Arithmétique · Seconde générale

Pourquoi étudier l'arithmétique ?

Le problème fondamental

Dans la vie courante, on doit souvent savoir si une quantité peut être partagée exactement :

peut-on ranger $$84$$ objets dans des boîtes de $$6$$ sans reste ?
deux bus partent toutes les $$12$$ et $$18$$ minutes : quand repartiront-ils ensemble ?
une fraction comme $\dfrac{84}{126}$ est-elle déjà simplifiée ?
comment prouver qu'une affirmation sur tous les nombres pairs est vraie ?

Ces questions ont un point commun : elles ne demandent pas seulement de calculer. Elles demandent de comprendre la structure des entiers.

Calculer n'est pas encore démontrer

Tester $$8+12=20$$ , $$16+28=44$$ et $$100+26=126$$ suggère que la somme de deux nombres pairs est paire. Mais trois exemples, même corrects, ne prouvent pas une affirmation concernant une infinité de nombres.

Pour démontrer, on remplace les exemples par la forme générale d'un nombre pair : $$2k$$ . Cette simple lettre $$k$$ permet de représenter tous les cas en une seule fois.

L'idée avant la formule

Les multiples : avancer par bonds réguliers

Les multiples de $$5$$ sont obtenus en avançant de $$5$$ en $$5$$ :

\ldots,-15,-10,-5,0,5,10,15,20,\ldots

Dire que $$35$$ est un multiple de $$5$$ , c'est dire qu'il existe un entier, ici $$7$$ , tel que $35=5\times7$ . Le mot important est « existe » : il faut pouvoir exhiber le facteur entier.

Les diviseurs : partager sans reste

Le nombre $$6$$ divise $$42$$ car $42=6\times7$ . Si on distribue $$42$$ objets par groupes de $$6$$ , on forme exactement $$7$$ groupes. En revanche, $$8$$ ne divise pas $$42$$ : $$42/8$$ n'est pas un entier.

Pair et impair : deux formes, pas deux listes

On pourrait apprendre la liste $0,2,4,6,\ldots$ , mais une preuve a besoin d'une forme :

\boxed{\text{pair}=2k}\qquad\boxed{\text{impair}=2k+1},\qquad k\text{ entier.}

Le nombre $$-14$$ est pair car $-14=2\times(-7)$ . Le nombre $$-9$$ est impair car $-9=2\times(-5)+1$ .

Le cours complet

Entiers naturels et entiers relatifs

Multiples et diviseurs

Trouver les diviseurs positifs d'un entier

Propriétés des multiples

Nombres pairs et nombres impairs

Propriété · Règles de parité

Opération	Parités	Résultat
Somme	pair + pair	pair
Somme	impair + impair	pair
Somme	pair + impair	impair
Produit	au moins un facteur pair	pair
Produit	impair $\times$ impair	impair

Nombres premiers et fractions irréductibles

Les premiers nombres premiers sont

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,\ldots

Raisonner avec implication, réciproque et contre-exemple

Deux algorithmes du programme

Méthode · Tester si $a$ est un multiple de $b$

En Python, le reste de la division entière de a par b s'obtient avec a % b.

def est_multiple(a, b):
    return a

La fonction renvoie True lorsque le reste est nul, et False sinon. On suppose ici $b\neq0$ .

Méthode · Plus grand multiple de $a$ inférieur ou égal à $b$

Voici une version par retraits successifs, volontairement simple :

def plus_grand_multiple(a, b):
    n = b
    while n 
        n = n - 1
    return n

La boucle s'arrête au premier entier rencontré qui est multiple de $$a$$ .

Boîte à outils : les réflexes

Méthode · Reconnaître le bon point de départ

Dans l'énoncé, tu lis…	Premier réflexe
« montrer que $$A$$ est multiple de $$m$$ »	Transformer $$A$$ pour faire apparaître $m\times(\text{entier})$ .
« montrer qu'un nombre est pair »	Chercher une écriture $$2k$$ .
« montrer qu'un nombre est impair »	Chercher une écriture $$2k+1$$ .
« pour tout entier $$n$$ »	Garder $$n$$ sous forme littérale : des exemples ne suffisent pas.
« l'affirmation est-elle vraie ? »	Essayer de démontrer ; si cela bloque, chercher un contre-exemple simple.
« rendre une fraction irréductible »	Chercher les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Le vocabulaire sans piège

Pour chaque affirmation, indique si elle est vraie ou fausse et justifie par une égalité ou un calcul.

$$56$$ est un multiple de $$7$$ .
$$9$$ divise $$63$$ .
$$6$$ est un multiple de $$42$$ .
$$15$$ divise $$100$$ .
$$0$$ est un multiple de $$13$$ .
$$1$$ divise $$2026$$ .

Exercice 2 ★☆☆ : Lister sans oublier

Donne tous les diviseurs positifs de $$24$$ .
Donne tous les diviseurs positifs de $$45$$ .
Donne les cinq premiers multiples positifs communs à $$4$$ et $$6$$ .
Quel est le plus petit multiple strictement positif commun à $$8$$ et $$12$$ ?

Exercice 3 ★☆☆ : Pair ou impair ?

Dans chaque cas, $$n$$ est un entier. Détermine la parité de l'expression et justifie.

\begin{aligned}&\textbf{a) }2n+6\\&\textbf{b) }4n+1\\&\textbf{c) }n(n+1)\\&\textbf{d) }(2n+1)^2+1.\end{aligned}

Exercice 4 ★☆☆ : Fractions irréductibles

Rends chaque fraction irréductible en détaillant les simplifications :

\begin{aligned}&\textbf{a) }\frac{42}{56}\\&\textbf{b) }\frac{150}{210}\\&\textbf{c) }\frac{252}{198}\\&\textbf{d) }\frac{-132}{180}.\end{aligned}

Exercice 5 ★☆☆ : Des paquets de jus

Une association dispose de $$168$$ jus d'orange et de $$126$$ jus de pomme. Elle veut fabriquer des lots tous identiques, sans boisson restante.

Peut-elle fabriquer $$6$$ lots ? $$9$$ lots ? $$14$$ lots ?
Parmi ces trois choix, donne le contenu d'un lot chaque fois que c'est possible.
Explique pourquoi tout nombre de lots possible doit diviser à la fois $$168$$ et $$126$$ .

Exercice 6 ★★☆ : Démonstrations guidées

Soit $$a$$ un entier fixé.

Soient $$x=ak$$ et $y=a\ell$ , avec $$k$$ et $\ell$ entiers. Montre que $$3x-2y$$ est un multiple de $$a$$ .
Montre que la différence de deux multiples de $$a$$ est un multiple de $$a$$ .
Explique pourquoi la somme d'un multiple de $$a$$ et d'un nombre qui n'est pas multiple de $$a$$ ne peut pas être un multiple de $$a$$ .

Exercice 7 ★★☆ : Lire un programme Python

On considère la fonction suivante.

def mystere(a, b):
    n = b
    while n 
        n = n - 1
    return n

Fais fonctionner le programme à la main avec $$a=7$$ et $$b=25$$ .
Quelle valeur est renvoyée par mystere(6, 50) ?
Décris en une phrase ce que calcule cette fonction.
Pourquoi suppose-t-on que $$a$$ est strictement positif ?

Exercice 8 ★★☆ : Trois feux qui clignotent

Trois feux s'allument à $$12$$ h exactement. Le premier s'allume ensuite toutes les $$6$$ secondes, le deuxième toutes les $$8$$ secondes et le troisième toutes les $$12$$ secondes.

Liste les instants d'allumage de chaque feu pendant les $$30$$ premières secondes.
Au bout de combien de secondes les trois feux s'allument-ils de nouveau ensemble pour la première fois ?
Combien de fois, en comptant l'instant initial, s'allument-ils ensemble pendant les deux premières minutes ?

Exercice 9 ★★☆ : Implication et réciproque

Pour chaque phrase : formule sa réciproque, puis indique si la phrase initiale et sa réciproque sont vraies. Justifie ou donne un contre-exemple.

Si un entier est multiple de $$10$$ , alors il est multiple de $$5$$ .
Si un entier est divisible par $$4$$ , alors il est pair.
Si le carré d'un entier est impair, alors cet entier est impair.

Exercice 10 ★★☆ : Le critère de divisibilité par $$3$$

Un nombre à trois chiffres s'écrit $$N=100a+10b+c$$ , où $$a$$ , $$b$$ et $$c$$ sont ses chiffres.

Montre que $$N-(a+b+c)=99a+9b$$ .
Pourquoi $$N-(a+b+c)$$ est-il un multiple de $$3$$ ?
Déduis que $$N$$ est multiple de $$3$$ exactement lorsque la somme $$a+b+c$$ l'est.
Utilise ce résultat pour tester $$741$$ , $1\,256$ et $98\,763$ .

Exercice 11 ★★☆ : Des rectangles entiers

On veut construire un rectangle d'aire $72\text{ cm}^2$ dont les longueurs des côtés sont des nombres entiers de centimètres.

Donne toutes les paires de dimensions possibles, sans compter deux fois un rectangle tourné.
Quel rectangle a le plus petit périmètre ?
Explique le lien entre cette question et les diviseurs de $$72$$ .

Exercice 12 ★★★ : Une fraction toujours irréductible

Soit $$n$$ un entier naturel non nul.

Suppose qu'un entier positif $$d$$ divise à la fois $$n$$ et $$n+1$$ . Montre que $$d$$ divise leur différence.
Calcule $$(n+1)-n$$ .
Déduis que la fraction $\dfrac{n}{n+1}$ est toujours irréductible.

Exercice 13 ★★★ : Trois entiers consécutifs

Soit $$n$$ un entier.

Explique pourquoi l'un des trois entiers $$n$$ , $$n+1$$ , $$n+2$$ est multiple de $$3$$ .
Explique pourquoi au moins l'un d'eux est pair.
Déduis que $$n(n+1)(n+2)$$ est toujours un multiple de $$6$$ .
Vérifie le résultat pour $$n=7$$ , puis explique pourquoi cette vérification ne remplace pas la preuve.

Exercice 14 ★★★ : Divisibilité cachée

Soit $$n$$ un entier.

Développe $$(n+1)^2-(n-1)^2$$ .
Déduis que la différence est toujours multiple de $$4$$ .
Montre que $$n^2+n$$ est toujours pair.
Montre alors que $$n^2+n+2$$ est toujours pair, mais pas toujours multiple de $$4$$ .

Exercice 15 ★★★ : Une affirmation trompeuse

On affirme : « si un entier $$n^2$$ est multiple de $$4$$ , alors $$n$$ est multiple de $$4$$ . »

Cherche plusieurs exemples et décide si cette affirmation semble vraie.
Donne un contre-exemple qui tranche la question.
Remplace la conclusion par une conclusion correcte, puis démontre-la en raisonnant sur la parité de $$n$$ .

Problème : Les entiers cachés entre deux carrés ★★★

On cherche à savoir quels entiers naturels peuvent s'écrire comme la différence de deux carrés d'entiers naturels :

N=a^2-b^2\qquad\text{avec }a>b.

Ce problème est difficile. Avance question par question : chaque résultat prépare le suivant.

Partie A – Observer et construire

Calcule $$2^2-1^2$$ , $$3^2-2^2$$ , $$4^2-3^2$$ et $$5^2-4^2$$ . Que remarques-tu ?
Développe $$(k+1)^2-k^2$$ .
Déduis que tout entier naturel impair peut s'écrire comme différence de deux carrés consécutifs.
Calcule $$(k+1)^2-(k-1)^2$$ pour $k\geq1$ . Quelle famille d'entiers obtiens-tu ?

Partie B – Comprendre l'obstacle

Factorise $$a^2-b^2$$ .
Montre que $$a-b$$ et $$a+b$$ ont toujours la même parité.
Si $$a-b$$ et $$a+b$$ sont impairs, quelle est la parité de leur produit ?
S'ils sont pairs, montre que leur produit est multiple de $$4$$ .
Déduis qu'une différence de deux carrés ne peut jamais être un nombre pair qui n'est pas multiple de $$4$$ .

Partie C – La caractérisation complète

Recopie et complète : « Un entier naturel strictement positif est une différence de deux carrés si et seulement s'il est … ou … »
Justifie les deux sens de cette affirmation en citant les résultats précédents.
Parmi $$2025$$ , $$2026$$ et $$2028$$ , lesquels peuvent s'écrire comme différence de deux carrés ? Donne une écriture pour chacun de ceux qui conviennent.
Trouve deux écritures différentes de $$45$$ comme différence de deux carrés.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Démonstration · Des paquets de jus

Pour fabriquer $$p$$ lots identiques sans reste, $$p$$ doit diviser les deux quantités.

Pour $$6$$ lots :
$168=6\times28\qquad\text{et}\qquad126=6\times21.$
C'est donc possible.

Pour $$9$$ lots, $126=9\times14$ , mais $$168$$ n'est pas un multiple de $$9$$ : $168=9\times18+6$ . Ce n'est pas possible.

Pour $$14$$ lots :
$168=14\times12\qquad\text{et}\qquad126=14\times9.$
C'est possible.
Avec $$6$$ lots, chaque lot contient $$28$$ jus d'orange et $$21$$ jus de pomme.

Avec $$14$$ lots, chaque lot contient $$12$$ jus d'orange et $$9$$ jus de pomme.
Si $$p$$ lots identiques utilisent tous les jus, le nombre de jus d'orange par lot et le nombre de jus de pomme par lot sont des entiers. Il existe donc des entiers $$u$$ et $$v$$ tels que $$168=pu$$ et $$126=pv$$ . Par définition, $$p$$ divise les deux quantités.

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Démonstration · Implication et réciproque

L'affirmation initiale est vraie. Si $$n=10k$$ , alors $$n=5(2k)$$ ; donc $$n$$ est multiple de $$5$$ .

Sa réciproque est : « si un entier est multiple de $$5$$ , alors il est multiple de $$10$$ . » Elle est fausse : $$15$$ est multiple de $$5$$ , mais pas de $$10$$ .
L'affirmation initiale est vraie. Si $$n=4k$$ , alors $$n=2(2k)$$ , donc $$n$$ est pair.

Sa réciproque est : « si un entier est pair, alors il est divisible par $$4$$ . » Elle est fausse : $$6$$ est pair mais n'est pas divisible par $$4$$ .
L'affirmation initiale est vraie. En effet, si $$n$$ était pair, on aurait $$n=2k$$ et $$n^2=4k^2=2(2k^2)$$ , donc $$n^2$$ serait pair. Puisque $$n^2$$ est impair, $$n$$ ne peut pas être pair : il est impair.

Sa réciproque est : « si un entier est impair, alors son carré est impair. » Elle est vraie : c'est la démonstration du cours.

Corrigé 10

Démonstration · Critère de divisibilité par $3$

On soustrait la somme des chiffres :
$\begin{aligned}N-(a+b+c)&=(100a+10b+c)-(a+b+c)\\ &=99a+9b.\end{aligned}$
On factorise par $$3$$ :
$\[99a+9b=3(33a+3b).\]$
Comme $$33a+3b$$ est entier, cette différence est un multiple de $$3$$ .
On sait que $$N-(a+b+c)$$ est un multiple de $$3$$ .

Si $$a+b+c$$ est multiple de $$3$$ , alors la somme
$N=\bigl[N-(a+b+c)\bigr]+(a+b+c)$
est une somme de deux multiples de $$3$$ : $$N$$ est multiple de $$3$$ .

Réciproquement, si $$N$$ est multiple de $$3$$ , alors
$a+b+c=N-\bigl[N-(a+b+c)\bigr]$
est une différence de deux multiples de $$3$$ : $$a+b+c$$ est multiple de $$3$$ .
$$741$$ : $$7+4+1=12$$ , donc $\boxed{741\text{ est multiple de }3}$ .

$1\,256$ : $$1+2+5+6=14$$ , donc $\boxed{1\,256\text{ n'est pas multiple de }3}$ .

$98\,763$ : $$9+8+7+6+3=33$$ , donc $\boxed{98\,763\text{ est multiple de }3}$ .

Le raisonnement précédent a été écrit pour trois chiffres, mais la même idée s'étend à un nombre ayant davantage de chiffres.

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Démonstration · Trois entiers consécutifs

Quand on range les entiers par groupes de trois, un entier est soit un multiple de $$3$$ , soit une unité après un multiple de $$3$$ , soit deux unités après. Dans les trois cas, parmi $$n,n+1,n+2$$ , l'un est multiple de $$3$$ .

On peut l'écrire plus précisément :
- si $$n=3q$$ , alors $$n$$ est multiple de $$3$$ ;
- si $$n=3q+1$$ , alors $$n+2=3(q+1)$$ ;
- si $$n=3q+2$$ , alors $$n+1=3(q+1)$$ .
Parmi deux entiers consécutifs, l'un est pair. En particulier, parmi trois entiers consécutifs, il y en a au moins un pair.
Le produit $$n(n+1)(n+2)$$ contient donc un facteur multiple de $$3$$ et un facteur multiple de $$2$$ . Il contient ainsi les facteurs $$2$$ et $$3$$ , donc le facteur $6=2\times3$ . Par conséquent,
$\boxed{n(n+1)(n+2)\text{ est toujours multiple de }6.}$
Pour $$n=7$$ :
$7\times8\times9=504=6\times84.$
Cela confirme le résultat pour un cas, mais ne dit rien à lui seul sur les autres valeurs possibles de $$n$$ . La preuve des questions précédentes couvre tous les entiers.

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème : Les entiers cachés entre deux carrés

Démonstration · Partie B – Comprendre l'obstacle

On reconnaît l'identité remarquable :
$a^2-b^2=\boxed{(a-b)(a+b)}.$
Les nombres $$a-b$$ et $$a+b$$ diffèrent de $$2b$$ :
$\[(a+b)-(a-b)=2b,\]$
qui est pair. Deux entiers dont la différence est paire ont la même parité. Ainsi, $$a-b$$ et $$a+b$$ sont soit tous les deux pairs, soit tous les deux impairs.

On peut aussi raisonner sur $$a$$ et $$b$$ : s'ils ont la même parité, somme et différence sont paires ; s'ils ont des parités différentes, somme et différence sont impaires.
Si $$a-b$$ et $$a+b$$ sont impairs, leur produit $$(a-b)(a+b)$$ est impair. Donc $$a^2-b^2$$ est impair.
S'ils sont pairs, il existe des entiers $$u$$ et $$v$$ tels que
$a-b=2u\qquad\text{et}\qquad a+b=2v.$
Alors
$\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)=(2u)(2v)=4uv.\]$
La différence des carrés est donc multiple de $$4$$ .
Les deux seuls cas possibles sont donc :
- la différence est impaire ;
- la différence est multiple de $$4$$ .
Un entier pair qui n'est pas multiple de $$4$$ n'appartient à aucune de ces deux familles. Il ne peut donc pas être une différence de deux carrés.

Démonstration · Partie C – La caractérisation complète

On a obtenu la caractérisation suivante :
$\boxed{\begin{aligned}&\text{Un entier naturel strictement positif}\\&\text{est une différence de deux carrés}\end{aligned}}$ $\boxed{\text{si et seulement s'il est impair ou multiple de }4.}$
Il faut bien justifier les deux sens.

Premier sens. Si un entier est une différence de deux carrés, la partie B montre qu'il est soit impair, soit multiple de $$4$$ .

Sens réciproque. S'il est impair, la partie A donne la construction
$\[2k+1=(k+1)^2-k^2.\]$
S'il est multiple de $$4$$ , la partie A donne la construction
$\[4k=(k+1)^2-(k-1)^2.\]$
Les deux sens sont donc prouvés.
$$2025$$ est impair. Avec $2025=2\times1012+1$ ,
$\boxed{2025=1013^2-1012^2}.$
$$2026$$ est pair mais n'est pas multiple de $$4$$ : $2026=4\times506+2$ . Il est donc impossible de l'écrire comme différence de deux carrés d'entiers.

$$2028$$ est multiple de $$4$$ : $2028=4\times507$ . On utilise la seconde construction :
$\boxed{2028=508^2-506^2}.$
La construction avec deux carrés consécutifs donne
$\[45=23^2-22^2.\]$
Pour en trouver une autre, on utilise $45=5\times9$ et on cherche $$a-b=5$$ , $$a+b=9$$ . En additionnant, $$2a=14$$ , donc $$a=7$$ , puis $$b=2$$ . Ainsi
$\boxed{45=23^2-22^2=7^2-2^2}.$

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.