Schéma de Bernoulli et loi binomiale · Terminale spécialité

Pourquoi étudier le schéma de Bernoulli et la loi binomiale ?

De quoi parle-t-on ?

Dans la vie courante et les sciences, on rencontre constamment des situations où une expérience aléatoire n'a que deux issues : succès ou échec, pile ou face, malade ou sain, conforme ou défectueux, vrai ou faux. Si on répète cette expérience $$n$$ fois de manière indépendante, on obtient un schéma de Bernoulli. La question est alors : quelle est la probabilité d'obtenir exactement $$k$$ succès sur $$n$$ essais ? La réponse est donnée par la loi binomiale.

Les applications concrètes

Contrôle qualité : une usine produit des pièces dont $5\%$ sont défectueuses. On prélève $$20$$ pièces. Quelle probabilité qu'au plus $$2$$ soient défectueuses ? C'est $P(X\leqslant 2)$ avec $X\sim\mathcal{B}(20\,;\,0{,}05)$ .

Sondage : on interroge $$1000$$ personnes sur un candidat qui a $30\%$ d'intentions de vote. Le nombre de réponses favorables suit une loi $\mathcal{B}(1000\,;\,0{,}3)$ .

Génétique : chaque enfant d'un couple porteur d'un gène récessif a une probabilité $\frac{1}{4}$ d'exprimer la maladie. Pour $$4$$ enfants, le nombre de malades suit $\mathcal{B}(4\,;\,\frac{1}{4})$ .

Fiabilité : un système contient $$100$$ composants, chacun ayant $1\%$ de chance de défaillance. Le nombre de pannes suit $\mathcal{B}(100\,;\,0{,}01)$ .

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Pile ou face : le modèle le plus simple

Intuition · Comprendre sur un exemple

On lance une pièce équilibrée $$3$$ fois. Les résultats possibles sont :

Résultat	Nb de Piles	Probabilité
FFF	0	$\frac{1}{8}$
PFF, FPF, FFP	1	$3\times\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$
PPF, PFP, FPP	2	$3\times\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$
PPP	3	$\frac{1}{8}$

Pourquoi $$3$$ façons d'avoir exactement $$1$$ Pile ? Parce qu'il y a $\binom{3}{1}=3$ manières de choisir à quel lancer le Pile tombe. De même, $\binom{3}{2}=3$ façons d'avoir $$2$$ Piles. C'est le rôle du coefficient binomial.

L'arbre : visualiser les chemins

Le coefficient binomial : combien de chemins ?

Le cours formel

Rappels : variable aléatoire, espérance, variance

Épreuve de Bernoulli

Définition · Loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$

La variable de Bernoulli $$X$$ associée vaut $$1$$ en cas de succès et $$0$$ en cas d'échec :

$$x_i$$	$$P(X=x_i)$$
$$0$$	$$1-p$$
$$1$$	$$p$$

On note $X\sim\mathcal{B}(p)$ .

Schéma de Bernoulli et coefficients binomiaux

Loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$

Espérance, variance, écart-type de $\mathcal{B}(n,p)$

Formule du binôme de Newton

Représentation graphique : diagramme en bâtons

Calcul de probabilités cumulées

Formules avec la calculatrice

La loi binomiale comme somme de variables de Bernoulli

Probabilités conditionnelles et indépendance : rappels

Succession d'épreuves indépendantes : le cadre général

Mode de la loi binomiale

Inégalité de concentration (hors programme, pour la culture)

Simulation Python

Méthode · Simuler une loi binomiale en Python

import random

def bernoulli(p):
    """Simule une épreuve de Bernoulli."""
    return 1 if random.random() < p else 0

def binomiale(n, p):
    """Simule X ~ B(n, p)."""
    return sum(bernoulli(p) for _ in range(n))

# Exemple : estimer P(X >= 3) pour X ~ B(10, 0.3)
N = 100000  # nombre de simulations
compteur = sum(1 for _ in range(N) if binomiale(10, 0.3) >= 3)
print(f"P(X >= 3) ≈ {compteur / N:.4f}")

# Avec numpy (plus rapide) :
import numpy as np
X = np.random.binomial(10, 0.3, size=100000)
print(f"P(X >= 3) ≈ {np.mean(X >= 3):.4f}")
print(f"Moyenne = {np.mean(X):.2f}, Écart-type = {np.std(X):.2f}")

La fréquence observée converge vers la probabilité théorique quand $N\to+\infty$ (loi des grands nombres, Fiche 16).

Méthode · Tracer le diagramme en bâtons en Python

from math import comb
import matplotlib.pyplot as plt

n, p = 10, 0.3
k_vals = range(n + 1)
probs = [comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k) for k in k_vals]

plt.bar(k_vals, probs, color='steelblue', edgecolor='black')
plt.xlabel('k')
plt.ylabel('P(X = k)')
plt.title(f'Loi binomiale B({n}, {p})')
plt.show()

Boîte à outils : Réflexes pour le bac

Méthode · Mots-clés à repérer dans les énoncés

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« on répète $$n$$ fois »	schéma de Bernoulli, loi $\mathcal{B}(n,p)$
« de manière indépendante »	confirmation de l'indépendance
« probabilité de succès »	c'est le $$p$$
« au moins un »	$$1-(1-p)^n$$
« en moyenne », « on s'attend à »	espérance $$E(X)=np$$
« nombre de succès »	$X\sim\mathcal{B}(n,p)$
« avec remise »	indépendance assurée
« sans remise »	pas un schéma de Bernoulli
« sachant que »	probabilité conditionnelle
« arbre de probabilités »	dessiner l'arbre, multiplier le long des branches

Méthode · Récapitulatif complet des formules

Résultat	Formule
Coefficient binomial	$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$
Symétrie	$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$
Pascal	$\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}$
Loi binomiale	$P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^k(1-p)^{n-k}$
Espérance	$$E(X) = np$$
Variance	$$V(X) = np(1-p)$$
Écart-type	$\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$
Binôme de Newton	$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\,a^k\,b^{n-k}$
Au moins 1 succès	$P(X\geqslant 1) = 1-(1-p)^n$
Prob. conditionnelle	$P(A\|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
Indépendance	$P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)$
Prob. totales	$P(A) = \sum_i P(B_i)\,P(A\|B_i)$

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Reconnaître un schéma de Bernoulli

Pour chaque situation, dire si c'est un schéma de Bernoulli. Si oui, préciser $$n$$ et $$p$$ .

On lance $$10$$ fois un dé équilibré. Succès = « obtenir un 6 ».
On tire $$5$$ cartes sans remise dans un jeu de $$52$$ . Succès = « tirer un as ».
On lance $$20$$ fois une pièce truquée ( $P(\text{Pile})=0{,}6$ ). Succès = « Pile ».
On interroge $$100$$ personnes, chacune ayant une probabilité $$0{,}3$$ de répondre oui (indépendamment). Succès = « oui ».
Un joueur lance un dé jusqu'à obtenir un 6. Succès = « obtenir un 6 ».
On tire $$8$$ boules avec remise dans une urne contenant $$3$$ rouges et $$7$$ bleues.

Exercice 2 ★☆☆ : Coefficients binomiaux

Calculer :

$\binom{5}{2}$
$\binom{8}{3}$
$\binom{10}{0}$
$\binom{7}{7}$
$\binom{6}{4}$
$\binom{12}{2}$
$\binom{100}{1}$
$\binom{20}{18}$

Exercice 3 ★☆☆ : Calculs de probabilités binomiales

$X\sim\mathcal{B}(8\,;\,0{,}3)$ . Calculer :

$$P(X=0)$$
$$P(X=2)$$
$$P(X=8)$$
$P(X\leqslant 1)$
$P(X\geqslant 1)$
$P(2\leqslant X\leqslant 5)$

Exercice 4 ★☆☆ : Espérance et variance

Pour chaque loi, calculer $$E(X)$$ , $$V(X)$$ et $\sigma(X)$ :

$X\sim\mathcal{B}(20\,;\,0{,}5)$
$X\sim\mathcal{B}(100\,;\,0{,}1)$
$X\sim\mathcal{B}(50\,;\,0{,}04)$
$X\sim\mathcal{B}(36\,;\,\frac{1}{6})$

Exercice 5 ★★☆ : Contrôle qualité

Une usine fabrique des composants dont $3\%$ sont défectueux. On prélève $$20$$ composants au hasard (on suppose le lot assez grand pour modéliser par un tirage avec remise).

Justifier que $$X$$ , le nombre de défectueux, suit $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}03)$ .
Calculer $$P(X=0)$$ : probabilité qu'aucun ne soit défectueux.
Calculer $P(X\leqslant 1)$ .
Calculer $P(X\geqslant 2)$ .
Le lot est refusé si $X\geqslant 3$ . Quelle est la probabilité de refus ?

Exercice 6 ★★☆ : Au moins un succès

On lance $$10$$ dés équilibrés. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un 6 ?
On répète $$n$$ fois une épreuve de Bernoulli de paramètre $$p=0{,}1$$ . Déterminer le plus petit $$n$$ tel que $P(X\geqslant 1)\geqslant 0{,}95$ .
Généraliser : montrer que le plus petit $$n$$ tel que $P(X\geqslant 1)\geqslant\alpha$ est $n=\left\lceil\frac{\ln(1-\alpha)}{\ln(1-p)}\right\rceil$ .

Exercice 7 ★★☆ : Triangle de Pascal et binôme

Construire les lignes $$n=0$$ à $$n=7$$ du triangle de Pascal.
Vérifier que la somme de chaque ligne est $$2^n$$ .
Développer $$(1+x)^5$$ avec la formule du binôme.
Développer $$(2a-b)^4$$ .

Exercice 8 ★★☆ : Loi de probabilité complète

Soit $X\sim\mathcal{B}(4\,;\,0{,}5)$ .

Dresser le tableau complet de la loi de $$X$$ .
Vérifier que $\sum_{k=0}^4 P(X=k)=1$ .
Retrouver $$E(X)$$ par le calcul direct $\sum k\,P(X=k)$ .
Retrouver $$V(X)$$ par la formule de König-Huygens.
Tracer le diagramme en bâtons.

Exercice 9 ★★☆ : Arbre et probabilités conditionnelles

Un test de dépistage a les caractéristiques suivantes : sensibilité $P(\text{T}+|\text{M})=0{,}99$ et spécificité $P(\text{T}-|\overline{\text{M}})=0{,}95$ . La maladie touche $2\%$ de la population.

Dessiner l'arbre pondéré.
Calculer $P(\text{T}+)$ (probabilités totales).
Calculer $P(\text{M}|\text{T}+)$ : valeur prédictive positive (Bayes).
On teste $$500$$ personnes. Le nombre de tests positifs suit-il une loi binomiale ? Si oui, laquelle ?
Calculer l'espérance et l'écart-type du nombre de tests positifs.

Exercice 10 ★★☆ : Génétique

Le daltonisme touche environ $8\%$ des garçons. Dans une classe de $$30$$ garçons :

Modéliser le nombre de daltoniens $$X$$ .
Calculer $$E(X)$$ et $\sigma(X)$ .
Calculer $$P(X=0)$$ (aucun daltonien).
Calculer $P(X\geqslant 5)$ (au moins $$5$$ daltoniens).
Déterminer la valeur la plus probable de $$X$$ (le mode).

Exercice 11 ★★☆ : Démonstrations de cours

Démontrer que $$E(X)=np$$ et $$V(X)=npq$$ pour $X\sim\mathcal{B}(n,p)$ (décomposition en Bernoulli).
Démontrer la formule du binôme de Newton par récurrence.
Démontrer que $\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}=0$ pour $n\geqslant 1$ .

Exercice 12 ★★☆ : Jeu de hasard

Un joueur lance $$5$$ pièces équilibrées. Il gagne $$10$$ € par Pile obtenu et perd $$15$$ € par Face.

Exprimer le gain $$G$$ en fonction de $$X=$$ nombre de Piles.
Déterminer la loi de $$X$$ .
Calculer $$E(G)$$ . Le jeu est-il favorable au joueur ?
Calculer $\sigma(G)$ .

Exercice 13 ★★★ : Étude de la fonction $k\mapsto P(X=k)$

On pose $$f(k)=P(X=k)$$ pour $X\sim\mathcal{B}(n,p)$ .

Calculer le quotient $\frac{f(k+1)}{f(k)}$ en fonction de $$n$$ , $$k$$ et $$p$$ .
En déduire que $$f$$ est croissante tant que $$k<(n+1)p-1$$ et décroissante après.
Déterminer le mode (valeur la plus probable) pour $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$ .
Déterminer le mode pour $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}5)$ .

Exercice 14 ★★★ : Seuil et risque

Un fabriquant affirme que $95\%$ de ses pièces sont conformes. Un client prélève $$50$$ pièces.

Modéliser $$X$$ , le nombre de pièces défectueuses, si l'affirmation est vraie.
Calculer $$E(X)$$ et $\sigma(X)$ .
Le client décide de refuser le lot si $X\geqslant 5$ . Calculer la probabilité de refus (risque du fournisseur).
En réalité, le taux de défauts est de $10\%$ . Calculer la probabilité d'accepter le lot à tort (risque du client).
(Bonus) Déterminer le seuil $$s$$ (nombre maximal de défauts tolérés) tel que le risque fournisseur soit inférieur à $5\%$ .

Problème : Marche aléatoire et loi binomiale ★★★

On note $$S_n$$ la position de la particule après $$n$$ étapes, avec $$S_0=0$$ .

Partie A : Lien avec la loi binomiale

On note $$X_i$$ le déplacement à l'étape $$i$$ ( $$+1$$ ou $$-1$$ ). Montrer que $S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n$ .
On pose $Y_i=\frac{X_i+1}{2}$ . Montrer que $Y_i\sim\mathcal{B}(p)$ .
En notant $Y=Y_1+\cdots+Y_n$ le nombre de pas vers la droite, montrer que $Y\sim\mathcal{B}(n,p)$ et que $$S_n=2Y-n$$ .
En déduire $$E(S_n)$$ et $$V(S_n)$$ .
Déterminer les valeurs possibles de $$S_n$$ . Montrer que $$S_n$$ a la même parité que $$n$$ .
Calculer $$E(S_n)$$ et $\sigma(S_n)$ pour $$n=100$$ et $$p=0{,}5$$ . Interpréter.

Partie B : Cas symétrique $p=\frac{1}{2}$

Montrer que $$E(S_n)=0$$ et $\sigma(S_n)=\sqrt{n}$ . Interpréter : où se trouve typiquement la particule après $$n$$ pas ?
Calculer $$P(S_n=0)$$ pour $$n$$ pair. Exprimer cette probabilité avec un coefficient binomial.
Application : calculer $$P(S_4=0)$$ , $P(S_{10}=0)$ et $P(S_{100}=0)$ . Commenter l'évolution.
Montrer que $P(S_{2n}=0)=\binom{2n}{n}\frac{1}{4^n}$ et utiliser la formule de Stirling $n!\sim\sqrt{2\pi n}\bigl(\frac{n}{\e}\bigr)^n$ pour montrer que $P(S_{2n}=0)\sim\frac{1}{\sqrt{\pi n}}$ quand $n\to+\infty$ .

Partie C : Retour à l'origine

On note $$R_n$$ l'événement « la particule est revenue à l'origine au moins une fois avant ou à l'étape $$n$$ ». Montrer que $$P(R_2)=P(S_2=0)=2pq$$ .
(Bonus) On admet que la probabilité de ne jamais revenir à l'origine (en $p=\frac{1}{2}$ ) est $$0$$ . Autrement dit, la marche aléatoire symétrique revient à l'origine avec probabilité $$1$$ : c'est le théorème de récurrence de Pólya. Interpréter ce résultat : est-il étonnant ? Combien de temps faut-il attendre en moyenne ?

Corrigés détaillés

Exercice 1

a) Oui : chaque lancer a 2 issues (6 ou non-6), même $p=\frac{1}{6}$ , lancers indépendants. $$n=10$$ , $p=\frac{1}{6}$ .

b) Non : tirage sans remise $\Rightarrow$ les épreuves ne sont pas indépendantes (la composition du jeu change).

c) Oui : 2 issues (P/F), même $$p=0{,}6$$ , lancers indépendants. $$n=20$$ , $$p=0{,}6$$ .

d) Oui : 2 issues (oui/non), même $$p=0{,}3$$ , réponses indépendantes. $$n=100$$ , $$p=0{,}3$$ .

e) Non : le nombre de lancers n'est pas fixé à l'avance. Ce n'est pas un schéma de Bernoulli (c'est une loi géométrique).

f) Oui : avec remise $\Rightarrow$ indépendance, 2 issues (rouge/bleue), $p=\frac{3}{10}$ . $$n=8$$ , $$p=0{,}3$$ .

Exercice 2

a) $\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!3!}=\frac{120}{2\times 6}=10$ . b) $\binom{8}{3}=\frac{8!}{3!5!}=\frac{8\times 7\times 6}{6}=56$ .

c) $\binom{10}{0}=1$ . d) $\binom{7}{7}=1$ . e) $\binom{6}{4}=\binom{6}{2}=15$ . f) $\binom{12}{2}=\frac{12\times 11}{2}=66$ .

g) $\binom{100}{1}=100$ . h) $\binom{20}{18}=\binom{20}{2}=\frac{20\times 19}{2}=190$ .

Exercice 3

$X\sim\mathcal{B}(8\,;\,0{,}3)$ . On note $$q=0{,}7$$ .

a) $P(X=0)=\binom{8}{0}(0{,}3)^0(0{,}7)^8=0{,}7^8\approx 0{,}0576$ .

b) $P(X=2)=\binom{8}{2}(0{,}3)^2(0{,}7)^6=28\times 0{,}09\times 0{,}117649\approx 0{,}2965$ .

c) $P(X=8)=(0{,}3)^8\approx 0{,}00007$ .

d) $P(X\leqslant 1)=P(X=0)+P(X=1)=0{,}0576+\binom{8}{1}(0{,}3)^1(0{,}7)^7=0{,}0576+8\times 0{,}3\times 0{,}0824\approx 0{,}0576+0{,}1977\approx 0{,}2553$ .

e) $P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)=1-0{,}0576\approx 0{,}9424$ .

f) $P(2\leqslant X\leqslant 5)=P(X\leqslant 5)-P(X\leqslant 1)\approx 0{,}9887-0{,}2553\approx 0{,}7334$ .

Exercice 4

a) $E=20\times 0{,}5=10$ . $V=20\times 0{,}5\times 0{,}5=5$ . $\sigma=\sqrt{5}\approx 2{,}24$ .

b) $E=100\times 0{,}1=10$ . $V=100\times 0{,}1\times 0{,}9=9$ . $\sigma=3$ .

c) $E=50\times 0{,}04=2$ . $V=50\times 0{,}04\times 0{,}96=1{,}92$ . $\sigma\approx 1{,}39$ .

d) $E=36\times\frac{1}{6}=6$ . $V=36\times\frac{1}{6}\times\frac{5}{6}=5$ . $\sigma=\sqrt{5}\approx 2{,}24$ .

Exercice 5

a) Chaque composant est défectueux (S) ou non (É), indépendamment, avec $$p=0{,}03$$ . $$n=20$$ prélèvements. $X\sim\mathcal{B}(20\,;\,0{,}03)$ .

b) $P(X=0)=0{,}97^{20}\approx 0{,}5438$ .

c) $P(X\leqslant 1)=P(X=0)+P(X=1)=0{,}5438+\binom{20}{1}(0{,}03)(0{,}97)^{19}\approx 0{,}5438+20\times 0{,}03\times 0{,}5607\approx 0{,}5438+0{,}3364\approx 0{,}8802$ .

d) $P(X\geqslant 2)=1-P(X\leqslant 1)\approx 1-0{,}8802\approx 0{,}1198$ .

e) $P(X\geqslant 3)=1-P(X\leqslant 2)$ . $P(X=2)=\binom{20}{2}(0{,}03)^2(0{,}97)^{18}=190\times 0{,}0009\times 0{,}5780\approx 0{,}0988$ .

$P(X\leqslant 2)\approx 0{,}8802+0{,}0988\approx 0{,}9790$ . $P(X\geqslant 3)\approx 0{,}021\approx 2{,}1\%$ .

Exercice 6

a) $X\sim\mathcal{B}(10\,;\,\frac{1}{6})$ . $P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)=1-\bigl(\frac{5}{6}\bigr)^{10}\approx 1-0{,}1615\approx 0{,}8385$ .

b) $P(X\geqslant 1)\geqslant 0{,}95\iff 1-(0{,}9)^n\geqslant 0{,}95\iff (0{,}9)^n\leqslant 0{,}05\iff n\ln(0{,}9)\leqslant\ln(0{,}05)\iff n\geqslant\frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}9)}\approx\frac{-2{,}996}{-0{,}1054}\approx 28{,}4$ .

$\boxed{n=29}$ (au minimum).

c) $P(X\geqslant 1)\geqslant\alpha\iff (1-p)^n\leqslant 1-\alpha\iff n\geqslant\frac{\ln(1-\alpha)}{\ln(1-p)}$ . D'où $n_{\min}=\left\lceil\frac{\ln(1-\alpha)}{\ln(1-p)}\right\rceil$ .

Exercice 7

a) Lignes 0 à 7 : $$1$$ ; $1\;1$ ; $1\;2\;1$ ; $1\;3\;3\;1$ ; $1\;4\;6\;4\;1$ ; $1\;5\;10\;10\;5\;1$ ; $1\;6\;15\;20\;15\;6\;1$ ; $1\;7\;21\;35\;35\;21\;7\;1$ .

b) Sommes : $1,\;2,\;4,\;8,\;16,\;32,\;64,\;128=2^0,\ldots,2^7$ . Chaque somme est $$2^n$$ .

c) $$(1+x)^5=1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5$$ .

d) $(2a-b)^4=\sum_{k=0}^4\binom{4}{k}(2a)^k(-b)^{4-k}=b^4-4(2a)b^3+6(4a^2)b^2-4(8a^3)b+16a^4$

$$=16a^4-32a^3b+24a^2b^2-8ab^3+b^4$$ .

Exercice 8

$X\sim\mathcal{B}(4\,;\,0{,}5)$ .

a) Calcul : $P(X=k)=\binom{4}{k}\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^4=\frac{1}{16}\binom{4}{k}$ .

$\binom{4}{0}=1$ , $\binom{4}{1}=4$ , $\binom{4}{2}=6$ , $\binom{4}{3}=4$ , $\binom{4}{4}=1$ .

Tableau complet :

$$k$$	0	1	2	3	4
$\binom{4}{k}$	1	4	6	4	1
$$P(X=k)$$	$\frac{1}{16}$	$\frac{4}{16}$	$\frac{6}{16}$	$\frac{4}{16}$	$\frac{1}{16}$
Décimal	$$0{,}0625$$	$$0{,}25$$	$$0{,}375$$	$$0{,}25$$	$$0{,}0625$$

b) $\frac{1+4+6+4+1}{16}=\frac{16}{16}=1$ . OK.

c) $E(X)=0\times\frac{1}{16}+1\times\frac{4}{16}+2\times\frac{6}{16}+3\times\frac{4}{16}+4\times\frac{1}{16}=\frac{0+4+12+12+4}{16}=\frac{32}{16}=2=np$ .

d) $E(X^2)=0+\frac{4}{16}+\frac{24}{16}+\frac{36}{16}+\frac{16}{16}=\frac{80}{16}=5$ .

$V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=5-4=1=np(1-p)=4\times 0{,}5\times 0{,}5$ . OK.

e) Diagramme en bâtons symétrique centré sur $$k=2$$ (forme en cloche parfaite car $$p=0{,}5$$ ).

Exercice 9

a) Arbre : première branche M ( $$0{,}02$$ ) / $\overline{\text{M}}$ ( $$0{,}98$$ ). Depuis M : T $$+$$ ( $$0{,}99$$ ) / T $$-$$ ( $$0{,}01$$ ). Depuis $\overline{\text{M}}$ : T $$+$$ ( $$0{,}05$$ ) / T $$-$$ ( $$0{,}95$$ ).

b) $P(\text{T}+)=P(\text{M})\times P(\text{T}+|\text{M})+P(\overline{\text{M}})\times P(\text{T}+|\overline{\text{M}})=0{,}02\times 0{,}99+0{,}98\times 0{,}05=0{,}0198+0{,}049=0{,}0688$ .

c) $P(\text{M}|\text{T}+)=\frac{P(\text{M}\cap\text{T}+)}{P(\text{T}+)}=\frac{0{,}0198}{0{,}0688}\approx 0{,}288\approx 28{,}8\%$ .

Même avec un bon test, seulement $29\%$ des positifs sont malades (car la maladie est rare : paradoxe du test).

d) Oui : chaque personne est testée indépendamment, T $$+$$ avec probabilité $P(\text{T}+)=0{,}0688$ . Le nombre de T $$+$$ suit $\mathcal{B}(500\,;\,0{,}0688)$ .

e) $E=500\times 0{,}0688=34{,}4$ . $\sigma=\sqrt{500\times 0{,}0688\times 0{,}9312}=\sqrt{32{,}1}\approx 5{,}66$ .

Exercice 10

a) Chaque garçon est daltonien (S) ou non (É), indépendamment, avec $$p=0{,}08$$ . $X\sim\mathcal{B}(30\,;\,0{,}08)$ .

b) $E(X)=30\times 0{,}08=2{,}4$ . $\sigma(X)=\sqrt{30\times 0{,}08\times 0{,}92}=\sqrt{2{,}208}\approx 1{,}49$ .

c) $P(X=0)=0{,}92^{30}\approx 0{,}0820$ .

d) $P(X\geqslant 5)=1-P(X\leqslant 4)$ . Calculons avec la calculatrice : $P(X\leqslant 4)\approx 0{,}9565$ . $P(X\geqslant 5)\approx 0{,}0435\approx 4{,}4\%$ .

e) Le mode est la valeur $$k$$ qui maximise $$P(X=k)$$ . Par la formule du quotient (exercice 13), $\frac{f(k+1)}{f(k)}=\frac{(n-k)p}{(k+1)(1-p)}$ . Croissant si $$k<(n+1)p-1=(31)(0{,}08)-1=1{,}48$$ . Donc $$f$$ croît pour $k\leqslant 1$ et décroît à partir de $$k=2$$ . Mode = $\boxed{2}$ .

Exercice 11

a) $X=X_1+\cdots+X_n$ avec $X_i\sim\mathcal{B}(p)$ indépendantes. $$E(X_i)=p$$ , $$V(X_i)=pq$$ .

$E(X)=\sum E(X_i)=np$ (linéarité). $V(X)=\sum V(X_i)=npq$ (indépendance).

b) Voir la démonstration de la section 3.6.

c) $\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}1^k(-1)^{n-k}=(1+(-1))^n=0^n=0$ pour $n\geqslant 1$ .

Exercice 12

a) Le joueur gagne $$10X$$ (pour les Piles) et perd $$15(5-X)$$ (pour les Faces).

$$G=10X-15(5-X)=10X-75+15X=25X-75$$ .

b) $X\sim\mathcal{B}(5\,;\,0{,}5)$ .

c) $E(G)=25E(X)-75=25\times 2{,}5-75=62{,}5-75=\boxed{-12{,}5}$ €. Le jeu est défavorable au joueur.

d) $V(G)=25^2\,V(X)=625\times 5\times 0{,}5\times 0{,}5=625\times 1{,}25=781{,}25$ . $\sigma(G)=\sqrt{781{,}25}\approx 27{,}95$ €.

Exercice 13

a) $\frac{f(k+1)}{f(k)}=\frac{\binom{n}{k+1}p^{k+1}q^{n-k-1}}{\binom{n}{k}p^kq^{n-k}}=\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}}\times\frac{p}{q}=\frac{n-k}{k+1}\times\frac{p}{q}$ .

b) $\frac{f(k+1)}{f(k)}\geqslant 1\iff\frac{(n-k)p}{(k+1)q}\geqslant 1\iff (n-k)p\geqslant (k+1)q\iff np-kp\geqslant kq+q\iff np-q\geqslant k(p+q)=k$ .

Donc $$f$$ croissante si $k\leqslant np-q=(n+1)p-1$ et décroissante si $k\geqslant (n+1)p-1$ .

c) $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$ : $(n+1)p-1=21\times 0{,}3-1=5{,}3$ . Mode en $k=\lfloor 5{,}3\rfloor=5$ ou $$k=6$$ . Calcul : $$f(5)>f(6)$$ donc mode $=\boxed{6}$ . Vérifions : $$(n+1)p-1=5{,}3$$ , $$f$$ croît jusqu'à $$k=5$$ , $$f(6)<f(5)$$ car $$5{,}3<6$$ . Mode $=\boxed{5}$ .

d) $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}5)$ : $$(n+1)p-1=5{,}5-1=4{,}5$$ . Comme $$4{,}5$$ n'est pas entier, mode unique $=\boxed{5}$ . Vérifions : $f(5)=\binom{10}{5}/2^{10}=252/1024\approx 0{,}246$ , maximal.

Exercice 14

a) $X\sim\mathcal{B}(50\,;\,0{,}05)$ (si l'affirmation est vraie, $5\%$ de défauts).

b) $E(X)=50\times 0{,}05=2{,}5$ . $\sigma(X)=\sqrt{50\times 0{,}05\times 0{,}95}=\sqrt{2{,}375}\approx 1{,}54$ .

c) $P(X\geqslant 5)=1-P(X\leqslant 4)$ . Calculons :

$P(X=0)=0{,}95^{50}\approx 0{,}0769$ , $P(X=1)=\binom{50}{1}(0{,}05)(0{,}95)^{49}\approx 0{,}2025$ ,

$P(X=2)=\binom{50}{2}(0{,}05)^2(0{,}95)^{48}\approx 0{,}2611$ ,

$P(X=3)=\binom{50}{3}(0{,}05)^3(0{,}95)^{47}\approx 0{,}2199$ ,

$P(X=4)=\binom{50}{4}(0{,}05)^4(0{,}95)^{46}\approx 0{,}1360$ .

$P(X\leqslant 4)\approx 0{,}8964$ . Risque fournisseur : $P(X\geqslant 5)\approx 0{,}104\approx 10{,}4\%$ .

d) Si le taux réel est $10\%$ : $X'\sim\mathcal{B}(50\,;\,0{,}1)$ .

$P(X'\leqslant 4)$ (le lot est accepté à tort) $\approx 0{,}431\approx 43{,}1\%$ . Risque du client très élevé.

e) (Bonus) On cherche $$s$$ tel que $P(X\geqslant s+1)\leqslant 0{,}05$ avec $X\sim\mathcal{B}(50\,;\,0{,}05)$ .

$P(X\leqslant s)\geqslant 0{,}95$ . Par la calculatrice : $P(X\leqslant 4)\approx 0{,}896<0{,}95$ , $P(X\leqslant 5)\approx 0{,}962>0{,}95$ . $\boxed{s=5}$ : on accepte le lot si au plus $$5$$ défauts.

Corrigé du problème : Marche aléatoire

Partie A : Lien avec la loi binomiale

1. $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$ par définition (la position est la somme des déplacements successifs, partant de $$S_0=0$$ ).

2. $X_i\in\{-1,+1\}$ , donc $Y_i=\frac{X_i+1}{2}\in\{0,1\}$ . $$P(Y_i=1)=P(X_i=+1)=p$$ et $$P(Y_i=0)=P(X_i=-1)=q=1-p$$ . Donc $Y_i\sim\mathcal{B}(p)$ .

3. Les $$Y_i$$ sont indépendantes (car les $$X_i$$ le sont) et de même loi $\mathcal{B}(p)$ . Donc $Y=\sum_{i=1}^n Y_i\sim\mathcal{B}(n,p)$ .

$S_n=\sum X_i=\sum(2Y_i-1)=2\sum Y_i-n=2Y-n$ .

4. $$E(S_n)=2E(Y)-n=2np-n=n(2p-1)$$ .

$$V(S_n)=4V(Y)=4npq$$ .

5. $Y\in\{0,1,\ldots,n\}$ , donc $S_n=2Y-n\in\{-n,-n+2,\ldots,n-2,n\}$ . Les valeurs diffèrent de $$2$$ en $$2$$ . Si $$n$$ est pair, $$S_n$$ est pair. Si $$n$$ est impair, $$S_n$$ est impair. Donc $S_n\equiv n\pmod{2}$ .

6. Pour $$n=100$$ , $$p=0{,}5$$ : $E(S_{100})=100(2\times 0{,}5-1)=0$ . $V(S_{100})=4\times 100\times 0{,}25=100$ . $\sigma(S_{100})=10$ .

Interprétation : en moyenne, la particule est en $$0$$ après $$100$$ pas, mais elle peut s'en écarter de $\pm 10$ typiquement. La zone $$[-20,20]$$ contient la grande majorité des positions possibles (environ $95\%$ avec $2\sigma$ ).

Partie B : Cas symétrique $p=\frac{1}{2}$

6. $E(S_n)=n(2\times\frac{1}{2}-1)=0$ . $V(S_n)=4n\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=n$ . $\sigma(S_n)=\sqrt{n}$ .

L'espérance nulle signifie que la marche est non biaisée : elle ne dérive ni à droite ni à gauche. L'écart-type $\sqrt{n}$ montre que la particule s'écarte typiquement de $\sqrt{n}$ de l'origine après $$n$$ pas. Par exemple : après $$n=100$$ pas, $\sigma=10$ , position typique dans $$[-20,20]$$ . Après $n=10\,000$ pas : $\sigma=100$ . L'écart croît en $\sqrt{n}$ , pas en $$n$$ : c'est le phénomène de diffusion.

7. $S_n=0\iff 2Y-n=0\iff Y=\frac{n}{2}$ . Ceci n'est possible que si $$n$$ est pair. Si $$n$$ est impair, $$P(S_n=0)=0$$ .

Si $$n=2m$$ : $P(S_{2m}=0)=P(Y=m)=\binom{2m}{m}\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^m\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^m=\binom{2m}{m}\frac{1}{4^m}$ .

8. $P(S_4=0)=\binom{4}{2}\frac{1}{16}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}=0{,}375$ .

$P(S_{10}=0)=\binom{10}{5}\frac{1}{1024}=\frac{252}{1024}\approx 0{,}246$ .

$P(S_{100}=0)=\binom{100}{50}\frac{1}{4^{50}}$ . Par Stirling : $\binom{100}{50}\approx\frac{4^{50}}{\sqrt{50\pi}}$ , d'où $P\approx\frac{1}{\sqrt{50\pi}}\approx 0{,}0798$ .

Commentaire : la probabilité d'être à l'origine diminue quand $$n$$ augmente ( $0{,}375\to 0{,}246\to 0{,}080$ ). C'est naturel car les positions possibles sont de plus en plus nombreuses.

9. On a $P(S_{2n}=0)=\binom{2n}{n}\frac{1}{4^n}$ . Stirling donne $n!\sim\sqrt{2\pi n}\bigl(\frac{n}{\e}\bigr)^n$ .

$(2n)!\sim\sqrt{4\pi n}\bigl(\frac{2n}{\e}\bigr)^{2n}=\sqrt{4\pi n}\frac{(2n)^{2n}}{\e^{2n}}$ .

$\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\sim\frac{\sqrt{4\pi n}\frac{(2n)^{2n}}{\e^{2n}}}{2\pi n\frac{n^{2n}}{\e^{2n}}}=\frac{\sqrt{4\pi n}\cdot 2^{2n}n^{2n}}{2\pi n\cdot n^{2n}}=\frac{2\sqrt{\pi n}\cdot 4^n}{2\pi n}=\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ .

Donc $P(S_{2n}=0)=\binom{2n}{n}\frac{1}{4^n}\sim\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\times\frac{1}{4^n}=\boxed{\frac{1}{\sqrt{\pi n}}}$ .

Cette probabilité tend vers $$0$$ : il est de plus en plus rare d'être à l'origine après beaucoup d'étapes, mais elle décroît lentement (en $\frac{1}{\sqrt{n}}$ ).

Partie C : Retour à l'origine

10. $$R_2$$ : la particule revient en $$0$$ en $$2$$ étapes. $S_2=0\iff Y=1$ , i.e. un pas $$+1$$ puis un pas $$-1$$ ou inversement.

$P(R_2)=P(S_2=0)=\binom{2}{1}p\cdot q=2pq$ .

Vérification pour $p=\frac{1}{2}$ : $2\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ . Cohérent avec $P(S_2=0)=\frac{1}{2}$ .

11. (Bonus) Le théorème de récurrence de Pólya (1921) affirme que la marche aléatoire symétrique sur $\Z$ (dimension $$1$$ ) est récurrente : la particule revient à l'origine avec probabilité $$1$$ .

C'est étonnant car $P(S_{2n}=0)\to 0$ ! Mais la série $\sum P(S_{2n}=0)\sim\sum\frac{1}{\sqrt{\pi n}}$ diverge. Comme $P(S_{2n}=0)$ est la probabilité d'être en $$0$$ au temps $$2n$$ , la divergence de cette série signifie que la particule visite $$0$$ infiniment souvent (en moyenne).

Cependant, le temps moyen de retour est infini : $E(T_0)=+\infty$ où $$T_0$$ est le premier retour en $$0$$ . La marche revient, mais en un temps qui peut être arbitrairement long.

Fait remarquable : en dimension $$1$$ et $$2$$ , la marche est récurrente (« un homme ivre finit toujours par rentrer chez lui »). En dimension $$3$$ et plus, elle est transiente (il ne revient pas forcément : « un oiseau ivre ne retrouve pas son nid »).

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

$\(x_i\)$	$\(P(X=x_i)\)$
$\(0\)$	$\(1-p\)$
$\(1\)$	$\(p\)$

Ce qu'on cherche	TI	Casio
$\(P(X=k)\)$	`binomFdP(n,p,k)`	`BinomialPD(k,n,p)`
$P(X\leqslant k)$	`binomFdR(n,p,k)`	`BinomialCD(k,n,p)`
$\binom{n}{k}$	`n nCr k`	`nCr(n,k)`

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« on répète $\(n\)$ fois »	schéma de Bernoulli, loi $\mathcal{B}(n,p)$
« de manière indépendante »	confirmation de l'indépendance
« probabilité de succès »	c'est le $\(p\)$
« au moins un »	$\(1-(1-p)^n\)$
« en moyenne », « on s'attend à »	espérance $\(E(X)=np\)$
« nombre de succès »	$X\sim\mathcal{B}(n,p)$
« avec remise »	indépendance assurée
« sans remise »	pas un schéma de Bernoulli
« sachant que »	probabilité conditionnelle
« arbre de probabilités »	dessiner l'arbre, multiplier le long des branches

Pourquoi étudier le schéma de Bernoulli et la loi binomiale ?

De quoi parle-t-on ?

Les applications concrètes

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Pile ou face : le modèle le plus simple

L'arbre : visualiser les chemins

Le coefficient binomial : combien de chemins ?

Le cours formel

Rappels : variable aléatoire, espérance, variance

Épreuve de Bernoulli

Schéma de Bernoulli et coefficients binomiaux

Loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\)

Espérance, variance, écart-type de \(\mathcal{B}(n,p)\)

Formule du binôme de Newton

Représentation graphique : diagramme en bâtons

Calcul de probabilités cumulées

Formules avec la calculatrice

La loi binomiale comme somme de variables de Bernoulli

Probabilités conditionnelles et indépendance : rappels

Succession d'épreuves indépendantes : le cadre général

Mode de la loi binomiale

Inégalité de concentration (hors programme, pour la culture)

Simulation Python

Boîte à outils : Réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Reconnaître un schéma de Bernoulli

Exercice 2 ★☆☆ : Coefficients binomiaux

Exercice 3 ★☆☆ : Calculs de probabilités binomiales

Exercice 4 ★☆☆ : Espérance et variance

Exercice 5 ★★☆ : Contrôle qualité

Exercice 6 ★★☆ : Au moins un succès

Exercice 7 ★★☆ : Triangle de Pascal et binôme

Exercice 8 ★★☆ : Loi de probabilité complète

Exercice 9 ★★☆ : Arbre et probabilités conditionnelles

Exercice 10 ★★☆ : Génétique

Exercice 11 ★★☆ : Démonstrations de cours

Exercice 12 ★★☆ : Jeu de hasard

Exercice 13 ★★★ : Étude de la fonction \(k\mapsto P(X=k)\)

Exercice 14 ★★★ : Seuil et risque

Problème : Marche aléatoire et loi binomiale ★★★

Corrigés détaillés

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Corrigé du problème : Marche aléatoire

Maîtrise du chapitre

Loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$

Espérance, variance, écart-type de $\mathcal{B}(n,p)$

Exercice 13 ★★★ : Étude de la fonction $k\mapsto P(X=k)$