Produit scalaire · Première spécialité

Pourquoi le produit scalaire ?

Le problème fondamental

Jusqu'ici, le calcul vectoriel sert à additionner des vecteurs et à parler de directions. Mais comment, avec des vecteurs, mesurer un angle ? Tester si deux droites sont perpendiculaires ? Calculer une longueur dans une figure ? Il manque une opération qui relie les vecteurs aux angles et aux distances. Cette opération, c'est le produit scalaire : elle prend deux vecteurs et renvoie un nombre (un « scalaire ») qui encode à la fois leurs longueurs et l'angle entre eux.

Orthogonalité. Deux vecteurs sont perpendiculaires exactement quand leur produit scalaire est nul. C'est le test le plus simple qui soit.

Longueurs et angles. La formule d'Al-Kashi (une généralisation du théorème de Pythagore aux triangles quelconques) se démontre en quelques lignes avec le produit scalaire.

Physique. Le travail d'une force vaut $W=\vec F\cdot\vec d$ : seule la part de la force « dans le sens du déplacement » compte. Le produit scalaire mesure exactement cette part.

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Un produit qui tient compte de l'angle

La projection orthogonale

Quatre façons de le calculer

Le cours complet

Définition

Symétrie et bilinéarité

Les identités de développement

Expression dans un repère orthonormé

Orthogonalité

Récapitulatif : les quatre méthodes de calcul

Méthode · Quelle expression choisir ?

Ce que je connais	J'utilise
les coordonnées	$\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$ (le plus rapide)
les normes et l'angle	$\vec u\cdot\vec v=\norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta$
une projection orthogonale	$\vec u\cdot\vec v=\norm{\vec u}\times\overline{OH}$
seulement des longueurs	$\vec u\cdot\vec v=\tfrac12\big(\norm{\vec u}^2+\norm{\vec v}^2-\norm{\vec u-\vec v}^2\big)$

La formule d'Al-Kashi

L'ensemble des points $$M$$ tels que $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$

Schéma : L'ensemble des points M tels que MA MB =0

Démonstration · L'ensemble $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ (exigible)

Soit $$I$$ le milieu de $$[AB]$$ . On a alors $\vec{IA}=-\vec{IB}$ . On décompose chaque vecteur avec la relation de Chasles via $$I$$ :

\vec{MA}=\vec{MI}+\vec{IA},\qquad \vec{MB}=\vec{MI}+\vec{IB}=\vec{MI}-\vec{IA}.

On reconnaît une identité remarquable $(\vec X+\vec Y)\cdot(\vec X-\vec Y)=\norm{\vec X}^2-\norm{\vec Y}^2$ avec $\vec X=\vec{MI}$ et $\vec Y=\vec{IA}$ :

\vec{MA}\cdot\vec{MB}=\norm{\vec{MI}}^2-\norm{\vec{IA}}^2=MI^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2.

Donc $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0\iff MI^2=\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2\iff MI=\dfrac{AB}{2}$ . C'est exactement le cercle de centre $$I$$ (milieu de $$[AB]$$ ) et de rayon $\dfrac{AB}{2}$ , c'est-à-dire le cercle de diamètre $$[AB]$$ . $\blacksquare$

Pour aller plus loin : trois grands résultats du triangle

La loi des sinus

Les trois médianes et le centre de gravité

La droite d'Euler

Démonstration · Preuve par le produit scalaire

Prenons $$O$$ pour origine et notons $\vec a=\vec{OA}$ , $\vec b=\vec{OB}$ , $\vec c=\vec{OC}$ . Comme $$A$$ , $$B$$ et $$C$$ appartiennent au même cercle,

\|\vec a\|=\|\vec b\|=\|\vec c\|=R.

Définissons le point $$H$$ par $\vec{OH}=\vec a+\vec b+\vec c$ . Alors

\vec{AH}=\vec b+\vec c \qquad\text{et}\qquad \vec{BC}=\vec c-\vec b.

Leur produit scalaire vaut

\begin{aligned}&(\vec b+\vec c)\cdot(\vec c-\vec b)\\&= \|\vec c\|^2 -\|\vec b\|^2 = R^2 -R^2 = 0.\end{aligned}

Donc $AH\perp BC$ : $$H$$ appartient à la hauteur issue de $$A$$ . Par symétrie, $$H$$ appartient aux trois hauteurs ; c'est l'orthocentre.

Or le centre de gravité vérifie

\vec{OG}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}=\frac13\vec{OH}.

Ainsi $$O$$ , $$G$$ et $$H$$ sont alignés et $\vec{OH}=3\vec{OG}$ . $\blacksquare$

Boîte à outils : réflexes pour le bac

Méthode · Formulaire complet

Objet	Formule
Définition	$\vec u\cdot\vec v=\norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta$
Coordonnées (orthonormé)	$\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$
Norme	$\norm{\vec u}=\sqrt{x^2+y^2}$ , $\vec u\cdot\vec u=\norm{\vec u}^2$
Normes seules	$\vec u\cdot\vec v=\frac12(\norm{\vec u}^2+\norm{\vec v}^2-\norm{\vec u-\vec v}^2)$
Développement	$\norm{\vec u\pm\vec v}^2=\norm{\vec u}^2\pm 2\vec u\cdot\vec v+\norm{\vec v}^2$
Orthogonalité	$\vec u\perp\vec v\iff \vec u\cdot\vec v=0$
Al-Kashi	$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A$
Cercle de diamètre $$[AB]$$	$\{M:\ \vec{MA}\cdot\vec{MB}=0\}$

Méthode · Algorithme : produit scalaire et angle en Python

from math import sqrt, acos, degrees

def produit_scalaire(u, v):
    return u[0]*v[0] + u[1]*v[1]

def norme(u):
    return sqrt(u[0]**2 + u[1]**2)

def angle(u, v):                       # angle en degres entre u et v
    c = produit_scalaire(u, v) / (norme(u) * norme(v))
    return degrees(acos(c))

print(produit_scalaire((3,-1), (2,4)))  # 2
print(angle((1,0), (1,1)))              # 45.0

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Produit scalaire en coordonnées

Calculer $\vec u\cdot\vec v$ dans un repère orthonormé.

$\vec u\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}$
$\vec u\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$
$\vec u\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix}$
$\vec u\begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$

Exercice 2 ★☆☆ : Normes

Calculer $\norm{\vec u}$ pour : a) $\vec u\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ ; b) $\vec u\begin{pmatrix}-5\\12\end{pmatrix}$ ; c) $\vec u\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ ; d) $\vec u\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$ .

Exercice 3 ★☆☆ : Orthogonalité

Les vecteurs sont-ils orthogonaux ?

$\vec u\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$
$\vec u\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}$
$\vec u\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}$
$\vec u\begin{pmatrix}-3\\6\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$

Exercice 4 ★☆☆ : Avec normes et angle

Calculer $\vec u\cdot\vec v$ sachant que :

$\norm{\vec u}=3$ , $\norm{\vec v}=5$ et $\theta=60\degree$ .
$\norm{\vec u}=4$ , $\norm{\vec v}=2$ et $\theta=135\degree$ .
$\norm{\vec u}=6$ , $\norm{\vec v}=1$ et $\theta=90\degree$ .

Exercice 5 ★★☆ : Calculer un angle

Dans un repère orthonormé, on donne $\vec u\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ . Calculer $\cos\theta$ puis l'angle $\theta$ entre $\vec u$ et $\vec v$ .

Exercice 6 ★★☆ : Avec des points

On donne $A(1\,;2)$ , $B(4\,;3)$ , $C(2\,;-1)$ .

Donner les coordonnées de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .
Calculer $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ . Le triangle est-il rectangle en $$A$$ ?
Calculer les longueurs $$AB$$ et $$AC$$ .

Exercice 7 ★★☆ : Développer

Développer et simplifier (en fonction de $\norm{\vec u}$ , $\norm{\vec v}$ et $\vec u\cdot\vec v$ ).

$(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)$ .
$\norm{2\vec u+\vec v}^2$ .

Exercice 8 ★★☆ : Produit scalaire par les normes

On sait que $\norm{\vec u}=4$ , $\norm{\vec v}=3$ et $\norm{\vec u-\vec v}=\sqrt{13}$ . Calculer $\vec u\cdot\vec v$ à l'aide des normes.

Exercice 9 ★★☆ : Al-Kashi (longueur)

Dans un triangle $$ABC$$ , $$AB=6$$ , $$AC=4$$ et $\widehat A=120\degree$ . Calculer $$BC$$ .

Exercice 10 ★★☆ : Al-Kashi (angle)

Dans un triangle $$ABC$$ , $$a=7$$ , $$b=5$$ , $$c=3$$ . Calculer $\cos\widehat A$ , puis dire si l'angle $\widehat A$ est aigu ou obtus.

Exercice 11 ★★☆ : Vecteur orthogonal

On donne $\vec u\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$ .

Déterminer un vecteur $\vec v$ orthogonal à $\vec u$ (non nul).
Tous les vecteurs orthogonaux à $\vec u$ sont-ils colinéaires entre eux ? Justifier.

Exercice 12 ★★★ : Démonstrations de cours

Démontrer la formule d'Al-Kashi $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A$ .
Démontrer que l'ensemble des points $$M$$ tels que $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ est le cercle de diamètre $$[AB]$$ .

Exercice 13 ★★★ : Triangle rectangle ?

On donne $A(-1\,;1)$ , $B(3\,;3)$ , $C(1\,;-3)$ .

Calculer $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ , $\vec{BA}\cdot\vec{BC}$ et $\vec{CA}\cdot\vec{CB}$ .
Le triangle $$ABC$$ est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?

Exercice 14 ★★★ : Ensemble de points

On donne $A(-2\,;0)$ et $B(2\,;0)$ . Déterminer et décrire l'ensemble des points $M(x\,;y)$ tels que $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ (on calculera $\vec{MA}\cdot\vec{MB}$ en coordonnées et on reconnaîtra une équation de cercle).

Exercice 15 ★★★ : Hauteur et orthogonalité

Dans un triangle $$ABC$$ , soit $$H$$ le pied de la hauteur issue de $$A$$ (donc $AH\perp BC$ ). On note $\vec{AH}$ et $\vec{BC}$ .

Que vaut $\vec{AH}\cdot\vec{BC}$ ? Justifier.
En déduire, en développant $\vec{AB}\cdot\vec{BC}$ avec $\vec{AB}=\vec{AH}+\vec{HB}$ , une relation simple.

Exercice 16 ★★☆ : Ensemble équidistant (médiatrice)

On donne $A(1\,;2)$ et $B(5\,;4)$ . Déterminer l'ensemble des points $M(x\,;y)$ tels que $$MA=MB$$ (on écrira $$MA^2=MB^2$$ et on développera). Reconnaître cet ensemble.

Exercice 17 ★★★ : Les trois angles d'un triangle

Dans un repère orthonormé, $A(0\,;0)$ , $B(4\,;0)$ , $C(1\,;3)$ .

Calculer $\cos\widehat A$ , $\cos\widehat B$ et $\cos\widehat C$ .
Le triangle a-t-il un angle obtus ? Donner une valeur approchée de chaque angle.

Exercice 18 ★★☆ : Travail d'une force (physique)

Une force $\vec F$ de norme $$50$$ N tire un chariot sur une distance de $$20$$ m, en faisant un angle de $30\degree$ avec le déplacement $\vec d$ . Le travail de la force est $W=\vec F\cdot\vec d$ . Calculer $$W$$ (en joules).

Problème : Étude d'un triangle par le produit scalaire ★★★

Partie A : longueurs et nature du triangle

Calculer les coordonnées de $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ et $\vec{BC}$ .
Calculer les longueurs $$AB$$ , $$AC$$ et $$BC$$ .
Calculer $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ . Le triangle est-il rectangle en $$A$$ ?

Partie B : un angle

Déterminer $\cos\widehat A$ (l'angle en $$A$$ ). En déduire une valeur approchée de $\widehat A$ en degrés.
Vérifier le résultat avec la formule d'Al-Kashi $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A$ (avec $$a=BC$$ , $$b=CA$$ , $$c=AB$$ ).

Partie C : un point particulier

Déterminer les coordonnées du milieu $$I$$ de $$[AB]$$ , puis le rayon du cercle de diamètre $$[AB]$$ .
Écrire, en coordonnées, la condition $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ pour un point $M(x\,;y)$ , et reconnaître l'équation du cercle de diamètre $$[AB]$$ .
Le point $$C$$ appartient-il à ce cercle ? (Relier à la réponse de la Partie A.)

Partie D : aire

À l'aide de $\sin\widehat A$ (obtenu depuis $\cos\widehat A$ et $\cos^2+\sin^2=1$ ), calculer l'aire du triangle par la formule $\mathcal{A}=\dfrac12\,AB\times AC\times\sin\widehat A$ .

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé 16

Corrigé 17

Démonstration

1. En $$A$$ : $\vec{AB}\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}$ , $\vec{AC}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$ , donc $\cos\widehat A=\dfrac{4\times 1+0\times 3}{4\times\sqrt{10}}=\dfrac{4}{4\sqrt{10}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\approx 0{,}316$ .

En $$B$$ : $\vec{BA}\begin{pmatrix}-4\\0\end{pmatrix}$ , $\vec{BC}\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}$ , donc $\cos\widehat B=\dfrac{12+0}{4\times\sqrt{18}}=\dfrac{12}{4\times 3\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt2}\approx 0{,}707$ .

En $$C$$ : $\vec{CA}\begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}$ , $\vec{CB}\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}$ , donc $\cos\widehat C=\dfrac{-3+9}{\sqrt{10}\times\sqrt{18}}=\dfrac{6}{\sqrt{180}}\approx 0{,}447$ .

2. Les trois cosinus sont positifs : les trois angles sont aigus (triangle acutangle). Valeurs approchées : $\widehat A\approx 71{,}6\degree$ , $\widehat B=45\degree$ , $\widehat C\approx 63{,}4\degree$ (somme $\approx 180\degree$ ✓).

Corrigé 18

Corrigé du problème : Étude d'un triangle

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

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