3}\) et \(\sin\frac{\pi}{3}\) (exigible)
Soit \(M\) l'image de \(\dfrac{\pi}{3}\) (soit \(60\degree\) ) et \(I(1\,;0)\) . Le triangle \(OIM\) vérifie \(OI=OM=1\) et l'angle \(\widehat{IOM}=\dfrac{\pi}{3}=60\degree\) . Un triangle isocèle dont l'angle au sommet vaut \(60\degree\) est équilatéral : ses trois angles valent \(60\degree\) . Le pied \(H\) de la hauteur issue de \(M\) tombe donc au milieu de \([OI]\) , soit \(H\!\left(\dfrac12\,;0\right)\) . Or \(H=(\cos\frac{\pi}{3}\,;0)\) , donc
\[\cos\frac{\pi}{3}=\frac12.\]
Ensuite, avec \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\) : \(\sin^2\dfrac{\pi}{3}=1-\dfrac14=\dfrac34\) , donc \(\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}\) (positif). \(\blacksquare\)
Méthode · Les valeurs de \(\frac{\pi}{6}\) par complémentarité
\(\dfrac{\pi}{6}\) et \(\dfrac{\pi}{3}\) sont complémentaires (\(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\) ). On verra (angles associés) que \(\cos\dfrac{\pi}{6}=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{6}=\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12\) .
Angles associés
Théorème · Formules des angles associés
Pour tout réel \(x\) , en utilisant les symétries du cercle :
cosinus sinus \(-x\) (sym. axe \(Ox\) )\(\cos(-x)=\cos x\) \(\sin(-x)=-\sin x\) \(\pi-x\) (sym. axe \(Oy\) )\(\cos(\pi-x)=-\cos x\) \(\sin(\pi-x)=\sin x\) \(\pi+x\) (sym. centre \(O\) )\(\cos(\pi+x)=-\cos x\) \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) \(\frac{\pi}{2}-x\) (complémentaire)\(\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\) \(\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x\)
Démonstration · D'où viennent ces formules : les symétries du cercle
L'idée est toujours la même : l'image de l'angle associé est un symétrique du point \(M(\cos x\,;\sin x)\) , et une symétrie transforme les coordonnées de façon connue.
\(\bullet\) Angle \(-x\) (symétrie par rapport à l'axe \(Ox\) ).\(-x\) revient à tourner dans l'autre sens : le point obtenu est le symétrique de \(M\) par rapport à l'axe des abscisses. Or ce symétrique a pour coordonnées \((\cos x\,;-\sin x)\) . En identifiant avec \((\cos(-x)\,;\sin(-x))\) :
\[\cos(-x)=\cos x,\qquad \sin(-x)=-\sin x.\]
\(\bullet\) Angle \(\pi-x\) (symétrie par rapport à l'axe \(Oy\) ).\(\pi-x\) est le symétrique de \(M\) par rapport à l'axe des ordonnées, de coordonnées \((-\cos x\,;\sin x)\) . Donc :
\[\cos(\pi-x)=-\cos x,\qquad \sin(\pi-x)=\sin x.\]
\(\bullet\) Angle \(\pi+x\) (symétrie par rapport au centre \(O\) ).\(\pi\) , c'est faire un demi-tour : le point est le symétrique de \(M\) par rapport à \(O\) , de coordonnées \((-\cos x\,;-\sin x)\) . Donc :
\[\cos(\pi+x)=-\cos x,\qquad \sin(\pi+x)=-\sin x.\]
\(\bullet\) Angle \(\frac{\pi}{2}-x\) (symétrie par rapport à la droite \(y=x\) ).\(\frac{\pi}{2}-x\) est le symétrique de \(M\) par rapport à la première bissectrice \(y=x\) , qui échange l'abscisse et l'ordonnée : il a pour coordonnées \((\sin x\,;\cos x)\) . Donc :
\[\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\qquad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x.\]
\(\bullet\) Angle \(\frac{\pi}{2}+x\) (conséquence).\(\frac{\pi}{2}+x=\pi-(\frac{\pi}{2}-x)\) ) ou par symétrie, on obtient :
\[\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x,\qquad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x.\]
\(\blacksquare\)
Exemple · Utiliser les angles associés
\(\cos\dfrac{2\pi}{3}=\cos\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac12\) . \(\sin\dfrac{5\pi}{6}=\sin\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12\) . \(\cos\dfrac{\pi}{6}=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}\) .
Les fonctions cosinus et sinus
Définition · Fonctions \(\cos\) et \(\sin\)
Les fonctions \(x\mapsto\cos x\) et \(x\mapsto\sin x\) sont définies sur \(\R\) . Elles sont :
périodiques de période \(2\pi\) : \(\cos(x+2\pi)=\cos x\) et \(\sin(x+2\pi)=\sin x\) (il suffit donc de les connaître sur un intervalle de longueur \(2\pi\) ) ;
bornées : \(-1\leqslant\cos x\leqslant 1\) et \(-1\leqslant\sin x\leqslant 1\) ;
\(\cos\) est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) ; \(\sin\) est impaire (courbe symétrique par rapport à l'origine).
Démonstration · Pourquoi périodiques et pourquoi paire/impaire
Périodicité. Les réels \(x\) et \(x+2\pi\) ont la même image sur le cercle (un tour complet mesure \(2\pi\) ). Comme \(\cos\) et \(\sin\) sont lus sur ce point, ils prennent la même valeur :
\[\cos(x+2\pi)=\cos x,\qquad \sin(x+2\pi)=\sin x.\]
\(2\pi\) est donc une période : la courbe se répète à l'identique tous les \(2\pi\) .
Parité. L'image de \(-x\) est le symétrique de celle de \(x\) par rapport à l'axe \(Ox\) (voir angles associés) : \(\cos(-x)=\cos x\) et \(\sin(-x)=-\sin x\) . Donc la courbe de \(\cos\) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (\(\cos\) paire ), et celle de \(\sin\) est symétrique par rapport à l'origine (\(\sin\) impaire ). \(\blacksquare\)
Intuition · Lire les courbes sur le cercle
La courbe de \(\sin\) est exactement la trace de l'ordonnée du point \(M\) quand \(x\) augmente (le point tourne) ; celle de \(\cos\) , la trace de son abscisse . La courbe de \(\cos\) est celle de \(\sin\) décalée de \(\dfrac{\pi}{2}\) vers la gauche, car \(\cos x=\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\) .
Équations \(\cos x=a\) et \(\sin x=a\)
Méthode · Résoudre avec le cercle
Pour \(-1\leqslant a\leqslant 1\) , on place la valeur \(a\) et on lit les points du cercle :
\(\cos x=a\) : on trace la droite verticale d'abscisse \(a\) ; elle coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l'axe \(Ox\) . Si \(\alpha\) est une solution, les solutions sont \(x=\alpha+2k\pi\) et \(x=-\alpha+2k\pi\) (\(k\in\Z\) ).
\(\sin x=a\) : on trace la droite horizontale d'ordonnée \(a\) ; elle coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l'axe \(Oy\) . Si \(\beta\) est une solution, les solutions sont \(x=\beta+2k\pi\) et \(x=\pi-\beta+2k\pi\) .
Exemple · Résolutions sur \([0\,;2\pi[\)
\(\cos x=\dfrac12\) :\(\dfrac{\pi}{3}\) ; l'autre est \(-\dfrac{\pi}{3}\) , soit \(\dfrac{5\pi}{3}\) sur \([0\,;2\pi[\) . Solutions : \(\left\{\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{5\pi}{3}\right\}\) .
\(\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}\) :\(\dfrac{\pi}{3}\) ; l'autre est \(\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}\) . Solutions : \(\left\{\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{2\pi}{3}\right\}\) .
Théorème · Tout ce qu'il faut savoir, en une page
Mesures. \(180\degree=\pi\) rad ; longueur d'arc sur un cercle de rayon \(R\) : \(L=R\theta\) (\(\theta\) en rad).
Définitions. \(M=(\cos x\,;\sin x)\) sur le cercle de rayon \(1\) . Donc \(\cos x=\) abscisse, \(\sin x=\) ordonnée.
Relations fondamentales.
\[\cos^2 x+\sin^2 x=1,\qquad -1\leqslant\cos x\leqslant 1,\qquad -1\leqslant\sin x\leqslant 1.\]
Périodicité et parité.
\[\begin{aligned}\cos(x+2k\pi) &=\cos x,\quad \sin(x+2k\pi)=\sin x\ (k\in\Z);\\\cos(-x) &=\cos x,\quad \sin(-x)=-\sin x.\end{aligned}\]
Angles associés.
\[\begin{array}{l@{\quad}l@{\qquad}l@{\quad}l}
\cos(\pi-x)=-\cos x & \sin(\pi-x)=\sin x & \cos(\pi+x)=-\cos x & \sin(\pi+x)=-\sin x\\[2pt]
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x & \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x & \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x & \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x
\end{array}\]
Valeurs remarquables (premier quadrant).
\(x\) \(0\) \(\frac{\pi}{6}\) \(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{\pi}{3}\) \(\frac{\pi}{2}\) \(\cos x\) \(1\) \(\frac{\sqrt3}{2}\) \(\frac{\sqrt2}{2}\) \(\frac12\) \(0\) \(\sin x\) \(0\) \(\frac12\) \(\frac{\sqrt2}{2}\) \(\frac{\sqrt3}{2}\) \(1\)
Équations (\(-1\leqslant a\leqslant 1\) , \(\alpha\) une solution).
\[\begin{aligned}\cos x &=a\ \Leftrightarrow\ x=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ x=-\alpha+2k\pi;\\\sin x &=a\ \Leftrightarrow\ x=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ x=\pi-\alpha+2k\pi.\end{aligned}\]
Pour aller plus loin : additionner des angles
Intuition · Approfondissement hors programme de Première
Ces formules ne sont pas exigibles en Première (on les voit en Terminale ou en physique), mais elles complètent le tableau et peuvent dépanner.
Formules d'addition.
\[\begin{aligned}\cos(a+b) &=\cos a\cos b-\sin a\sin b,\\\cos(a-b) &=\cos a\cos b+\sin a\sin b,\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\sin(a+b) &=\sin a\cos b+\cos a\sin b,\\\sin(a-b) &=\sin a\cos b-\cos a\sin b.\end{aligned}\]
Formules de duplication (cas \(b=a\) ).
\[\begin{aligned}\cos(2a) &=\cos^2 a-\sin^2 a=2\cos^2 a-1=1-2\sin^2 a,\\\sin(2a) &=2\sin a\cos a.\end{aligned}\]
Tangente. \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\) (définie quand \(\cos x\neq 0\) ) : c'est le coefficient directeur de la droite \((OM)\) .
Exercices Exercice 1 ★☆☆ : Conversions
Convertir en radians : \(30\degree\) , \(90\degree\) , \(135\degree\) , \(150\degree\) .
Convertir en degrés : \(\dfrac{\pi}{3}\) , \(\dfrac{2\pi}{3}\) , \(\dfrac{5\pi}{6}\) , \(\dfrac{3\pi}{2}\) .
Exercice 2 ★☆☆ : Valeurs remarquables
Donner sans calculatrice :
\(\cos\dfrac{\pi}{4}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{4}\) \(\cos\dfrac{\pi}{3}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{3}\) \(\cos\dfrac{\pi}{6}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{6}\) \(\cos\dfrac{\pi}{2}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{2}\) Exercice 3 ★☆☆ : La relation \(\cos^2+\sin^2=1\)
On sait que \(\cos x=\dfrac35\) et que \(x\in\left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[\) . Calculer \(\sin x\) .
On sait que \(\sin x=-\dfrac{2}{3}\) et que \(x\in\left]\pi\,;\dfrac{3\pi}{2}\right[\) . Calculer \(\cos x\) .
Exercice 4 ★☆☆ : Angles associés
Calculer, à l'aide des valeurs remarquables et des angles associés :
\(\cos\dfrac{2\pi}{3}\) \(\sin\dfrac{5\pi}{6}\) \(\cos\dfrac{7\pi}{6}\) \(\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\) Exercice 5 ★☆☆ : Parité et périodicité
Simplifier :
\(\cos(x+2\pi)\) \(\sin(-x)+\sin x\) \(\cos(-x)-\cos x\) \(\sin(x+2\pi)+\cos(-x)\) Exercice 6 ★★☆ : Placer sur le cercle
Placer sur le cercle trigonométrique les points images de \(\dfrac{\pi}{4}\) , \(\dfrac{3\pi}{4}\) , \(\dfrac{7\pi}{6}\) , \(-\dfrac{\pi}{2}\) , puis donner leurs coordonnées \((\cos\,;\sin)\) .
Exercice 7 ★★☆ : Équation \(\cos x=a\)
Résoudre sur \([0\,;2\pi[\) :
\(\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}\) \(\cos x=-\dfrac12\) \(\cos x=0\) \(\cos x=2\) Exercice 8 ★★☆ : Équation \(\sin x=a\)
Résoudre sur \([0\,;2\pi[\) :
\(\sin x=\dfrac12\) \(\sin x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\) \(\sin x=1\) \(\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}\) Exercice 9 ★★☆ : Longueur d'arc
Une roue de rayon \(35\) cm tourne d'un angle de \(\dfrac{2\pi}{3}\) .
Quelle longueur d'arc un point du bord parcourt-il ?
Combien de tours faut-il pour parcourir \(10\) m ? (valeur approchée)
Exercice 10 ★★☆ : Lecture de courbes
On donne les courbes de deux fonctions \(f\) et \(g\) : l'une passe par \((0\,;1)\) , l'autre par \((0\,;0)\) , toutes deux de période \(2\pi\) .
Laquelle est \(\cos\) , laquelle est \(\sin\) ? Justifier par la valeur en \(0\) .
Quelle courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ? par rapport à l'origine ?
Exercice 11 ★★☆ : Simplifier avec les angles associés
Simplifier au maximum :
\(A=\cos(\pi-x)+\cos(\pi+x)\) .
\(B=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+\sin(-x)+\cos(\pi+x)\) .
Exercice 12 ★★★ : Démonstrations de cours
Démontrer que \(\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}\) .
Démontrer que \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12\) et \(\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}\) .
Exercice 13 ★★★ : Équations un peu plus fines
Résoudre sur \([0\,;2\pi[\) :
\(2\cos x-1=0\) .
\(\cos x=\sin x\) (indication : sur \([0\,;2\pi[\) , regarder la bissectrice) .
Exercice 14 ★★★ : Signe et encadrement
Soit \(f(x)=2+\cos x\) .
Justifier que pour tout réel \(x\) : \(1\leqslant f(x)\leqslant 3\) .
En déduire que \(f(x)>0\) pour tout \(x\) , et donner les valeurs de \(x\) de \([0\,;2\pi[\) où \(f\) atteint son maximum.
Exercice 15 ★★★ : Modélisation périodique
La hauteur des marées (en mètres) dans un port est modélisée par \(h(t)=5+3\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}t\right)\) , où \(t\) est le temps en heures.
Quelle est la période (en heures) ? Interpréter.
Donner la hauteur maximale et la hauteur minimale, et les heures où elles sont atteintes sur \([0\,;12[\) .
Résoudre \(h(t)=6{,}5\) sur \([0\,;12[\) .
Corrigés détaillés Intuition · Comment lire un corrigé
Chaque corrigé rappelle la méthode et détaille tous les calculs. Pour la trigonométrie, le réflexe est presque toujours : dessine le cercle .
Corrigé 1
Démonstration
1. \(30\degree=\dfrac{30}{180}\pi=\dfrac{\pi}{6}\) ; \(90\degree=\dfrac{\pi}{2}\) ; \(135\degree=\dfrac{135}{180}\pi=\dfrac{3\pi}{4}\) ; \(150\degree=\dfrac{5\pi}{6}\) .
2. \(\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{180}{3}\degree=60\degree\) ; \(\dfrac{2\pi}{3}=120\degree\) ; \(\dfrac{5\pi}{6}=150\degree\) ; \(\dfrac{3\pi}{2}=270\degree\) .
Corrigé 2
Démonstration
a) \(\cos\dfrac{\pi}{4}=\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}\) . b) \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12\) , \(\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}\) .
c) \(\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}\) , \(\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12\) . d) \(\cos\dfrac{\pi}{2}=0\) , \(\sin\dfrac{\pi}{2}=1\) .
Corrigé 3
Démonstration
1. \(\sin^2 x=1-\cos^2 x=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\) , donc \(\sin x=\pm\dfrac45\) . Comme \(x\in\left]0\,;\frac{\pi}{2}\right[\) (premier quadrant), \(\sin x>0\) : \(\sin x=\dfrac45\) .
2. \(\cos^2 x=1-\sin^2 x=1-\dfrac49=\dfrac59\) , donc \(\cos x=\pm\dfrac{\sqrt5}{3}\) . Comme \(x\in\left]\pi\,;\frac{3\pi}{2}\right[\) (troisième quadrant), \(\cos x<0\) : \(\cos x=-\dfrac{\sqrt5}{3}\) .
Corrigé 4
Démonstration
a) \(\cos\dfrac{2\pi}{3}=\cos\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac12\) .
b) \(\sin\dfrac{5\pi}{6}=\sin\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12\) .
c) \(\cos\dfrac{7\pi}{6}=\cos\!\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2}\) .
d) \(\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\sin\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt3}{2}\) .
Corrigé 5
Démonstration
a) \(\cos(x+2\pi)=\cos x\) (périodicité). b) \(\sin(-x)+\sin x=-\sin x+\sin x=0\) .
c) \(\cos(-x)-\cos x=\cos x-\cos x=0\) . d) \(\sin(x+2\pi)+\cos(-x)=\sin x+\cos x\) .
Corrigé 6
Démonstration
On place chaque image et on lit ses coordonnées \((\cos\,;\sin)\) :
\[\begin{aligned}\tfrac{\pi}{4}\! &\to\!\Big(\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2}\Big),\\\tfrac{3\pi}{4}\! &\to\!\Big(-\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2}\Big),\\\tfrac{7\pi}{6}\! &\to\!\Big(-\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac12\Big),\\-\tfrac{\pi}{2}\! &\to\!(0,-1).\end{aligned}\]
Corrigé 7
Démonstration
a) \(\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}\) : solutions \(\dfrac{\pi}{4}\) et \(-\dfrac{\pi}{4}\equiv\dfrac{7\pi}{4}\) . \(S=\left\{\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{7\pi}{4}\right\}\) .
b) \(\cos x=-\dfrac12\) : solutions \(\dfrac{2\pi}{3}\) et \(-\dfrac{2\pi}{3}\equiv\dfrac{4\pi}{3}\) . \(S=\left\{\dfrac{2\pi}{3}\,;\dfrac{4\pi}{3}\right\}\) .
c) \(\cos x=0\) : \(S=\left\{\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{3\pi}{2}\right\}\) .
d) \(\cos x=2\) : impossible car \(-1\leqslant\cos x\leqslant 1\) . \(S=\varnothing\) .
Corrigé 8
Démonstration
a) \(\sin x=\dfrac12\) : solutions \(\dfrac{\pi}{6}\) et \(\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}\) . \(S=\left\{\dfrac{\pi}{6}\,;\dfrac{5\pi}{6}\right\}\) .
b) \(\sin x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\) : angle de référence \(\dfrac{\pi}{4}\) , solutions \(\pi+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{4}\) et \(2\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{4}\) . \(S=\left\{\dfrac{5\pi}{4}\,;\dfrac{7\pi}{4}\right\}\) .
c) \(\sin x=1\) : \(S=\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}\) .
d) \(\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}\) : solutions \(\dfrac{\pi}{3}\) et \(\dfrac{2\pi}{3}\) . \(S=\left\{\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{2\pi}{3}\right\}\) .
Corrigé 9
Démonstration
1. \(L=R\theta=35\times\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{70\pi}{3}\approx 73{,}3\) cm.
2. Un tour complet correspond à une longueur \(2\pi R=2\pi\times 35=70\pi\approx 219{,}9\) cm. Pour \(10\) m \(=1000\) cm : \(\dfrac{1000}{70\pi}\approx 4{,}5\) tours.
Corrigé 10
Démonstration
1. \(\cos 0=1\) et \(\sin 0=0\) : la courbe passant par \((0\,;1)\) est celle de \(\cos\) , celle passant par \((0\,;0)\) est celle de \(\sin\) .
2. \(\cos\) est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. \(\sin\) est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.
Corrigé 11
Démonstration
1. \(A=\cos(\pi-x)+\cos(\pi+x)=(-\cos x)+(-\cos x)=-2\cos x\) .
2. \(B=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+\sin(-x)+\cos(\pi+x)=\cos x+(-\sin x)+(-\cos x)=-\sin x\) .
Corrigé 12
Démonstration
1. L'image de \(\frac{\pi}{4}\) est sur la bissectrice \(y=x\) , donc \(\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}\) . Avec \(\cos^2+\sin^2=1\) : \(2\sin^2\frac{\pi}{4}=1\) , d'où \(\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\) (valeur positive).
2. Le triangle \(OIM\) (\(M\) image de \(\frac{\pi}{3}\) ) est isocèle (\(OI=OM=1\) ) d'angle au sommet \(60\degree\) : il est équilatéral. Le pied de la hauteur issue de \(M\) est le milieu de \([OI]\) , d'abscisse \(\frac12\) , donc \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\) . Puis \(\sin^2\frac{\pi}{3}=1-\frac14=\frac34\) , d'où \(\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\) .
Corrigé 13
Démonstration
1. \(2\cos x-1=0\Leftrightarrow\cos x=\dfrac12\) . Solutions sur \([0\,;2\pi[\) : \(\dfrac{\pi}{3}\) et \(\dfrac{5\pi}{3}\) . \(S=\left\{\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{5\pi}{3}\right\}\) .
2. \(\cos x=\sin x\) : les images dont l'abscisse égale l'ordonnée sont sur la bissectrice \(y=x\) , qui coupe le cercle en \(\dfrac{\pi}{4}\) et \(\dfrac{5\pi}{4}\) . \(S=\left\{\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{5\pi}{4}\right\}\) .
Corrigé 14
Démonstration
1. Pour tout \(x\) , \(-1\leqslant\cos x\leqslant 1\) . En ajoutant \(2\) : \(1\leqslant 2+\cos x\leqslant 3\) , soit \(1\leqslant f(x)\leqslant 3\) .
2. En particulier \(f(x)\geqslant 1>0\) . Le maximum \(f(x)=3\) est atteint quand \(\cos x=1\) , c'est-à-dire \(x=0\) sur \([0\,;2\pi[\) .
Corrigé 15
Démonstration
1. \(\cos\!\left(\frac{\pi}{6}t\right)\) a pour période \(\dfrac{2\pi}{\pi/6}=12\) . La marée se répète toutes les 12 heures .
2. Maximum quand \(\cos=1\) : \(h=5+3=8\) m, en \(t=0\) . Minimum quand \(\cos=-1\) : \(h=5-3=2\) m, quand \(\frac{\pi}{6}t=\pi\) , soit \(t=6\) h.
3. \(h(t)=6{,}5\Leftrightarrow 3\cos\!\left(\frac{\pi}{6}t\right)=1{,}5\Leftrightarrow\cos\!\left(\frac{\pi}{6}t\right)=\dfrac12\) . Donc \(\frac{\pi}{6}t=\frac{\pi}{3}\) ou \(\frac{\pi}{6}t=-\frac{\pi}{3}\equiv\frac{5\pi}{3}\) , soit \(t=2\) ou \(t=10\) . \(S=\{2\,;10\}\) heures.
Corrigé du problème : La grande roue
Démonstration · Partie A : modélisation
1. Le centre est à \(35\) m. Le rayon étant \(30\) m, le point le plus haut est à \(35+30=65\) m et le plus bas à \(35-30=5\) m.
2. La roue parcourt \(2\pi\) radians en \(4\) min à vitesse constante : l'angle parcouru au temps \(t\) est \(\dfrac{2\pi}{4}\,t=\dfrac{\pi}{2}t\) .
3. La nacelle part du bas ; sa hauteur au-dessus du centre est \(-30\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t\right)\) (en \(t=0\) , angle nul, position \(-30\) , donc en bas). D'où \(h(t)=35-30\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}t\right)\) , et \(h(0)=35-30=5\) ✓.
Démonstration · Partie B : hauteurs remarquables
4. \(h(1)=35-30\cos\dfrac{\pi}{2}=35-0=35\) m. \(h(2)=35-30\cos\pi=35+30=65\) m. \(h\!\left(\dfrac23\right)=35-30\cos\dfrac{\pi}{3}=35-30\times\dfrac12=20\) m.
5. Plus haut (\(h=65\) ) quand \(\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t\right)=-1\) , soit \(\frac{\pi}{2}t=\pi\) , donc \(t=2\) . Plus bas (\(h=5\) ) quand \(\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t\right)=1\) , soit \(t=0\) .
Démonstration · Partie C : équations
6. \(h(t)=50\Leftrightarrow 35-30\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t\right)=50\Leftrightarrow\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t\right)=-\dfrac12\) . Donc \(\frac{\pi}{2}t=\dfrac{2\pi}{3}\) ou \(\frac{\pi}{2}t=\dfrac{4\pi}{3}\) , soit \(t=\dfrac43\) ou \(t=\dfrac83\) min.
7. \(h(t)=20\Leftrightarrow\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t\right)=\dfrac12\) . Donc \(\frac{\pi}{2}t=\dfrac{\pi}{3}\) ou \(\dfrac{5\pi}{3}\) , soit \(t=\dfrac23\) ou \(t=\dfrac{10}{3}\) min.
Démonstration · Partie D : périodicité
8. \(h(t+4)=35-30\cos\!\left(\frac{\pi}{2}(t+4)\right)=35-30\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t+2\pi\right)=35-30\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t\right)=h(t)\) . La hauteur se répète à chaque tour (toutes les \(4\) minutes).
9. La nacelle est à plus de \(50\) m quand \(h(t)>50\) , soit \(\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t\right)<-\dfrac12\) , c'est-à-dire \(\frac{\pi}{2}t\in\left]\dfrac{2\pi}{3}\,;\dfrac{4\pi}{3}\right[\) , donc \(t\in\left]\dfrac43\,;\dfrac83\right[\) . Durée : \(\dfrac83-\dfrac43=\dfrac43\) min, soit \(1\) min \(20\) s.
