Proportions, pourcentages et évolutions · Seconde générale

Pourquoi étudier les pourcentages ?

Les pourcentages sont partout : résultats d'un sondage, remise, inflation, taux de réussite, batterie restante, budget, données médicales. Pourtant, une même écriture comme $20\,\%$ peut répondre à deux questions très différentes.

Proportion : quelle part d'un ensemble possède une propriété ?
Évolution : comment une valeur a-t-elle changé entre deux instants ?

Proportion dans une population

Population de référence et sous-population

Trois écritures pour la même proportion

Calculer la partie ou retrouver le tout

Pourcentage de pourcentage

Des ensembles emboîtés

Supposons que $A\subset B\subset E$ . On connaît la proportion de $$B$$ dans $$E$$ , puis la proportion de $$A$$ dans $$B$$ . Le tout de référence change au milieu du raisonnement.

Remonter une proportion conditionnelle

Mesurer une évolution

Valeur initiale et valeur finale

On étudie une grandeur qui passe d'une valeur initiale $$V_i$$ à une valeur finale $$V_f$$ . Trois nombres complémentaires décrivent ce changement.

Le lien fondamental entre taux et coefficient

Trouver la grandeur inconnue

Évolutions successives

Multiplier les coefficients

Répéter la même évolution

Évolution réciproque

Revenir exactement à la valeur de départ

Comparer correctement des pourcentages

Points de pourcentage et évolution relative

Indice base 100

Traduire les phrases en calculs

Phrase	Nature	Calcul
$r\,\%$ des élèves	proportion	$n=\dfrac{r}{100}N$
augmente de $r\,\%$	évolution	$V_f=\left(1+\dfrac{r}{100}\right)V_i$
diminue de $r\,\%$	évolution	$V_f=\left(1-\dfrac{r}{100}\right)V_i$
représente $r\,\%$ du total	proportion inverse	$N=\dfrac{n}{r/100}$
revient à sa valeur initiale	évolution réciproque	multiplier par $$1/k$$

Un petit programme de contrôle

def valeur_finale(valeur_initiale, taux_pourcent):
    coefficient = 1 + taux_pourcent / 100
    return valeur_initiale * coefficient

def taux_evolution(valeur_initiale, valeur_finale):
    return 100 * (valeur_finale / valeur_initiale - 1)

print(valeur_finale(240, -15))  # 204.0
print(taux_evolution(80, 92))   # 15.0

Pour aller plus loin - Accessible à tous

Réunir plusieurs groupes : proportion pondérée

Le terme caché dans deux évolutions

Taux moyen sur plusieurs périodes

Quand la partie et le total évoluent tous les deux

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices

Pour chaque exercice, rédige les étapes, nomme la valeur de référence et contrôle la cohérence du résultat. Les étoiles indiquent une progression ; elles ne ferment la porte à personne.

Exercice 1 ★☆☆ : Trois écritures d'une proportion

Complète les égalités en donnant, pour chaque nombre, une écriture fractionnaire simplifiée, une écriture décimale et un pourcentage :

0{,}42, \qquad \frac7{20}, \qquad 12{,}5\,\%, \qquad \frac58.

Exercice 2 ★☆☆ : Partie, proportion ou total

Calcule $15\,\%$ de $$840$$ .
Dans une médiathèque, $$126$$ livres représentent $15\,\%$ du fonds. Combien y a-t-il de livres au total ?
Parmi $$480$$ personnes, $$156$$ répondent oui. Calcule la proportion correspondante en pourcentage.

Exercice 3 ★☆☆ : Comparer deux groupes

Dans le groupe A, $$84$$ personnes sur $$240$$ utilisent le vélo. Dans le groupe B, elles sont $$117$$ sur $$360$$ .

Calcule les deux proportions.
Dans quel groupe l'usage du vélo est-il proportionnellement le plus fréquent ?
Donne l'écart en points de pourcentage.

Exercice 4 ★☆☆ : Un pourcentage de pourcentage

Une association compte $1\,000$ membres. $72\,\%$ sont majeurs et, parmi les majeurs, $35\,\%$ sont bénévoles.

Combien y a-t-il de membres majeurs ?
Combien sont à la fois majeurs et bénévoles ?
Quelle proportion de toute l'association représentent-ils ?

Exercice 5 ★★☆ : Retrouver la référence intermédiaire

Dans un lycée, $42\,\%$ des élèves sont demi-pensionnaires. Les élèves de seconde demi-pensionnaires représentent $16{,}8\,\%$ de tous les élèves.

Quelle proportion des demi-pensionnaires est en seconde ?
Si le lycée compte $1\,250$ élèves, donne les deux effectifs concernés.

Exercice 6 ★☆☆ : Décrire deux évolutions

Pour chaque passage, calcule la variation absolue, le taux d'évolution et le coefficient multiplicateur :

250\longrightarrow285, \qquad 360\longrightarrow306.

Exercice 7 ★☆☆ : Appliquer une hausse ou une baisse

Un abonnement de $$480$$ euros augmente de $12{,}5\,\%$ . Calcule son nouveau prix.
Une réserve de $$75$$ litres diminue de $16\,\%$ . Quelle quantité reste-t-il ?

Exercice 8 ★★☆ : Retrouver la valeur initiale

Après une baisse de $15\,\%$ , une valeur est égale à $$204$$ . Retrouve sa valeur initiale.
Après une hausse de $15\,\%$ , un salaire mensuel est égal à $$575$$ euros dans un modèle simplifié. Retrouve la valeur avant hausse.

Exercice 9 ★★☆ : Deux évolutions successives

Une quantité augmente de $8\,\%$ , puis diminue de $5\,\%$ .

Calcule le coefficient global et le taux global.
Applique ces évolutions à une valeur initiale de $1\,200$ .
Compare le taux exact à la somme $8\,\%-5\,\%$ .

Exercice 10 ★★☆ : Revenir au départ

Une grandeur augmente de $18\,\%$ .

Calcule le coefficient multiplicateur réciproque.
Déduis le taux de baisse nécessaire pour revenir exactement au départ, au centième de pourcentage près.
Vérifie avec une valeur initiale de $$500$$ .

Exercice 11 ★★☆ : Points ou pourcentage ?

Une proportion passe de $24\,\%$ à $30\,\%$ .

Calcule l'écart en points de pourcentage.
Calcule l'évolution relative de cette proportion.
Dans une population constante de $1\,500$ personnes, combien d'individus supplémentaires sont concernés ?

Exercice 12 ★★☆ : Lire des indices base 100

Le prix d'un produit vaut $$75$$ euros à la date de base, d'indice $$100$$ . Plus tard, son indice vaut $$112$$ , puis $$126$$ .

Calcule le prix correspondant à l'indice $$112$$ .
Calcule le prix correspondant à l'indice $$126$$ .
Quel est le taux d'évolution entre les indices $$112$$ et $$126$$ ?

Exercice 13 ★★★ : Mélanger sans moyenner trop vite

Une classe de $$24$$ élèves compte $75\,\%$ de lecteurs réguliers. Une autre classe de $$36$$ élèves en compte $50\,\%$ .

Calcule le nombre de lecteurs réguliers dans chaque classe.
Calcule la proportion dans la réunion des deux classes.
Explique pourquoi la moyenne simple de $75\,\%$ et $50\,\%$ ne convient pas.

Exercice 14 ★★★ : Une évolution répétée

Une population de bactéries, initialement égale à $5\,000$ , augmente de $3\,\%$ à chacune de cinq étapes.

Écris le coefficient global sous forme d'une puissance.
Calcule la population finale à l'unité près.
Calcule le taux d'évolution global au centième de pourcentage près.
Compare avec l'approximation $5\times3\,\%$ .

Exercice 15 ★★★ : Une proportion qui évolue

Une catégorie représente initialement $32\,\%$ d'une population.

L'effectif de la catégorie augmente de $20\,\%$ et l'effectif total de $8\,\%$ . Calcule la nouvelle proportion.
Le total augmente maintenant de $10\,\%$ . De quel taux la catégorie doit-elle augmenter pour représenter $40\,\%$ du nouveau total ?
Explique pourquoi on doit comparer deux coefficients multiplicateurs.

Problème : La Cantine solidaire ★★★

Partie A - Une enquête dans le lycée

Le lycée compte $1\,200$ élèves. $65\,\%$ sont demi-pensionnaires, notés $$D$$ . Les autres sont externes, notés $$X$$ . Parmi les demi-pensionnaires, $40\,\%$ choisissent régulièrement le menu végétarien. Parmi les externes, cette proportion est de $25\,\%$ .

Calcule le nombre de demi-pensionnaires.
Calcule le nombre d'externes.
Calcule le nombre de demi-pensionnaires choisissant le menu végétarien.
Calcule le nombre d'externes choisissant ce menu.
Déduis l'effectif total puis la proportion de tous les élèves choisissant régulièrement le menu végétarien.
Retrouve cette proportion avec la formule de moyenne pondérée.

Partie B - Le prix d'un repas

Le prix initial d'un repas est $P_0=4{,}80$ euros. Il augmente d'abord de $12\,\%$ , puis bénéficie d'une réduction de $5\,\%$ . Une subvention réduit ensuite le prix obtenu de $20\,\%$ .

Donne les coefficients multiplicateurs des deux premières évolutions.
Calcule le prix après la hausse de $12\,\%$ .
Calcule le prix après la réduction de $5\,\%$ .
Calcule le coefficient et le taux globaux des deux premières évolutions.
Calcule le prix final après la subvention.
Calcule le coefficient et le taux globaux entre $$P_0$$ et ce prix final.

Partie C - Ajuster une subvention

Une enveloppe initiale de $50\,000$ euros diminue de $8\,\%$ . Elle doit ensuite augmenter d'un taux $$r$$ pour atteindre $51\,520$ euros.

Calcule l'enveloppe après la diminution.
Écris une équation vérifiée par $$r$$ .
Résous cette équation et exprime $$r$$ en pourcentage.
Quel taux aurait-il fallu appliquer juste après la baisse de $8\,\%$ pour revenir à $50\,000$ euros ?

Partie D - Des indices pour suivre le prix

On attribue l'indice $$100$$ au prix initial $$P_0$$ .

Donne successivement l'indice après la hausse, après la réduction, puis après la subvention.
Calcule le taux d'évolution entre l'indice atteint après la hausse et l'indice final.
L'année suivante, le prix final augmente de $10\,\%$ . Calcule le nouvel indice et compare-le à $$100$$ .
Déduis le nouveau prix exact.

Partie E - Un plan sur trois années

Un second budget de $50\,000$ euros augmente du même taux $$r$$ pendant deux années, puis diminue de $10\,\%$ la troisième année. Il vaut alors exactement $54\,450$ euros.

Traduis la situation par une équation faisant intervenir $$(1+r)^2$$ .
Résous l'équation en sachant que $$1+r>0$$ .
Calcule le taux global exact et explique pourquoi le calcul naïf $r+r-10\,\%$ ne donne pas ce résultat.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Partie A - Une enquête dans le lycée

Partie B - Le prix d'un repas

Démonstration · Suivre la chaîne des coefficients

La hausse de $12\,\%$ a pour coefficient $$1{,}12$$ . La réduction de $5\,\%$ a pour coefficient $$0{,}95$$ .
Après la hausse,
$P_1=4{,}80\times1{,}12=\boxed{5{,}376\ \text{euros}}.$
Après la réduction,
$P_2=5{,}376\times0{,}95=\boxed{5{,}1072\ \text{euros}}.$
Pour les deux premières évolutions,
$K_2=1{,}12\times0{,}95=\boxed{1{,}064}.$
Le taux global vaut $1{,}064-1=\boxed{6{,}4\,\%}$ .
La subvention correspond au coefficient $$0{,}80$$ . Ainsi
$P_3=5{,}1072\times0{,}80=\boxed{4{,}08576\ \text{euros}}.$
Entre $$P_0$$ et $$P_3$$ , le coefficient global est
$K=1{,}12\times0{,}95\times0{,}80=\boxed{0{,}8512}.$
Le taux global vaut $$0{,}8512-1=-0{,}1488$$ : le prix final est inférieur de $\boxed{14{,}88\,\%}$ au prix initial.

Partie C - Ajuster une subvention

Partie D - Des indices pour suivre le prix

Partie E - Un plan sur trois années

Fiche-mémoire

Un pourcentage n'a de sens qu'avec sa référence.

Si tu sais nommer le tout ou la valeur initiale, le calcul devient presque toujours plus simple.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.