La géométrie « pure » (figures, règle et compas) est belle mais parfois difficile : il faut de l'astuce pour chaque problème. L'idée géniale de Descartes a été de poser un repère : chaque point devient un couple de coordonnées, chaque droite une équation, chaque cercle une équation aussi. La géométrie se transforme alors en calcul : on « résout » une figure comme on résout une équation.
Vecteur normal. Pour repérer l'inclinaison d'une droite, on utilise un vecteur qui lui est perpendiculaire (le vecteur normal). Grâce au produit scalaire (fiche précédente), « être sur la droite » devient une simple condition d'orthogonalité.
Cercles. Un cercle est l'ensemble des points à distance fixe d'un centre : sa définition est déjà une équation.
Paraboles. On relie l'étude du second degré (fiche 2) à la géométrie : la courbe de \(y=ax^2+bx+c\) est une parabole dont on lit l'axe et le sommet.
L'idée directrice
L'idée avant la formule
Un vecteur perpendiculaire pour décrire une droite
Un cercle, c'est une distance constante
La parabole, vieille connaissance
Le cours complet
Dans toute la fiche, le plan est muni d'un repère orthonormé\((O\,;\vec\imath,\vec\jmath)\).
Rappels : équation d'une droite et vecteur directeur
Vecteur normal à une droite
Équation d'une droite par un point et un vecteur normal
Projeté orthogonal d'un point sur une droite
Équation d'un cercle
Intersection d'un cercle et d'une droite
La parabole \(y=ax^2+bx+c\)
Pour aller plus loin : la parabole comme lieu
Boîte à outils : réflexes pour le bac
Exercices
Exercice 1 ★☆☆ : Normal et directeur
Pour chaque droite, donner un vecteur normal et un vecteur directeur.
\(3x-2y+5=0\)
\(x+4y-1=0\)
\(y=2x+3\)(mettre sous forme \(ax+by+c=0\))
\(x=7\)
Exercice 2 ★☆☆ : Équation par point et normal
Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec n\).
Déterminer la parallèle à \(d\) passant par \(A(1\,;1)\).
Déterminer la perpendiculaire à \(d\) passant par l'origine.
Exercice 4 ★☆☆ : Équation de cercle
Déterminer l'équation du cercle de centre \(\Omega\) et de rayon \(R\).
\(\Omega(-1\,;3)\), \(R=\sqrt5\).
\(\Omega(0\,;2)\), \(R=4\).
Exercice 5 ★☆☆ : Reconnaître un cercle
Pour chaque équation, dire si c'est un cercle et, si oui, donner centre et rayon.
\(x^2+y^2+2x-6y+6=0\).
\(x^2+y^2-4x+2y+9=0\).
Exercice 6 ★★☆ : Projeté orthogonal
Déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(A(5\,;2)\) sur la droite \(d:\ x-y-1=0\).
Exercice 7 ★★☆ : Distance
Calculer la distance de \(A(5\,;2)\) à la droite \(d:\ x-y-1=0\). Comparer avec \(AH\) de l'exercice précédent.
Exercice 8 ★★☆ : Position droite / cercle
Soit le cercle \(\mathcal C:\ x^2+y^2=9\) et la droite \(d:\ y=x+5\).
Donner le centre et le rayon de \(\mathcal C\).
En comparant la distance du centre à \(d\) au rayon, préciser la position de \(d\) par rapport à \(\mathcal C\).
Exercice 9 ★★☆ : Intersection droite / cercle
Déterminer les points d'intersection du cercle \(x^2+y^2=5\) et de la droite \(y=2x\).
Exercice 10 ★★☆ : Cercle de diamètre
On donne \(A(1\,;2)\) et \(B(5\,;6)\).
Déterminer le centre et le rayon du cercle de diamètre \([AB]\).
Donner son équation.
Exercice 11 ★★☆ : Parabole
Soit la parabole \(\mathcal P:\ y=-x^2+4x-1\).
Déterminer l'axe de symétrie et le sommet.
Déterminer les points d'intersection de \(\mathcal P\) avec la droite \(y=2\).
Exercice 12 ★★★ : Démonstrations de cours
Démontrer que \(\vec n(a,b)\) est un vecteur normal à la droite \(ax+by+c=0\).
Démontrer que l'équation du cercle de centre \(\Omega(a,b)\) et de rayon \(R\) est \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\).
Exercice 13 ★★★ : Hauteur d'un triangle
On donne \(A(0\,;0)\), \(B(4\,;2)\), \(C(1\,;3)\).
Déterminer une équation de la droite \((BC)\).
Déterminer une équation de la hauteur issue de \(A\) (perpendiculaire à \((BC)\) passant par \(A\)).
Déterminer le pied \(H\) de cette hauteur (projeté de \(A\) sur \((BC)\)).
Exercice 14 ★★★ : Médiatrice
On donne \(A(0\,;0)\) et \(B(4\,;2)\). Déterminer une équation de la médiatrice de \([AB]\) (droite passant par le milieu et de vecteur normal \(\vec{AB}\)).
Exercice 15 ★★★ : Cercle passant par trois points
Déterminer l'équation du cercle passant par \(A(0\,;0)\), \(B(4\,;0)\) et \(C(0\,;2)\). (On cherchera une équation \(x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0\).) En déduire son centre et son rayon.
Exercice 16 ★★★ : Un lieu géométrique
Déterminer l'ensemble des points \(M(x\,;y)\) équidistants du point \(F(0\,;1)\) et de la droite \(y=-1\). Reconnaître cet ensemble.
Problème : Un triangle inscrit dans un cercle ★★★
Partie A : le cercle
En complétant les carrés, déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) de \(\mathcal C\).
Vérifier que \(A\), \(B\) et \(C\) appartiennent à \(\mathcal C\).
Partie B : un diamètre et un angle droit
Montrer que \([AC]\) est un diamètre de \(\mathcal C\) (calculer le milieu de \([AC]\) et la longueur \(AC\)).
En déduire, sans calcul supplémentaire, que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\). Vérifier par \(\vec{BA}\cdot\vec{BC}\).
Partie C : une tangente
La tangente à \(\mathcal C\) en \(C\) est perpendiculaire à \(\vec{\Omega C}\). Calculer \(\vec{\Omega C}\), puis déterminer une équation de cette tangente.
Partie D : une corde
Déterminer une équation de la droite \((AB)\).
Calculer la distance de \(\Omega\) à la droite \((AB)\), et vérifier qu'elle est inférieure à \(R\) (donc \((AB)\) est bien une corde du cercle).
Corrigés détaillés
Corrigé 1
Corrigé 2
Corrigé 3
Corrigé 4
Corrigé 5
Corrigé 6
Corrigé 7
Corrigé 8
Corrigé 9
Corrigé 10
Corrigé 11
Corrigé 12
Corrigé 13
Corrigé 14
Corrigé 15
Corrigé 16
Corrigé du problème : Un triangle inscrit dans un cercle
Fiche-mémoire
Maîtrise du chapitre
Validation contrôlée
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