La dérivation · Première spécialité

Pourquoi étudier la dérivation ?

Le problème fondamental

Comment mesurer une vitesse à un instant précis ? Un compteur de voiture affiche $$90$$ km/h « maintenant », mais la vitesse est une distance divisée par un temps : sur quel temps, si l'instant n'a pas de durée ? Comment mesurer la pente d'une courbe en un point, alors qu'une pente se calcule entre deux points ? Ces deux questions, l'une physique, l'autre géométrique, ont la même réponse : la dérivation.

Cinématique. La vitesse instantanée est la limite de la vitesse moyenne sur un intervalle de temps de plus en plus court : c'est un nombre dérivé.

Géométrie. La tangente en un point est la position limite des sécantes ; sa pente est le nombre dérivé. Tout le chapitre relie ces deux visions.

Économie. Le coût marginal (coût de produire un objet de plus) est, en bonne approximation, la dérivée de la fonction coût.

Optimisation. Là où une fonction atteint un maximum ou un minimum, sa tangente est horizontale : le nombre dérivé s'annule. C'est l'outil clé de la fiche suivante (variations).

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Vitesse moyenne, vitesse instantanée

Animation du taux d'accroissement lorsque h tend vers zéro — Quand h se rapproche de 0, le taux d'accroissement se stabilise vers le nombre dérivé.

Zoomer sur une courbe

De la sécante à la tangente

Animation d'une sécante qui se rapproche de la tangente — La sécante se rapproche de la tangente lorsque le second point rejoint A.

Animation en lecture automatique dans Adobe Acrobat Reader (gratuit). Dans un autre lecteur, l'image fixe ci-dessus reste valable ; le même contenu est aussi fourni en GIF dans le dossier Première/Animations.

Quand le point $$B$$ se rapproche de $$A$$ en glissant sur la courbe, la sécante $$(AB)$$ pivote autour de $$A$$ et tend vers une position limite : la tangente en $$A$$ . Les pentes des sécantes (les taux de variation) tendent alors vers la pente de la tangente, le nombre dérivé.

Le cours complet

Taux de variation et sécante

Nombre dérivé

La tangente

Calculs à partir de la définition

Fonction dérivée et dérivées usuelles

Théorème · Dérivées des fonctions usuelles

Fonction $$f(x)$$	Dérivée $$f'(x)$$	Sur
$$k$$ (constante)	$$0$$	$\R$
$$x$$	$$1$$	$\R$
$$x^2$$	$$2x$$	$\R$
$$x^3$$	$$3x^2$$	$\R$
$$x^n$$ ( $n\in\Z$ )	$n\,x^{n-1}$	$\R$ ou $\R^*$
$\dfrac1x$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$\R^*$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0\,;+\infty[$

Opérations sur les fonctions dérivables

Théorème · Règles de dérivation

Soient $$u$$ et $$v$$ deux fonctions dérivables et $$k$$ un réel. Alors :

Fonction	Dérivée
$$u+v$$	$$u'+v'$$
$k\,u$	$k\,u'$
$u\,v$	$$u'v+uv'$$
$\dfrac1v$ (avec $v\neq 0$ )	$-\dfrac{v'}{v^2}$
$\dfrac{u}{v}$ (avec $v\neq 0$ )	$\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
$x\mapsto g(ax+b)$	$x\mapsto a\,g'(ax+b)$

Dérivée de $$x^n$$ et fonction valeur absolue

Pour aller plus loin : l'approximation affine

Boîte à outils : réflexes pour le bac

Méthode · Tableau récapitulatif des dérivées

$$f(x)$$	$$f'(x)$$	Opération	Dérivée
$$k$$	$$0$$	$$u+v$$	$$u'+v'$$
$$x^n$$	$n x^{n-1}$	$$ku$$	$$ku'$$
$\dfrac1x$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$$uv$$	$$u'v+uv'$$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt x}$	$\dfrac{u}{v}$	$\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$

Méthode · Algorithme : pentes des sécantes

On approche $$f'(a)$$ par les pentes des sécantes entre $$a$$ et $$a+h$$ pour un pas $$h$$ de plus en plus petit.

def f(x):
    return x**2

def pentes_secantes(a, h, n):
    """Affiche n pentes de secantes en divisant h par 10 a chaque etape."""
    for k in range(n):
        pente = (f(a + h) - f(a)) / h
        print("h =", h, "  pente =", pente)
        h = h / 10

pentes_secantes(2, 1, 5)   # se rapproche de f'(2) = 4

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Taux de variation

Calculer le taux de variation de $$f(x)=x^2$$ entre $$a=1$$ et $$b=4$$ .
Calculer le taux de variation de $g(x)=\dfrac1x$ entre $$a=2$$ et $$b=3$$ .
Pour $$f(x)=x^2$$ , simplifier $\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}$ , puis en déduire $$f'(3)$$ .

Exercice 2 ★☆☆ : Dérivées usuelles

Donner la dérivée de chaque fonction.

$$f(x)=x^3$$
$g(x)=\dfrac1x$
$h(x)=\sqrt{x}$
$$k(x)=x^5$$

Exercice 3 ★☆☆ : Sommes et multiples

Dériver.

$$f(x)=4x^2-3x+7$$
$$g(x)=x^3-2x^2+x-5$$
$h(x)=\dfrac{2}{x}+3\sqrt{x}$
$k(x)=5x^4-\dfrac{1}{x}$

Exercice 4 ★☆☆ : Équation de tangente

Soit $$f(x)=x^2$$ . Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $$a=3$$ .
Soit $$g(x)=x^3$$ . Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $$a=1$$ .

Exercice 5 ★★☆ : Produits et quotients

Dériver (en précisant $$u$$ , $$v$$ ).

$$f(x)=(2x+1)(x^2+3)$$
$$g(x)=(x^2-1)(3x+2)$$
$h(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$
$k(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$

Exercice 6 ★★☆ : Forme $$g(ax+b)$$

Dériver.

$$f(x)=(3x-1)^2$$
$$g(x)=(2x+5)^3$$
$h(x)=\sqrt{4x+1}$
$k(x)=\dfrac{1}{2x-3}$

Exercice 7 ★★☆ : Lecture graphique

La courbe d'une fonction $$f$$ passe par $A(1\,;2)$ et sa tangente en $$A$$ a pour pente $$-3$$ .

Donner $$f(1)$$ et $$f'(1)$$ .
En déduire l'équation de la tangente en $$A$$ .
La tangente en un point $$B$$ d'abscisse $$4$$ est horizontale. Que vaut $$f'(4)$$ ?

Exercice 8 ★★☆ : Dérivée à partir de la définition

Soit $$f(x)=x^2+x$$ .

Écrire et simplifier le taux $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ .
En déduire $$f'(a)$$ , puis vérifier avec les règles d'opérations.

Exercice 9 ★★☆ : Nombre dérivé de l'inverse

Soit $f(x)=\dfrac{1}{x}$ .

À partir de la définition, retrouver $$f'(a)$$ pour $a\neq 0$ .
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $$a=2$$ .

Exercice 10 ★★☆ : Tangente parallèle à une droite

Soit $$f(x)=x^2-4x+1$$ .

Calculer $$f'(x)$$ .
Déterminer le point de la courbe où la tangente est horizontale.
Déterminer le point où la tangente a pour pente $$2$$ .

Exercice 11 ★★☆ : Vitesse instantanée

Un mobile a pour position (en mètres) à l'instant $$t$$ (en secondes) $$x(t)=t^2+2t$$ , pour $t\geqslant 0$ .

Calculer la vitesse moyenne entre $$t=1$$ et $$t=3$$ .
La vitesse instantanée est $$v(t)=x'(t)$$ . Calculer $$v(t)$$ , puis la vitesse à $$t=1$$ et à $$t=3$$ .

Exercice 12 ★★★ : Démonstrations de cours

Redémontrer, à partir de la définition, que la dérivée de $$f(x)=x^2$$ est $$f'(x)=2x$$ .
Redémontrer la formule de la dérivée d'un produit $$(uv)'=u'v+uv'$$ .
Justifier l'équation de la tangente $$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$ .

Exercice 13 ★★★ : Tangente passant par un point donné

Soit $$f(x)=x^2$$ et le point $P(0\,;-1)$ (qui n'est pas sur la courbe).

Écrire l'équation de la tangente $$T_a$$ au point d'abscisse $$a$$ .
Écrire que $$P$$ appartient à $$T_a$$ , et en déduire une équation en $$a$$ .
Résoudre : combien de tangentes à la parabole passent par $$P$$ ?

Exercice 14 ★★★ : Position courbe / tangente

Soit $$f(x)=x^3$$ et sa tangente $$T$$ au point d'abscisse $$a=1$$ .

Déterminer l'équation de $$T$$ .
Étudier le signe de $f(x)-(\text{ordonnée de }T)$ près de $$x=1$$ (on factorisera $$x^3-3x+2$$ sachant que $$1$$ en est racine).
Conclure sur la position de la courbe par rapport à $$T$$ autour de $$x=1$$ .

Exercice 15 ★★★ : Coût marginal

Une entreprise produit $$x$$ objets ( $0\leqslant x\leqslant 100$ ) ; le coût total est $C(x)=0{,}1x^2+5x+200$ (en euros).

Le coût marginal est $$C'(x)$$ . Calculer $$C'(x)$$ .
Interpréter $$C'(50)$$ : que représente concrètement ce nombre ?
Comparer $$C'(50)$$ au coût réel du $51^{\text{e}}$ objet, $$C(51)-C(50)$$ .

Problème : Les tangentes à la parabole ★★★

Partie A : le nombre dérivé et la tangente

À partir de la définition, montrer que pour $$f(x)=x^2$$ , le nombre dérivé en $$a$$ est $$f'(a)=2a$$ .
En déduire que la tangente $$T_a$$ à $\mathcal{P}$ au point d'abscisse $$a$$ a pour équation $y=2a\,x-a^2$ .

Partie B : tangentes issues d'un point

Soit $P(x_0\,;y_0)$ un point du plan. Montrer que $$T_a$$ passe par $$P$$ si et seulement si $$a$$ vérifie $a^2-2x_0\,a+y_0=0$ .
Calculer le discriminant de cette équation d'inconnue $$a$$ . En déduire, selon la position de $$P$$ par rapport à $\mathcal{P}$ (c'est-à-dire selon le signe de $$x_0^2-y_0$$ ), le nombre de tangentes à $\mathcal{P}$ passant par $$P$$ .
Application : combien de tangentes passent par $P(1\,;-3)$ ? Les déterminer.

Partie C : tangentes perpendiculaires

Soient $$T_a$$ et $$T_b$$ les tangentes aux points d'abscisses $$a$$ et $$b$$ ( $a\neq b$ ). Rappeler la condition de perpendicularité sur leurs pentes, et en déduire que $ab=-\dfrac14$ .
Montrer que le point d'intersection de $$T_a$$ et $$T_b$$ a pour abscisse $\dfrac{a+b}{2}$ .
En déduire que son ordonnée vaut $$ab$$ . Conclure : lorsque deux tangentes à $\mathcal{P}$ sont perpendiculaires, elles se coupent toujours sur la droite d'équation $y=-\dfrac14$ .

Partie D : approche numérique

Pour $$a=2$$ , calculer les pentes des sécantes pour $$h=1$$ , $$h=0{,}1$$ et $$h=0{,}01$$ . Vers quelle valeur tendent-elles ?
Expliquer en une phrase le lien avec $$f'(2)$$ .

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème : Les tangentes à la parabole

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

$\(f(x)\)$	$\(f'(x)\)$	Opération	Dérivée
$\(k\)$	$\(0\)$	$\(u+v\)$	$\(u'+v'\)$
$\(x^n\)$	$n x^{n-1}$	$\(ku\)$	$\(ku'\)$
$\dfrac1x$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$\(uv\)$	$\(u'v+uv'\)$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt x}$	$\dfrac{u}{v}$	$\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$