Le second degré · Première spécialité

Pourquoi étudier le second degré ?

Le problème fondamental

Dès qu'une grandeur dépend du carré d'une autre, le second degré apparaît. Quelle hauteur atteint un ballon lancé en l'air ? Quelles dimensions donnent l'aire maximale à un enclos de périmètre fixé ? À quel prix le bénéfice d'une entreprise est-il maximal ? Toutes ces questions se ramènent à étudier une fonction polynôme du second degré $$f(x)=ax^2+bx+c$$ , dont la courbe est une parabole.

Trajectoires. En l'absence de frottements, un objet lancé décrit une parabole : sa hauteur $$h(t)$$ est une fonction du second degré du temps. Le sommet de la parabole donne la hauteur maximale.

Optimisation. Le bénéfice d'une entreprise, l'aire d'un rectangle de périmètre donné, la portée d'un tir : autant de quantités qui, exprimées en fonction d'une variable, deviennent des trinômes. Leur sommet fournit l'optimum.

Physique et géométrie. La forme parabolique concentre les ondes en un foyer (antennes satellites, phares). Beaucoup de problèmes géométriques (aire, distance) se ramènent à une équation $$ax^2+bx+c=0$$ .

L'idée directrice

L'idée avant la formule

La parabole, une forme universelle

Compléter le carré : l'idée géniale

Le discriminant : un détecteur de racines

Le cours complet

Définition et forme développée

Les trois formes d'un trinôme

Méthode · Quelle forme pour quel problème ?

On me demande…	J'utilise la forme…
les coefficients, le discriminant	développée $$ax^2+bx+c$$
le sommet, le minimum/maximum, les variations	canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$
les racines, le signe, résoudre $f(x)\geqslant 0$	factorisée $$a(x-x_1)(x-x_2)$$

La forme canonique et la complétion du carré

La parabole : sommet, axe et variations

Le discriminant et la résolution de l'équation

Factorisation d'un trinôme

Somme et produit des racines

Signe d'un trinôme

$$x$$	$-\infty$		$$x_1$$		$$x_2$$ $+\infty$
signe de $$f$$ ( $$a>0$$ )		$$+$$	$$0$$	$$-$$ $$0$$	$$+$$

Stratégies de factorisation

Pour aller plus loin : trinômes à paramètre

Boîte à outils : réflexes pour le bac

Méthode · Mots-clés à repérer

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« résoudre $$ax^2+bx+c=0$$ »	discriminant $\Delta$
« hauteur/aire/bénéfice maximal »	sommet de la parabole ( $\alpha=-\frac{b}{2a}$ )
« étudier le signe de »	racines + tableau de signes
« résoudre l'inéquation $f(x)\geqslant 0$ »	signe du trinôme
« montrer que $$f(x)>0$$ pour tout $$x$$ »	$\Delta<0$ et $$a>0$$
« deux nombres de somme… et produit… »	racines de $$x^2-Sx+P=0$$
« pour quelles valeurs de $$m$$ … deux solutions »	signe de $\Delta(m)$
« intersection de la parabole et de la droite »	résoudre $$f(x)=g(x)$$

Méthode · Récapitulatif des formules

Objet	Formule
Discriminant	$\Delta=b^2-4ac$
Racines ( $\Delta>0$ )	$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$
Racine double ( $\Delta=0$ )	$x_0=-\dfrac{b}{2a}$
Forme canonique	$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , $\alpha=-\frac{b}{2a}$ , $\beta=-\frac{\Delta}{4a}$
Sommet	$S\big(-\frac{b}{2a}\,;\,-\frac{\Delta}{4a}\big)$
Somme / produit	$S=-\frac{b}{a}$ , $P=\frac{c}{a}$
Factorisation	$$a(x-x_1)(x-x_2)$$ ou $$a(x-x_0)^2$$
Signe	signe de $$a$$ sauf entre les racines

Méthode · Algorithme : résoudre une équation du second degré

from math import sqrt

def resoudre(a, b, c):
    delta = b**2 - 4*a*c
    if delta > 0:
        x1 = (-b - sqrt(delta)) / (2*a)
        x2 = (-b + sqrt(delta)) / (2*a)
        return (x1, x2)          # deux racines
    elif delta == 0:
        return (-b / (2*a),)     # une racine double
    else:
        return ()                # aucune racine reelle

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Identifier et calculer le discriminant

Pour chaque trinôme, donner $$a$$ , $$b$$ , $$c$$ et calculer $\Delta$ .

$$f(x)=x^2-7x+10$$
$$g(x)=2x^2+3x-2$$
$$h(x)=-x^2+4x-4$$
$$k(x)=3x^2+x+1$$

Exercice 2 ★☆☆ : Résoudre des équations

Résoudre dans $\R$ .

$$x^2-7x+10=0$$
$$x^2-6x+9=0$$
$$2x^2+3x-2=0$$
$$x^2+2x+5=0$$

Exercice 3 ★☆☆ : Forme canonique et sommet

Mettre sous forme canonique et donner les coordonnées du sommet.

$$f(x)=x^2-4x+1$$
$$g(x)=-2x^2+8x-3$$
$$h(x)=3x^2+6x$$

Exercice 4 ★☆☆ : Factoriser

Factoriser quand c'est possible (en précisant la stratégie utilisée).

$$x^2-9$$
$$x^2-5x+6$$
$$2x^2-8x+8$$
$$x^2+x+1$$

Exercice 5 ★☆☆ : Signe et inéquations

Étudier le signe, puis résoudre l'inéquation proposée.

$$f(x)=x^2-x-6$$ ; résoudre $f(x)\leqslant 0$ .
$$g(x)=-x^2+2x+8$$ ; résoudre $$g(x)>0$$ .

Exercice 6 ★★☆ : Somme et produit

Sans calculer $\Delta$ , vérifier que $$x_1=2$$ est racine de $$x^2-9x+14$$ , puis trouver l'autre racine à l'aide du produit.
Déterminer deux nombres dont la somme vaut $$7$$ et le produit $$12$$ .
Un trinôme $$x^2+bx+c$$ a pour racines $$-3$$ et $$5$$ . Donner $$b$$ et $$c$$ .

Exercice 7 ★★☆ : Optimisation par le sommet

Une entreprise vend $$x$$ objets ( $0\leqslant x\leqslant 60$ ). Son bénéfice (en euros) est $$B(x)=-x^2+50x-300$$ .

Pour combien d'objets vendus le bénéfice est-il maximal ? Quel est ce bénéfice maximal ?
Pour quelles quantités l'entreprise est-elle bénéficiaire (bénéfice $\geqslant 0$ ) ?

Exercice 8 ★★☆ : Inéquations et tableau de signes

Résoudre dans $\R$ .

$(x^2-4)(x^2-x-2)\geqslant 0$ .
$\dfrac{x^2-5x+6}{x-1}\leqslant 0$ (on précisera l'ensemble de définition).

Exercice 9 ★★☆ : L'enclos d'aire maximale

On dispose de $$40$$ m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire. On note $$x$$ la largeur (en m).

Exprimer la longueur en fonction de $$x$$ , puis l'aire $$A(x)$$ .
Pour quelle largeur $$x$$ l'aire est-elle maximale ? Quelle est cette aire ?
Quelle forme particulière a alors l'enclos ?

Exercice 10 ★★☆ : Intersection d'une parabole et d'une droite

Soit $\mathcal{P}$ la parabole $$y=x^2-2x+3$$ et $\mathcal{D}$ la droite $$y=2x-1$$ .

Déterminer les points d'intersection de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$ .
Interpréter le résultat avec le discriminant (combien de points ?).

Exercice 11 ★★☆ : Un paramètre dans l'équation

Soit l'équation $$x^2-4x+m=0$$ , où $$m$$ est un réel.

Calculer $\Delta$ en fonction de $$m$$ .
Pour quelles valeurs de $$m$$ l'équation a-t-elle deux solutions distinctes ? une seule ? aucune ?

Exercice 12 ★★★ : Démonstrations de cours

Redémontrer, à partir de la forme canonique, la formule des racines dans le cas $\Delta>0$ .
Redémontrer les formules $S=-\frac{b}{a}$ et $P=\frac{c}{a}$ à partir de la forme factorisée.

Exercice 13 ★★★ : Somme et produit imposés

Déterminer deux réels de somme $$S=1$$ et de produit $$P=-6$$ .
Existe-t-il deux réels de somme $$2$$ et de produit $$5$$ ? Justifier à l'aide d'un discriminant.
Un rectangle a un périmètre de $$26$$ cm et une aire de $$40$$ cm $$^2$$ . Déterminer ses dimensions.

Exercice 14 ★★★ : Étude complète d'un trinôme

Soit $$f(x)=2x^2-8x+6$$ .

Donner la forme canonique et le sommet.
Déterminer les racines et la forme factorisée.
Dresser le tableau de variations et le tableau de signes.
Tracer l'allure de la courbe (sommet, racines, ordonnée à l'origine).

Exercice 15 ★★★ : Trajectoire d'un ballon

Un ballon est lancé ; sa hauteur (en mètres) en fonction de la distance horizontale $$x$$ (en mètres) est $h(x)=-0{,}05x^2+x+1{,}8$ .

De quelle hauteur le ballon part-il ( $$x=0$$ ) ?
À quelle distance la hauteur est-elle maximale ? Quelle est cette hauteur maximale ?
À quelle distance le ballon retombe-t-il au sol ( $$h(x)=0$$ ) ? (on donnera une valeur approchée).

Problème : Une famille de paraboles ★★★

Partie A : forme canonique, sommet et lieu des sommets

Mettre $$f_m(x)$$ sous forme canonique. En déduire les coordonnées du sommet $$S_m$$ en fonction de $$m$$ .
On note $S_m(X\,;Y)$ . Exprimer $$X$$ et $$Y$$ en fonction de $$m$$ , puis montrer que, lorsque $$m$$ varie, le sommet $$S_m$$ décrit la parabole d'équation $$Y=-X^2+X+2$$ .

Partie B : discriminant et signe

Calculer le discriminant $\Delta(m)$ de $$f_m$$ et le factoriser.
En déduire, selon les valeurs de $$m$$ , le nombre de points d'intersection de $\mathcal{P}_m$ avec l'axe des abscisses.
Montrer que, pour $$-1<m<2$$ , on a $$f_m(x)>0$$ pour tout réel $$x$$ .

Partie C : un point fixe

Écrire $$f_m(x)$$ sous la forme $A(x)+m\,B(x)$ , où $$A(x)$$ et $$B(x)$$ ne dépendent pas de $$m$$ .
En déduire qu'il existe un point par lequel toutes les paraboles $\mathcal{P}_m$ passent, quel que soit $$m$$ . Déterminer ses coordonnées.

Partie D : somme, produit et optimisation

On suppose que $$f_m$$ admet deux racines $$x_1$$ et $$x_2$$ . Exprimer $$x_1+x_2$$ et $$x_1x_2$$ en fonction de $$m$$ .
Déterminer $$m$$ pour que $$0$$ soit racine de $$f_m$$ . Quelle est alors l'autre racine ?
On note $\beta(m)$ la valeur minimale de $$f_m$$ (l'ordonnée du sommet). Exprimer $\beta(m)$ , puis déterminer la valeur de $$m$$ qui rend ce minimum le plus grand possible. Quel est ce « plus grand minimum » ?

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Démonstration

1. On factorise chaque trinôme : $$x^2-4=(x-2)(x+2)$$ et $$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$$ . Le produit vaut donc

(x-2)(x+2)\times(x-2)(x+1)=(x-2)^2(x+2)(x+1).

Comme $(x-2)^2\geqslant 0$ , le signe du produit est celui de $$(x+2)(x+1)$$ (et le produit s'annule en $$x=2$$ ). Or $(x+2)(x+1)\geqslant 0$ à l'extérieur de $[-2\,;-1]$ . Donc l'inéquation est vérifiée pour $x\in\,]-\infty\,;-2]\cup[-1\,;+\infty[$ (le point $$x=2$$ y est déjà inclus).

2. On résout $\dfrac{x^2-5x+6}{x-1}\leqslant 0$ , définie pour $x\neq 1$ . Le numérateur se factorise : $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$ . On dresse le tableau de signes (valeurs interdites/racines : $$1$$ , $$2$$ , $$3$$ ) :

$$x$$		$$1$$		$$2$$	$+\infty$
$$(x-2)(x-3)$$	$$+$$	$$\|$$ $$+$$		$0\ -\ 0$	$$+$$
$$x-1$$	$$-$$	$$0$$	$$+$$		$$+$$
quotient	$$-$$	$\\|$	$$+$$	$0\ -\ 0$	$$+$$

Le quotient est $\leqslant 0$ sur $]-\infty\,;1[$ (négatif) et sur $[2\,;3]$ (négatif ou nul). Donc $S=\,]-\infty\,;1[\,\cup\,[2\,;3]$ .

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Démonstration

1. $$f(x)=2x^2-8x+6$$ . $\alpha=-\dfrac{-8}{2\times 2}=2$ , $\beta=f(2)=8-16+6=-2$ . Forme canonique : $$f(x)=2(x-2)^2-2$$ , sommet $S(2\,;-2)$ .

2. Racines : $\Delta=(-8)^2-4\times 2\times 6=64-48=16$ , $x=\dfrac{8\pm 4}{4}$ , soit $$x_1=1$$ et $$x_2=3$$ . Forme factorisée : $$f(x)=2(x-1)(x-3)$$ .

3. Comme $$a=2>0$$ , $$f$$ décroît puis croît ; minimum $$-2$$ en $$x=2$$ . Signe : positif à l'extérieur de $[1\,;3]$ , négatif sur $]1\,;3[$ .

$$x$$	$-\infty$	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$+\infty$
signe de $$f$$	$$+$$	$$0$$ $$-$$		$$-$$ $$0$$	$$+$$

4. Allure : parabole tournée vers le haut, passant par les racines $$1$$ et $$3$$ , de sommet $(2\,;-2)$ , et coupant l'axe des ordonnées en $$f(0)=6$$ .

Corrigé 15

Corrigé du problème : Une famille de paraboles

Démonstration · Partie D : somme, produit et optimisation

8. Lorsque $$f_m$$ a deux racines, somme et produit valent : $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2m$ et $x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m+2$ .

9. $$0$$ est racine si et seulement si $$f_m(0)=0$$ , soit $$m+2=0$$ , donc $$m=-2$$ . Alors $f_{-2}(x)=x^2+4x=x(x+4)$ : l'autre racine est $$-4$$ . (Vérification : somme $0+(-4)=-4=2m=2\times(-2)$ ✓.)

10. Le minimum de $$f_m$$ est l'ordonnée du sommet : $\beta(m)=-m^2+m+2$ . C'est lui-même un trinôme en $$m$$ avec coefficient dominant $$-1<0$$ : il admet un maximum pour $m=-\dfrac{1}{2\times(-1)}=\dfrac12$ . Ce maximum vaut $\beta\!\left(\dfrac12\right)=-\dfrac14+\dfrac12+2=\dfrac94$ . Ainsi, le « plus grand des minimums » est $\dfrac94$ , obtenu pour $m=\dfrac12$ : c'est précisément la hauteur du point fixe trouvé en Partie C.

Schéma : Corrigé du problème : Une famille de paraboles

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

$\(x\)$		$\(1\)$		$\(2\)$	$+\infty$
$\((x-2)(x-3)\)$	$\(+\)$	$\(\|\)$ $\(+\)$		$0\ -\ 0$	$\(+\)$
$\(x-1\)$	$\(-\)$	$\(0\)$	$\(+\)$		$\(+\)$
quotient	$\(-\)$	$\\|$	$\(+\)$	$0\ -\ 0$	$\(+\)$

On me demande…	J'utilise la forme…
les coefficients, le discriminant	développée $\(ax^2+bx+c\)$
le sommet, le minimum/maximum, les variations	canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$
les racines, le signe, résoudre $f(x)\geqslant 0$	factorisée $\(a(x-x_1)(x-x_2)\)$

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« résoudre $\(ax^2+bx+c=0\)$ »	discriminant $\Delta$
« hauteur/aire/bénéfice maximal »	sommet de la parabole ( $\alpha=-\frac{b}{2a}$ )
« étudier le signe de »	racines + tableau de signes
« résoudre l'inéquation $f(x)\geqslant 0$ »	signe du trinôme
« montrer que $\(f(x)>0\)$ pour tout $\(x\)$ »	$\Delta<0$ et $\(a>0\)$
« deux nombres de somme… et produit… »	racines de $\(x^2-Sx+P=0\)$
« pour quelles valeurs de $\(m\)$ … deux solutions »	signe de $\Delta(m)$
« intersection de la parabole et de la droite »	résoudre $\(f(x)=g(x)\)$