Existe-t-il une fonction égale à sa propre dérivée, c'est-à-dire vérifiant \(f'=f\) ? Cette question, en apparence très abstraite, surgit dès qu'on modélise un phénomène où la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité présente : plus il y a de noyaux radioactifs, plus il s'en désintègre ; plus un capital est gros, plus il rapporte d'intérêts. La fonction qui décrit ces évolutions est l'exponentielle.
Radioactivité. Le nombre de noyaux vérifie \(N'(t)=-k\,N(t)\) : la solution est \(N(t)=N_0\,\e^{-kt}\), une décroissance exponentielle.
Finance. Un capital placé à intérêts composés continus au taux \(r\) vaut \(C(t)=C_0\,\e^{rt}\) : une croissance exponentielle.
Biologie, thermique… Population, dilution ou refroidissement : l'exponentielle apparaît lorsque le taux d'évolution est constant. C'est le pendant « à temps continu » des suites géométriques de la fiche 1.
L'idée directrice
L'idée avant la formule
Une fonction égale à sa propre vitesse
Transformer les sommes en produits
Le lien avec les suites géométriques
Le cours complet
Définition
L'exponentielle ne s'annule jamais et reste positive
La relation fonctionnelle
Lien avec les suites géométriques
Signe, variations et courbe
Dérivée de \(\e^{ax+b}\)
Équations et inéquations
Modéliser une évolution exponentielle
Synthèse : étudier une fonction avec exponentielle
Pour aller plus loin : une inégalité fondamentale
Boîte à outils : réflexes pour le bac
Exercices
Exercice 1 ★☆☆ : Simplifier (sans calculatrice)
\(\e^2\cdot\e^3\)
\(\dfrac{\e^5}{\e^2}\)
\((\e^{-1})^4\)
\(\e^x\cdot\e^{-x}\)
\((\e^2)^3\)
\(\e^{3}\cdot\e^{-3}\)
Exercice 2 ★☆☆ : Simplifier des expressions en \(x\)
\(\e^{2x}\cdot\e^{x}\)
\(\dfrac{\e^{5x}}{\e^{2x}}\)
\((\e^x)^3\)
\(\e^{x}\cdot\e^{1-x}\)
Exercice 3 ★☆☆ : Dériver
\(f(x)=\e^{x}\)
\(g(x)=\e^{4x}\)
\(h(x)=\e^{-3x+2}\)
\(k(x)=3\e^{x}-\e^{2x}\)
Exercice 4 ★☆☆ : Résoudre des équations
Résoudre dans \(\R\).
\(\e^{2x}=\e^{6}\)
\(\e^{x^2}=\e^{9}\)
\(\e^{3x-1}=1\)
\(\e^{x+1}=\e^{2x}\)
Exercice 5 ★☆☆ : Résoudre des inéquations
Résoudre dans \(\R\).
\(\e^{2x}>\e^{4}\)
\(\e^{-x}\leqslant\e^{2}\)
\(\e^{x-1}<1\)
\(\e^{2x}\geqslant\e^{x+3}\)
Exercice 6 ★★☆ : Dériver des produits et quotients
\(f(x)=x\e^{x}\)
\(g(x)=(2x+1)\e^{x}\)
\(h(x)=x^2\e^{-x}\)
\(k(x)=\dfrac{\e^{x}}{x+1}\)
Exercice 7 ★★☆ : Factoriser et résoudre
Résoudre dans \(\R\).
\(\e^{2x}-\e^{x}=0\)
\(\e^{2x}=\e^{x+2}\)
\((\e^{x}-1)(\e^{x}-\e^{2})=0\)
\(\e^{3x}-\e^{2x}=0\)
Exercice 8 ★★☆ : Tangentes
Montrer que la tangente à la courbe de \(\exp\) au point d'abscisse \(0\) a pour équation \(y=x+1\).
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \(g(x)=\e^{2x}\) au point d'abscisse \(0\).
Exercice 9 ★★☆ : Étude de \(f(x)=x\e^{x}\)
Calculer \(f'(x)\) et montrer que \(f'(x)=(1+x)\e^{x}\).
Étudier le signe de \(f'\), puis dresser le tableau de variations de \(f\).
En déduire le minimum de \(f\).
Exercice 10 ★★☆ : Lien avec les suites géométriques
Soit la suite \(u_n=\e^{2n}\) pour \(n\in\N\).
Montrer que \((u_n)\) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
Exprimer \(u_n\) à l'aide de \(\e^2\).
Exercice 11 ★★☆ : Décroissance radioactive
Une source radioactive contient \(N(t)=N_0\,\e^{-0{,}1t}\) noyaux à l'instant \(t\) (en jours), avec \(N_0\) le nombre initial.
Quelle fraction des noyaux reste-t-il à \(t=10\) jours ? (on donnera la valeur exacte \(\e^{-1}\) puis une valeur approchée).
Justifier que \(N\) est strictement décroissante.
Exercice 12 ★★★ : Démonstrations de cours
En étudiant \(\varphi(x)=\e^x\e^{-x}\), montrer que \(\e^x\e^{-x}=1\), puis que \(\e^x>0\).
Montrer que la suite \((\e^{na})\) est géométrique de raison \(\e^a\).
Dresser le tableau de variations de \(g\) et en déduire son minimum.
Conclure que \(\e^{x}\geqslant x+1\) pour tout réel \(x\).
Exercice 14 ★★★ : Étude de \(f(x)=(x-1)\e^{x}\)
Calculer \(f'(x)\) et montrer que \(f'(x)=x\,\e^{x}\).
Étudier le signe de \(f'\) et dresser le tableau de variations.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(0\).
Exercice 15 ★★★ : Approcher le nombre \(\e\)
Calculer \(\left(1+\dfrac1n\right)^n\) pour \(n=1\), \(n=2\), \(n=10\) et \(n=100\) (valeurs approchées).
Vers quel nombre ces valeurs semblent-elles tendre ?
En utilisant la tangente \(y=x+1\) en \(0\), donner une valeur approchée de \(\e^{0{,}01}\).
Exercice 16 ★★☆ : Étude de \(f(x)=(x-2)\e^{x}\)
Calculer \(f'(x)\) et montrer que \(f'(x)=(x-1)\e^{x}\).
Étudier le signe de \(f'\) et dresser le tableau de variations. En déduire le minimum de \(f\).
Exercice 17 ★★☆ : Équations et inéquations
Résoudre dans \(\R\).
\(\e^{x^2-1}=1\)
\(\e^{2x}\cdot\e^{-x}=\e^{3}\)
\((\e^{x})^2=\e^{x+2}\)
\(\e^{-x}>\e\)
Exercice 18 ★★☆ : Croissance d'un capital
Un capital placé suit \(C(t)=5000\,\e^{0{,}03t}\) (en euros, \(t\) en années).
Quelle est la valeur initiale ?
Calculer \(C(10)\) (on utilisera \(\e^{0{,}3}\approx 1{,}350\)).
Justifier que \(C\) est strictement croissante.
Exercice 19 ★★★ : Étude de \(f(x)=(2-x)\e^{x}\)
Calculer \(f'(x)\) et montrer que \(f'(x)=(1-x)\e^{x}\).
Étudier le signe de \(f'\), dresser le tableau de variations et donner le maximum de \(f\).
Exercice 20 ★★★ : Conséquences de \(\e^{x}\geqslant x+1\)
On admet l'inégalité \(\e^{x}\geqslant x+1\) (valable pour tout réel \(x\)).
En déduire que \(\e^{x}>x\) pour tout réel \(x\).
En remplaçant \(x\) par \(-x\), montrer que \(\e^{-x}\geqslant 1-x\) pour tout réel \(x\).
Exercice 21 ★★☆ : Comparer deux exponentielles
On pose \(g(t)=\e^{2t}\) et \(h(t)=\e^{t}\).
Montrer que pour tout \(t\geqslant 0\), \(\e^{2t}\geqslant\e^{t}\).
Calculer \(g(1)\) et \(h(1)\) (valeurs approchées, avec \(\e\approx 2{,}718\) et \(\e^2\approx 7{,}389\)).
Exercice 22 ★★★ : Étude de \(f(x)=(x+1)\e^{-x}\)
Calculer \(f'(x)\) et montrer que \(f'(x)=-x\,\e^{-x}\).
Étudier le signe de \(f'\), dresser le tableau de variations et donner le maximum de \(f\).
Problème : Autour de l'équation \(f'=f\) ★★★
Partie A : unicité
On admet que \(\e^x\,\e^{-x}=1\) (donc \(\e^x\neq 0\)). Soit \(g\) une fonction dérivable telle que \(g'=g\) et \(g(0)=1\). On pose \(k(x)=g(x)\,\e^{-x}\). Calculer \(k'(x)\).
En déduire que \(k\) est constante, puis que \(g(x)=\e^{x}\) pour tout \(x\). Conclure sur l'unicité.
Partie B : relation fonctionnelle
On fixe un réel \(y\) et on pose \(h(x)=\e^{x+y}\,\e^{-x}\). Calculer \(h'(x)\) et en déduire que \(h\) est constante.
Calculer \(h(0)\), puis en déduire que \(\e^{x+y}=\e^{x}\,\e^{y}\) pour tous \(x,y\).
Partie C : positivité et croissance
À partir de \(\e^x\,\e^{-x}=1\), justifier que \(\e^x\neq 0\), puis (en utilisant la continuité et \(\e^0=1\)) que \(\e^x>0\) pour tout \(x\).
En déduire le signe de \((\e^x)'\) et conclure que \(\exp\) est strictement croissante sur \(\R\).
Partie D : suites géométriques et approximation
Soit \(a\) un réel et \(u_n=\e^{na}\). Montrer que \((u_n)\) est géométrique ; préciser sa raison.
Application : pour \(a=1\), donner \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\) en fonction de \(\e\). La suite est-elle croissante ?
À l'aide de la tangente \(y=x+1\) en \(0\), justifier que pour \(h\) petit, \(\e^{h}\approx 1+h\). En déduire une valeur approchée de \(\e^{0{,}1}\).
Corrigés détaillés
Corrigé 1
Corrigé 2
Corrigé 3
Corrigé 4
Corrigé 5
Corrigé 6
Corrigé 7
Corrigé 8
Corrigé 9
Corrigé 10
Corrigé 11
Corrigé 12
Corrigé 13
Corrigé 14
Corrigé 15
Corrigé 16
Corrigé 17
Corrigé 18
Corrigé 19
Corrigé 20
Corrigé 21
Corrigé 22
Corrigé du problème : Autour de \(f'=f\)
Fiche-mémoire
Schéma : Fiche-mémoire
Maîtrise du chapitre
Validation contrôlée
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