Variations et courbes · Première spécialité

Pourquoi étudier les variations ?

Le problème fondamental

Une fois qu'on sait dériver (fiche précédente), une question naturelle se pose : à quoi ça sert ? La réponse est spectaculaire. Le signe de la dérivée $$f'$$ permet de connaître les variations de $$f$$ sans calculer des dizaines de valeurs : là où $$f'>0$$ , la fonction monte ; là où $$f'<0$$ , elle descend. On peut alors trouver les maximums et minimums, tracer précisément une courbe, résoudre des problèmes d'optimisation et même démontrer des inégalités.

Extremums. En un sommet (max) ou un creux (min), la tangente est horizontale : la dérivée s'annule. C'est le point de départ de toute recherche d'optimum.

Optimisation. « Quel est le volume maximal d'une boîte ? », « quel prix maximise le bénéfice ? » : on exprime la quantité à optimiser comme une fonction, et on cherche son extremum grâce à $$f'$$ .

Tracer et comparer. Le tableau de variations donne l'allure exacte d'une courbe. Étudier le signe de $$f-g$$ permet de savoir quelle courbe est au-dessus de l'autre.

L'idée directrice

L'idée avant la formule

La dérivée indique la pente

L'extremum : quand la pente change de signe

Le cours complet

Le théorème fondamental

La méthode du tableau de variations

Extremums

Optimisation

Inégalités par étude de fonction

Position relative de deux courbes

Application au trinôme du second degré

Lecture graphique de la dérivée

Synthèse : étude complète d'une fonction

Pour aller plus loin : comprendre la méthode de Newton

Boîte à outils : réflexes pour le bac

Méthode · Mots-clés à repérer

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« étudier les variations »	dériver, signe de $$f'$$ , tableau
« maximum / minimum / optimal »	$$f'=0$$ avec changement de signe
« volume / aire / coût maximal »	problème d'optimisation
« montrer que $f(x)\geqslant 0$ »	étudier le minimum de $$f$$
« position relative / au-dessus »	signe de $$f(x)-g(x)$$
« tangente horizontale »	$$f'(a)=0$$

Méthode · Algorithme : méthode de Newton

La méthode de Newton approche une solution de $$f(x)=0$$ en suivant les tangentes. Dans des cas favorables, elle converge très vite.

def f(x):
    return x**2 - 2          # on cherche une racine : ici racine(2)

def fprime(x):
    return 2*x

def newton(x0, n):
    x = x0
    for k in range(n):
        x = x - f(x) / fprime(x)   # on suit la tangente
    return x

print(newton(2, 5))          # approche tres precise de racine(2)

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Du signe de $$f'$$ aux variations

On donne le signe de la dérivée d'une fonction $$f$$ définie sur $\R$ : $$f'(x)>0$$ sur $]-\infty\,;-2[$ , $$f'(-2)=0$$ , $$f'(x)<0$$ sur $]-2\,;3[$ , $$f'(3)=0$$ , $$f'(x)>0$$ sur $]3\,;+\infty[$ .

Dresser le tableau de variations de $$f$$ .
Préciser la nature (max ou min) des extremums en $$-2$$ et en $$3$$ .

Exercice 2 ★☆☆ : Dériver et donner le signe

Pour chaque fonction, calculer $$f'(x)$$ et étudier son signe.

$$f(x)=x^2-6x+5$$
$$g(x)=-x^2+4x$$
$$h(x)=x^3-3x^2$$
$k(x)=\dfrac13x^3-x$

Exercice 3 ★☆☆ : Tableau de variations d'un trinôme

Soit $$f(x)=x^2-6x+5$$ . Dresser le tableau de variations de $$f$$ sur $\R$ et préciser son minimum.

Exercice 4 ★☆☆ : Tableau d'une fonction cube

Soit $$f(x)=x^3-3x+1$$ . Calculer $$f'(x)$$ , l'étudier, puis dresser le tableau de variations de $$f$$ sur $\R$ .

Exercice 5 ★★☆ : Extremums

Soit $$f(x)=2x^3-3x^2-12x+5$$ .

Calculer et factoriser $$f'(x)$$ .
Déterminer les extremums locaux de $$f$$ (abscisses, valeurs, nature).

Exercice 6 ★★☆ : Aire maximale

Un rectangle a un périmètre de $$24$$ cm. On note $$x$$ sa largeur.

Exprimer l'aire $$A(x)$$ en fonction de $$x$$ (et préciser l'intervalle).
Étudier $$A$$ et déterminer l'aire maximale.

Exercice 7 ★★☆ : Enclos contre un mur

On dispose de $$60$$ m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire contre un mur (le mur sert d'un des côtés, on ne grillage donc que trois côtés). On note $$x$$ la largeur (les deux côtés perpendiculaires au mur).

Exprimer la longueur, puis l'aire $$A(x)$$ .
Déterminer les dimensions qui maximisent l'aire, et cette aire maximale.

Exercice 8 ★★☆ : La fonction $x+\frac1x$

Soit $f(x)=x+\dfrac1x$ sur $]0\,;+\infty[$ .

Calculer $$f'(x)$$ et l'écrire sous la forme $\dfrac{x^2-1}{x^2}$ .
Étudier les variations de $$f$$ et en déduire son minimum.
En déduire que $x+\dfrac1x\geqslant 2$ pour tout $$x>0$$ .

Exercice 9 ★★☆ : Position relative

Comparer les courbes de $$f(x)=x^3$$ et $$g(x)=x$$ : étudier le signe de $$f(x)-g(x)$$ et préciser, selon $$x$$ , laquelle est au-dessus.

Exercice 10 ★★☆ : Inégalité

Montrer, par une étude de fonction, que pour tout réel $$x$$ : $x^2\geqslant 2x-1$ .

Exercice 11 ★★☆ : Tangentes horizontales

Soit $$f(x)=x^3-3x^2$$ .

Déterminer les points où la tangente à la courbe est horizontale.
Préciser la nature de chacun (max ou min).

Exercice 12 ★★★ : Rectangle inscrit sous une parabole

On inscrit un rectangle sous la parabole $$y=9-x^2$$ : sa base est sur l'axe des abscisses et ses deux sommets supérieurs sont sur la parabole, aux abscisses $$-x$$ et $$x$$ (avec $$0<x<3$$ ).

Montrer que l'aire du rectangle est $$A(x)=2x(9-x^2)=18x-2x^3$$ .
Déterminer la valeur de $$x$$ qui maximise $$A$$ , et l'aire maximale (valeur exacte).

Exercice 13 ★★★ : $$f'$$ s'annule sans extremum

Soit $$f(x)=x^3-3x^2+3x$$ .

Calculer $$f'(x)$$ et montrer que $$f'(x)=3(x-1)^2$$ .
En déduire que $$f$$ est croissante sur $\R$ , bien que $$f'(1)=0$$ . Y a-t-il un extremum en $$1$$ ?

Exercice 14 ★★★ : Étude complète

Soit $$f(x)=x^3-3x^2+2$$ .

Calculer et factoriser $$f'(x)$$ .
Dresser le tableau de variations de $$f$$ sur $\R$ (avec les valeurs des extremums).
Donner l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $$0$$ .
Tracer l'allure de la courbe (extremums, ordonnée à l'origine).

Exercice 15 ★★★ : Une inégalité classique

Montrer, par une étude de fonction, que pour tout $x\geqslant 0$ : $\sqrt{x}\leqslant\dfrac{x+1}{2}$ .

Exercice 16 ★★★ : Étude avec un facteur sans racine

Soit $$f(x)=x^4-4x$$ .

Calculer $$f'(x)$$ et montrer que $$f'(x)=4(x-1)(x^2+x+1)$$ .
Justifier que $$x^2+x+1>0$$ pour tout $$x$$ , puis en déduire le signe de $$f'(x)$$ .
Dresser le tableau de variations de $$f$$ et donner son minimum.

Exercice 17 ★★★ : Boîte de coût minimal

On fabrique une boîte sans couvercle, à base carrée de côté $$x$$ (en mètres) et de hauteur $$h$$ , de volume $$4$$ m $$^3$$ .

Justifier que $h=\dfrac{4}{x^2}$ , puis que l'aire de tôle utilisée est $A(x)=x^2+\dfrac{16}{x}$ (pour $$x>0$$ ).
Étudier $$A$$ et déterminer les dimensions qui minimisent l'aire, ainsi que cette aire minimale.

Exercice 18 ★★☆ : Lecture graphique

La courbe d'une fonction $$f$$ définie sur $\R$ monte sur $]-\infty\,;1[$ , redescend sur $]1\,;4[$ , puis remonte sur $]4\,;+\infty[$ .

Donner le signe de $$f'(x)$$ sur chacun des intervalles.
En quels points la tangente à la courbe est-elle horizontale ? Préciser la nature des extremums.

Exercice 19 ★★☆ : Périmètre minimal

Un rectangle a une aire de $$36$$ m $$^2$$ . On note $$x$$ sa largeur (en m).

Exprimer la longueur, puis le périmètre $P(x)=2x+\dfrac{72}{x}$ (pour $$x>0$$ ).
Étudier $$P$$ et déterminer les dimensions qui minimisent le périmètre.

Exercice 20 ★★★ : Courbe et tangente

Soit $$f(x)=x^3$$ et la droite $\mathcal{D}:\ y=3x-2$ .

Vérifier que $\mathcal{D}$ est tangente à la courbe de $$f$$ au point d'abscisse $$1$$ .
Étudier le signe de $$f(x)-(3x-2)$$ en factorisant $$x^3-3x+2$$ .
En déduire la position de la courbe par rapport à $\mathcal{D}$ .

Problème : Étude complète d'une cubique ★★★

Partie A : variations et extremums

Calculer $$f'(x)$$ et montrer que $$f'(x)=3(x-1)(x-3)$$ .
Étudier le signe de $$f'(x)$$ sur $[0\,;4]$ .
Calculer $$f(0)$$ , $$f(1)$$ , $$f(3)$$ et $$f(4)$$ , puis dresser le tableau de variations de $$f$$ sur $[0\,;4]$ . Préciser le maximum et le minimum.

Partie B : une inégalité

Déduire du tableau que $f(x)\geqslant 0$ pour tout $x\in[0\,;4]$ .
Pour quelles valeurs de $$x$$ a-t-on $$f(x)=0$$ ?

Partie C : position par rapport à une droite

On considère la droite $\mathcal{D}:\ y=x$ . Étudier le signe de $$f(x)-x$$ en factorisant $$x^3-6x^2+8x$$ .
En déduire, sur $[0\,;4]$ , les positions relatives de la courbe de $$f$$ et de la droite $\mathcal{D}$ , et leurs points d'intersection.

Partie D : tangente et tracé

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $$f$$ au point d'abscisse $$2$$ .
À l'aide de tout ce qui précède, tracer l'allure de la courbe de $$f$$ sur $[0\,;4]$ (extremums, intersections avec $\mathcal{D}$ ).

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Démonstration

$$f(x)-g(x)=x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$$ . Tableau de signes (racines $$-1$$ , $$0$$ , $$1$$ ) :

$$x$$	$-\infty$	$$-1$$		$$0$$		$$1$$	$+\infty$
$$x^3-x$$	$$-$$	$$0$$	$$+$$	$$0$$	$$-$$	$$0$$	$$+$$

Donc la courbe de $$f$$ est au-dessus de celle de $$g$$ sur $]-1\,;0[$ et $]1\,;+\infty[$ , et en dessous sur $]-\infty\,;-1[$ et $]0\,;1[$ . Elles se croisent en $$x=-1$$ , $$0$$ et $$1$$ .

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé 16

Corrigé 17

Corrigé 18

Corrigé 19

Corrigé 20

Corrigé du problème : Étude d'une cubique

Démonstration · Partie C : position par rapport à $\mathcal{D}$

6. $$f(x)-x=x^3-6x^2+9x-x=x^3-6x^2+8x=x(x^2-6x+8)=x(x-2)(x-4)$$ . Sur $[0\,;4]$ , tableau de signes (racines $$0$$ , $$2$$ , $$4$$ ) :

$$x$$	$$0$$		$$2$$		$$4$$
$$x(x-2)(x-4)$$	$$0$$	$$+$$	$$0$$	$$-$$	$$0$$

7. Donc, sur $[0\,;4]$ : la courbe de $$f$$ est au-dessus de $\mathcal{D}$ sur $]0\,;2[$ , en dessous sur $]2\,;4[$ ; elles se croisent en $$x=0$$ , $$x=2$$ et $$x=4$$ .

Schéma : Corrigé du problème : Étude d'une cubique

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

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