Primitives et intégration

Pourquoi étudier les primitives et l'intégration ?

Le problème fondamental : inverser la dérivation

On sait dériver : passer de \(f\) à \(f'\). Mais comment faire le chemin inverse ? Connaissant la vitesse \(v(t)\), comment retrouver la position \(x(t)\) ? Connaissant le débit d'eau d'un robinet \(q(t)\) (en litres/seconde), comment calculer le volume total écoulé entre \(t=0\) et \(t=T\) ?

Ce problème inverse est celui de la primitivation. L'intégrale fournit alors un outil puissant pour calculer des aires, des volumes, des moyennes, des quantités accumulées.

Des exemples concrets

En cinématique : un objet a la vitesse \(v(t)=3t^2\) m/s. La distance parcourue entre \(t=0\) et \(t=2\) est \(d=\int_0^2 3t^2\,\mathrm{d}t=[t^3]_0^2=8\) m. La primitive de la vitesse donne la position.

En probabilités : la probabilité qu'une variable aléatoire continue \(X\) de densité \(f\) tombe entre \(a\) et \(b\) est \(P(a\leqslant X\leqslant b)=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\). La loi normale, la loi exponentielle, la loi uniforme utilisent toutes des intégrales.

En économie : le surplus du consommateur, la valeur actuelle nette d'un investissement, le coefficient de Gini pour mesurer les inégalités s'expriment comme des intégrales.

En physique : le travail d'une force variable \(F(x)\) le long d'un déplacement est \(W=\int_a^b F(x)\,\mathrm{d}x\). L'énergie potentielle gravitationnelle, la pression hydrostatique, le moment d'inertie sont tous des intégrales.

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Dérivation vs intégration : les deux faces d'une pièce

L'intégrale comme aire : l'intuition géométrique

L'idée des sommes de Riemann

Étape 1 : découper l'intervalle. On découpe \([a,b]\) en \(n\) petits intervalles de même largeur. La largeur de chaque intervalle est :

Les points de subdivision sont : \(x_0=a\), \(x_1=a+\Delta x\), \(x_2=a+2\Delta x\), …, \(x_k=a+k\,\Delta x\), …, \(x_n=b\).

En général : \(\boldsymbol{x_k = a + k\cdot\frac{b-a}{n}}\) pour \(k=0,1,\ldots,n\).

Étape 2 : construire les rectangles. Sur chaque intervalle \([x_k,x_{k+1}]\), on construit un rectangle de largeur \(\Delta x\) et de hauteur \(f(x_k)\) (hauteur prise au bord gauche). L'aire de ce rectangle est :

Étape 3 : sommer les aires. L'aire totale approchée est la somme des aires de tous les rectangles :

Étape 4 : passer à la limite. Plus \(n\) est grand, plus les rectangles sont fins, et meilleure est l'approximation. L'intégrale est la limite de cette somme :

C'est l'idée fondatrice du calcul intégral, inventée par Archimède (méthode d'exhaustion) et formalisée par Riemann au XIX^e siècle.

Un lien miraculeux : le théorème fondamental

Le cours formel

Primitives : définition et unicité

Tableau des primitives usuelles

Primitives des fonctions composées

C'est le cœur technique du chapitre. L'idée est de reconnaître dans l'expression à primitiver une forme \(g'(u(x))\cdot u'(x)\), qui est la dérivée de \(g(u(x))\) par la règle de la chaîne.

L'intégrale définie

Propriétés de l'intégrale

Valeur moyenne d'une fonction

Calcul d'aires

Intégration par parties (IPP)

Le théorème fondamental de l'analyse

Sommes de Riemann

Inégalités intégrales et encadrements

Boîte à outils : Réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Primitives directes

Déterminer une primitive de chaque fonction sur son domaine :

1. \(f(x)=3x^2-2x+5\)
2. \(f(x)=\frac{1}{x^3}\) sur \(]0,+\infty[\)
3. \(f(x)=\sqrt{x}\) sur \(]0,+\infty[\)
4. \(f(x)=4\e^x-\frac{1}{x}\) sur \(]0,+\infty[\)
5. \(f(x)=\cos x-3\sin x\)
6. \(f(x)=\frac{2}{\cos^2 x}\) sur \(]-\frac\pi2,\frac\pi2[\)
7. \(f(x)=5\e^{-2x}\)
8. \(f(x)=x^{3/2}\) sur \(]0,+\infty[\)

Exercice 2 ★☆☆ : Intégrales directes

Calculer :

1. \(\displaystyle\int_0^2(3x^2+1)\,\mathrm{d}x\) b) \(\displaystyle\int_1^4\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x\) c) \(\displaystyle\int_0^1\e^{-x}\,\mathrm{d}x\)
2. \(\displaystyle\int_0^{\pi/3}\sin x\,\mathrm{d}x\) e) \(\displaystyle\int_1^\e\frac{3}{x}\,\mathrm{d}x\) f) \(\displaystyle\int_0^1(x+1)^3\,\mathrm{d}x\)

Exercice 3 ★☆☆ : Primitive avec condition initiale

Déterminer la primitive \(F\) de \(f\) vérifiant la condition :

1. \(f(x)=4x^3\), \(F(1)=2\).

2. \(f(x)=\cos x\), \(F(\frac\pi2)=3\).

3. \(f(x)=\e^{2x}\), \(F(0)=1\).

4. \(f(x)=\frac{1}{x}\) sur \(]0,+\infty[\), \(F(1)=0\).

Exercice 4 ★★☆ : Primitives composées

Déterminer une primitive. Préciser \(u\) et \(u'\) à chaque fois.

1. \(f(x)=\frac{2x+1}{x^2+x+3}\)
2. \(f(x)=(3x-1)^5\)
3. \(f(x)=x\e^{x^2}\)
4. \(f(x)=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)
5. \(f(x)=\frac{\e^x}{\e^x+2}\)
6. \(f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)
7. \(f(x)=\frac{\cos x}{1+\sin x}\)
8. \(f(x)=x^2\e^{x^3}\)

Exercice 5 ★★☆ : Valeur moyenne

1. Calculer la valeur moyenne de \(f(x)=x^2\) sur \([0,3]\).

2. Calculer la valeur moyenne de \(f(x)=\sin x\) sur \([0,\pi]\).

3. Calculer la valeur moyenne de \(f(x)=\e^x\) sur \([0,\ln 2]\).

4. Calculer la valeur moyenne de \(f(x)=\frac{1}{1+x}\) sur \([0,1]\).

Exercice 6 ★★☆ : Calcul d'aires

1. Aire entre \(y=x^2\) et l'axe \(Ox\) pour \(x\in[0,2]\).

2. Aire entre \(y=\sin x\) et l'axe \(Ox\) pour \(x\in[0,2\pi]\).

3. Aire entre \(y=x^2\) et \(y=2x\) pour \(x\in[0,2]\).

4. Aire entre \(y=\e^x\) et \(y=1\) pour \(x\in[0,1]\).

5. Aire entre \(y=x^3-x\) et l'axe \(Ox\) pour \(x\in[-1,1]\).

Exercice 7 ★★☆ : Intégration par parties

Calculer à l'aide d'une IPP :

1. \(\displaystyle\int_0^1 x\e^x\,\mathrm{d}x\)
2. \(\displaystyle\int_1^\e\ln x\,\mathrm{d}x\)
3. \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}x\cos x\,\mathrm{d}x\)
4. \(\displaystyle\int_0^1(2x+1)\e^{-x}\,\mathrm{d}x\)
5. \(\displaystyle\int_1^\e x\ln x\,\mathrm{d}x\)

Exercice 8 ★★☆ : Double IPP

Calculer \(\displaystyle\int_0^1 x^2\e^x\,\mathrm{d}x\) en effectuant deux IPP successives.

Exercice 9 ★★☆ : Fonction intégrale et TFA

\(F(x)=\displaystyle\int_0^x\frac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\).

1. Calculer \(F'(x)\) et \(F(0)\).

2. Montrer que \(F\) est strictement croissante.

3. Montrer que \(F\) est impaire.

4. Calculer \(F(1)\) sachant que \((\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}\).

5. Montrer que \(\lim_{x\to+\infty}F(x)=\frac\pi2\).

Exercice 10 ★★☆ : Sommes de Riemann

Reconnaître une somme de Riemann et calculer la limite :

1. \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+k/n}\)
2. \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n+k}\)
3. \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\e^{k/n}\)
4. \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}\)

Exercice 11 ★★☆ : Encadrement d'intégrales

1. Encadrer \(\displaystyle\int_0^1\frac{1}{1+x^3}\,\mathrm{d}x\).

2. Montrer que \(1\leqslant\displaystyle\int_0^1\e^{x^2}\,\mathrm{d}x\leqslant\e\).

3. Montrer que \(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi^3}{192}\leqslant\displaystyle\int_0^{\pi/4}\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x\leqslant\frac{\pi}{4}\).

Exercice 12 ★★☆ : Linéarisation et intégration trigo

Calculer en linéarisant :

1. \(\displaystyle\int_0^{\pi}\cos^2 x\,\mathrm{d}x\)
2. \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^2 x\,\mathrm{d}x\)
3. \(\displaystyle\int_0^{\pi}\sin^2 x\cos^2 x\,\mathrm{d}x\)

4. \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^4 x\,\mathrm{d}x\) (Indication : \(\cos^4 x=(\cos^2 x)^2\).)

Exercice 13 ★★★ : Démonstrations de cours

1. Démontrer le théorème d'intégration par parties.

2. Démontrer le théorème fondamental de l'analyse.

3. Démontrer que si \(f\) est continue et positive sur \([a,b]\) avec \(\int_a^b f=0\), alors \(f=0\) sur \([a,b]\).

Exercice 14 ★★★ : Les intégrales de Wallis

\(I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,\mathrm{d}x\) pour \(n\in\N\).

1. Calculer \(I_0\) et \(I_1\).

2. Par IPP, montrer la relation de récurrence \(I_n=\frac{n-1}{n}\,I_{n-2}\) pour \(n\geqslant 2\).

3. Calculer \(I_2\), \(I_3\), \(I_4\), \(I_5\).

4. Montrer que \((I_n)\) est décroissante et positive, donc convergente.

5. Montrer que \(\frac{I_{n+1}}{I_n}\to 1\) et en déduire la formule de Wallis : \(\lim_{n\to+\infty}\prod_{k=1}^n\frac{4k^2}{4k^2-1}=\frac\pi2\).

Problème : Inégalités intégrales et approximation de \(\pi\) ★★★

On rappelle que \((\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}\) et que \(\arctan 1=\dfrac{\pi}{4}\).

Partie A : L'intégrale fondamentale et la formule de Leibniz

1. Montrer que \(\displaystyle\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{4}\).

2. Pour \(n\in\N\), en utilisant la formule de la somme géométrique avec la raison \(q=-x^2\), montrer que :

   \[\frac{1}{1+x^2}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k x^{2k}+\frac{(-1)^{n+1}x^{2n+2}}{1+x^2}\]

3. En intégrant sur \([0,1]\), montrer que :

   \[\begin{aligned}\frac{\pi}{4} &=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}+R_n\\\text{où }R_n &=(-1)^{n+1}\int_0^1\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\end{aligned}\]

4. Montrer que \(0\leqslant|R_n|\leqslant\frac{1}{2n+3}\), et en déduire la formule de Leibniz :

   \[\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}\]

5. Combien de termes faut-il pour obtenir \(\pi\) à \(10^{-2}\) près ? À \(10^{-6}\) près ?

Partie B : Sommes de Riemann et encadrement de \(\pi\)

1. En utilisant les sommes de Riemann de \(f(x)=\frac{1}{1+x^2}\) sur \([0,1]\), montrer que :

   \[\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+(k/n)^2}\xrightarrow[n\to+\infty]{}\frac{\pi}{4}\]

2. \(f\) est décroissante sur \([0,1]\). En déduire l'encadrement :

   \[\begin{aligned}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+(k/n)^2} &\leqslant \frac{\pi}{4}\\&\leqslant \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+(k/n)^2}\end{aligned}\]

3. Calculer numériquement pour \(n=4\) et vérifier la cohérence.

Partie C : Formule de Machin : calculer \(\pi\) efficacement

1. Montrer que \(\arctan\frac{1}{2}+\arctan\frac{1}{3}=\frac\pi4\).

   Indication : calculer \(\tan(\alpha+\beta)\) avec \(\alpha=\arctan\frac{1}{2}\), \(\beta=\arctan\frac{1}{3}\).

2. (Bonus : Formule de Machin, 1706) Montrer que :

   \[\frac\pi4=4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}\]

   Indication : poser \(\alpha=\arctan\frac{1}{5}\), calculer \(\tan 2\alpha\), \(\tan 4\alpha\), puis \(\tan(4\alpha-\frac\pi4)\).

3. Expliquer pourquoi la formule de Machin converge beaucoup plus vite que la formule de Leibniz. Combien de termes de la série de \(\arctan\frac{1}{5}\) faut-il pour 10 décimales de \(\pi\) ?

Corrigés détaillés

Exercice 1

a) \(F(x)=x^3-x^2+5x\). Vérif : \(F'=3x^2-2x+5=f(x)\).

b) \(f(x)=x^{-3}\). \(F(x)=\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2x^2}\). Vérif : \(F'=\frac{1}{x^3}\).

c) \(f(x)=x^{1/2}\). \(F(x)=\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x\sqrt{x}\). Vérif : \(F'=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}=\sqrt{x}\).

d) \(F(x)=4\e^x-\ln x\) (sur \(]0,+\infty[\)).

e) \(F(x)=\sin x+3\cos x\). Vérif : \(F'=\cos x-3\sin x=f(x)\).

f) \(F(x)=2\tan x\). Vérif : \(F'=\frac{2}{\cos^2 x}=f(x)\).

g) \(F(x)=5\cdot\frac{\e^{-2x}}{-2}=-\frac{5}{2}\e^{-2x}\). Vérif : \(F'=-\frac{5}{2}\cdot(-2)\e^{-2x}=5\e^{-2x}\).

h) \(f(x)=x^{3/2}\). \(F(x)=\frac{x^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}x^{5/2}\).

Exercice 2

a) \(\int_0^2(3x^2+1)\,\mathrm{d}x=[x^3+x]_0^2=(8+2)-0=10\).

b) \(\int_1^4 x^{-1/2}\,\mathrm{d}x=[2\sqrt{x}]_1^4=2\cdot 2-2\cdot 1=2\).

c) \(\int_0^1\e^{-x}\,\mathrm{d}x=[-\e^{-x}]_0^1=-\e^{-1}+\e^0=1-\frac{1}{\e}\).

d) \(\int_0^{\pi/3}\sin x\,\mathrm{d}x=[-\cos x]_0^{\pi/3}=-\cos\frac\pi3+\cos 0=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}\).

e) \(\int_1^\e\frac{3}{x}\,\mathrm{d}x=[3\ln x]_1^\e=3\ln\e-3\ln 1=3\).

f) \(\int_0^1(x+1)^3\,\mathrm{d}x=[\frac{(x+1)^4}{4}]_0^1=\frac{16}{4}-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}\).

Exercice 3

a) \(F(x)=x^4+C\). \(F(1)=1+C=2\), \(C=1\). \(F(x)=x^4+1\).

b) \(F(x)=\sin x+C\). \(F(\frac\pi2)=1+C=3\), \(C=2\). \(F(x)=\sin x+2\).

c) \(F(x)=\frac{1}{2}\e^{2x}+C\). \(F(0)=\frac{1}{2}+C=1\), \(C=\frac{1}{2}\). \(F(x)=\frac{\e^{2x}+1}{2}\).

d) \(F(x)=\ln x+C\). \(F(1)=0+C=0\), \(C=0\). \(F(x)=\ln x\).

Exercice 4

a) \(u=x^2+x+3\), \(u'=2x+1\). Forme \(\frac{u'}{u}\). Primitive : \(\ln(x^2+x+3)+C\).

b) \(u=3x-1\), \(u'=3\). On a \(u^5\) avec le facteur \(1\) au lieu de \(u'=3\). On ajuste : \(\frac{1}{3}\cdot\frac{(3x-1)^6}{6}=\frac{(3x-1)^6}{18}+C\).

c) \(u=x^2\), \(u'=2x\). On a \(x\e^{u}=\frac{1}{2}u'\e^u\). Primitive : \(\frac{1}{2}\e^{x^2}+C\).

d) \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\). \(u=\cos x\), \(u'=-\sin x\). \(\tan x=-\frac{u'}{u}\). Primitive : \(-\ln|\cos x|+C\).

e) \(u=\e^x+2\), \(u'=\e^x\). Forme \(\frac{u'}{u}\). Primitive : \(\ln(\e^x+2)+C\).

f) \(u=1+x^2\), \(u'=2x\). \(\frac{x}{\sqrt{u}}=\frac{1}{2}\frac{u'}{\sqrt{u}}\). Primitive : \(\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{u}=\sqrt{1+x^2}+C\).

g) \(u=1+\sin x\), \(u'=\cos x\). Forme \(\frac{u'}{u}\). Primitive : \(\ln(1+\sin x)+C\).

h) \(u=x^3\), \(u'=3x^2\). \(x^2\e^{x^3}=\frac{1}{3}u'\e^u\). Primitive : \(\frac{1}{3}\e^{x^3}+C\).

Exercice 5

a) \(\mu=\frac{1}{3}\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3}[\frac{x^3}{3}]_0^3=\frac{1}{3}\cdot 9=3\).

b) \(\mu=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\sin x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{\pi}[-\cos x]_0^\pi=\frac{1}{\pi}(1+1)=\frac{2}{\pi}\approx 0{,}637\).

c) \(\mu=\frac{1}{\ln 2}\int_0^{\ln 2}\e^x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{\ln 2}[\e^x]_0^{\ln 2}=\frac{2-1}{\ln 2}=\frac{1}{\ln 2}\approx 1{,}443\).

d) \(\mu=\frac{1}{1}\int_0^1\frac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x=[\ln(1+x)]_0^1=\ln 2\approx 0{,}693\).

Exercice 6

a) \(x^2\geqslant 0\) sur \([0,2]\), donc \(\mathcal{A}=\int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x=[\frac{x^3}{3}]_0^2=\frac{8}{3}\).

b) \(\sin x\geqslant 0\) sur \([0,\pi]\), \(\sin x\leqslant 0\) sur \([\pi,2\pi]\).

\(\mathcal{A}=\int_0^\pi\sin x\,\mathrm{d}x+\int_\pi^{2\pi}(-\sin x)\,\mathrm{d}x=[-\cos x]_0^\pi+[\cos x]_\pi^{2\pi}=(1+1)+(1+1)=4\).

c) \(x^2=2x\iff x=0\) ou \(2\). Sur \([0,2]\) : \(2x-x^2=x(2-x)\geqslant 0\), donc \(2x\geqslant x^2\).

\(\mathcal{A}=\int_0^2(2x-x^2)\,\mathrm{d}x=[x^2-\frac{x^3}{3}]_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}\).

d) \(\e^x\geqslant 1\) sur \([0,1]\), donc \(\mathcal{A}=\int_0^1(\e^x-1)\,\mathrm{d}x=[\e^x-x]_0^1=(\e-1)-1=\e-2\).

e) \(x^3-x=x(x-1)(x+1)\). Signe : positif sur \([-1,0]\), négatif sur \([0,1]\).

\(\mathcal{A}=\int_{-1}^0(x^3-x)\,\mathrm{d}x+\int_0^1(x-x^3)\,\mathrm{d}x=[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}]_{-1}^0+[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}]_0^1=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\).

Exercice 7

a) \(u=x\), \(v'=\e^x\). \(u'=1\), \(v=\e^x\). \([x\e^x]_0^1-\int_0^1\e^x\,\mathrm{d}x=\e-(\e-1)=1\).

b) \(u=\ln x\), \(v'=1\). \(u'=\frac{1}{x}\), \(v=x\). \([x\ln x]_1^\e-\int_1^\e 1\,\mathrm{d}x=\e-(\e-1)=1\).

c) \(u=x\), \(v'=\cos x\). \(u'=1\), \(v=\sin x\). \([x\sin x]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin x\,\mathrm{d}x=\frac\pi2-[-\cos x]_0^{\pi/2}=\frac\pi2-(0+1)=\frac\pi2-1\).

d) \(u=2x+1\), \(v'=\e^{-x}\). \(u'=2\), \(v=-\e^{-x}\).

\([-(2x+1)\e^{-x}]_0^1+\int_0^1 2\e^{-x}\,\mathrm{d}x=-3\e^{-1}+1+[-2\e^{-x}]_0^1=-3\e^{-1}+1-2\e^{-1}+2=3-\frac{5}{\e}\).

e) \(u=\ln x\), \(v'=x\). \(u'=\frac{1}{x}\), \(v=\frac{x^2}{2}\).

\([\frac{x^2}{2}\ln x]_1^\e-\int_1^\e\frac{x}{2}\,\mathrm{d}x=\frac{\e^2}{2}-[\frac{x^2}{4}]_1^\e=\frac{\e^2}{2}-\frac{\e^2-1}{4}=\frac{\e^2+1}{4}\).

Exercice 8

\(I=\int_0^1 x^2\e^x\,\mathrm{d}x\).

1^re IPP : \(u=x^2\), \(v'=\e^x\), \(u'=2x\), \(v=\e^x\).

\(I=[x^2\e^x]_0^1-\int_0^1 2x\e^x\,\mathrm{d}x=\e-2\int_0^1 x\e^x\,\mathrm{d}x\).

2^e IPP : (Ex. 7a) \(\int_0^1 x\e^x\,\mathrm{d}x=1\).

\(I=\e-2\times 1=\e-2\).

Exercice 9

a) Par le TFA : \(F'(x)=\frac{1}{1+x^2}\) et \(F(0)=\int_0^0\frac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t=0\).

b) \(F'(x)=\frac{1}{1+x^2}>0\) pour tout \(x\in\R\) : \(F\) est strictement croissante.

c) \(F(-x)=\int_0^{-x}\frac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\). Changement de variable \(t=-s\), \(\mathrm{d}t=-\mathrm{d}s\). Quand \(t=0\) : \(s=0\) ; quand \(t=-x\) : \(s=x\).

\(F(-x)=\int_0^x\frac{1}{1+s^2}(-\mathrm{d}s)=-\int_0^x\frac{1}{1+s^2}\,\mathrm{d}s=-F(x)\).

Donc \(F\) est impaire.

d) \(F(1)=\int_0^1\frac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t=[\arctan t]_0^1=\arctan 1-\arctan 0=\frac\pi4\).

e) Pour \(x>0\) : \(F(x)=\int_0^x\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}=\arctan x\). Et \(\lim_{x\to+\infty}\arctan x=\frac\pi2\).

Exercice 10

a) \(f(x)=\frac{1}{1+x}\) continue sur \([0,1]\). \(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+k/n}\) est une somme de Riemann (borne droite). Limite : \(\int_0^1\frac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x=[\ln(1+x)]_0^1=\ln 2\).

b) \(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+k/n}\) : somme de Riemann de \(\frac{1}{1+x}\) sur \([0,1]\). Limite : \(\ln 2\).

c) \(\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\e^{k/n}\) : somme de Riemann de \(\e^x\) sur \([0,1]\). Limite : \(\int_0^1\e^x\,\mathrm{d}x=\e-1\).

d) \(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}\) : somme de Riemann de \(\sqrt{x}\) sur \([0,1]\). Limite : \(\int_0^1\sqrt{x}\,\mathrm{d}x=[\frac{2}{3}x^{3/2}]_0^1=\frac{2}{3}\).

Exercice 11

a) Pour \(x\in[0,1]\) : \(0\leqslant x^3\leqslant 1\), donc \(1\leqslant 1+x^3\leqslant 2\) et \(\frac{1}{2}\leqslant\frac{1}{1+x^3}\leqslant 1\).

En intégrant : \(\frac{1}{2}\leqslant\int_0^1\frac{1}{1+x^3}\,\mathrm{d}x\leqslant 1\).

b) Sur \([0,1]\) : \(0\leqslant x^2\leqslant 1\), donc \(\e^0\leqslant\e^{x^2}\leqslant\e^1\). En intégrant : \(1\leqslant\int_0^1\e^{x^2}\,\mathrm{d}x\leqslant\e\).

c) Pour \(x>0\) : \(\sin x\leqslant x\) (exercice classique), donc \(\frac{\sin x}{x}\leqslant 1\). De plus \(\frac{\sin x}{x}\geqslant 1-\frac{x^2}{6}\) (développement de Taylor). En intégrant sur \([0,\frac\pi4]\) :

\(\int_0^{\pi/4}(1-\frac{x^2}{6})\,\mathrm{d}x\leqslant\int_0^{\pi/4}\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x\leqslant\frac\pi4\).

\([x-\frac{x^3}{18}]_0^{\pi/4}=\frac\pi4-\frac{\pi^3}{18\cdot 64}=\frac\pi4-\frac{\pi^3}{1152}\). Or \(\frac{\pi^3}{1152}\leqslant\frac{\pi^3}{192\cdot 6}\) et \(\frac{\pi^3}{1152}<\frac{\pi^3}{192}\) (en simplifiant). L'encadrement demandé en découle.

Exercice 12

a) \(\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}\). \(\int_0^\pi\frac{1+\cos 2x}{2}\,\mathrm{d}x=[\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}]_0^\pi=\frac\pi2+0=\frac\pi2\).

b) \(\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}\). \(\int_0^{\pi/2}\frac{1-\cos 2x}{2}\,\mathrm{d}x=[\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}]_0^{\pi/2}=\frac\pi4-0=\frac\pi4\).

c) \(\sin^2 x\cos^2 x=(\frac{\sin 2x}{2})^2=\frac{\sin^2 2x}{4}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1-\cos 4x}{2}=\frac{1-\cos 4x}{8}\).

\(\int_0^\pi\frac{1-\cos 4x}{8}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{8}[x-\frac{\sin 4x}{4}]_0^\pi=\frac{\pi}{8}\).

d) \(\cos^4 x=(\cos^2 x)^2=(\frac{1+\cos 2x}{2})^2=\frac{1+2\cos 2x+\cos^2 2x}{4}=\frac{1+2\cos 2x+\frac{1+\cos 4x}{2}}{4}=\frac{3+4\cos 2x+\cos 4x}{8}\).

\(\int_0^{\pi/2}\frac{3+4\cos 2x+\cos 4x}{8}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{8}[3x+2\sin 2x+\frac{\sin 4x}{4}]_0^{\pi/2}=\frac{1}{8}\cdot\frac{3\pi}{2}=\frac{3\pi}{16}\).

Exercice 13

a) \((uv)'=u'v+uv'\). En intégrant : \(\int_a^b(uv)'=\int_a^b u'v+\int_a^b uv'\). Or \(\int_a^b(uv)'=[uv]_a^b\). D'où \(\int_a^b uv'=[uv]_a^b-\int_a^b u'v\).

b) Déjà démontré en détail dans la section 3.8. Idée : \(\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)\,\mathrm{d}t\), encadré par \(m_h\) et \(M_h\to f(x)\) par continuité.

c) Supposons par l'absurde qu'il existe \(x_0\in[a,b]\) tel que \(f(x_0)>0\). Par continuité de \(f\), il existe \(\delta>0\) tel que \(f(x)>\frac{f(x_0)}{2}>0\) sur \(]x_0-\delta,x_0+\delta[\cap[a,b]\). Notons \([\alpha,\beta]\) ce sous-intervalle (de longueur \(>0\)). Alors \(\int_a^b f\geqslant\int_\alpha^\beta f\geqslant\frac{f(x_0)}{2}(\beta-\alpha)>0\). Contradiction avec \(\int_a^b f=0\).

Exercice 14

a) \(I_0=\int_0^{\pi/2}1\,\mathrm{d}x=\frac\pi2\). \(I_1=\int_0^{\pi/2}\cos x\,\mathrm{d}x=[\sin x]_0^{\pi/2}=1\).

b) Écrivons \(I_n=\int_0^{\pi/2}\cos^{n-1}x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x\). IPP : \(u=\cos^{n-1}x\), \(v'=\cos x\), donc \(u'=-(n-1)\cos^{n-2}x\sin x\), \(v=\sin x\).

\(I_n=[\cos^{n-1}x\sin x]_0^{\pi/2}+(n-1)\int_0^{\pi/2}\cos^{n-2}x\sin^2 x\,\mathrm{d}x\).

Le crochet vaut \(0\) (vérifier aux deux bornes). On remplace \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\) :

\(I_n=(n-1)\int_0^{\pi/2}\cos^{n-2}x\,\mathrm{d}x-(n-1)\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,\mathrm{d}x=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n\).

\(I_n+(n-1)I_n=(n-1)I_{n-2}\), soit \(nI_n=(n-1)I_{n-2}\). D'où \(\boxed{I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}}\).

c) \(I_2=\frac{1}{2}I_0=\frac\pi4\). \(I_3=\frac{2}{3}I_1=\frac{2}{3}\). \(I_4=\frac{3}{4}I_2=\frac{3\pi}{16}\). \(I_5=\frac{4}{5}I_3=\frac{8}{15}\).

d) Sur \([0,\frac\pi2]\) : \(0\leqslant\cos x\leqslant 1\), donc \(\cos^{n+1}x\leqslant\cos^n x\). En intégrant : \(I_{n+1}\leqslant I_n\). De plus \(I_n>0\) (intégrale d'une fonction positive non nulle). Donc \((I_n)\) décroissante positive, elle converge.

e) De \(I_{n+1}\leqslant I_n\leqslant I_{n-1}\) et \(I_{n+1}=\frac{n}{n+1}I_{n-1}\) : \(\frac{n}{n+1}\leqslant\frac{I_n}{I_{n-1}}\leqslant 1\), d'où \(\frac{I_n}{I_{n-1}}\to 1\). En calculant \(I_{2n}\cdot I_{2n+1}\) par la récurrence : \(I_{2n}\cdot I_{2n+1}=\frac\pi2\cdot\frac{1}{2n+1}\). Comme \(\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}\to 1\) : \(I_{2n+1}^2\sim\frac\pi{2(2n+1)}\sim\frac\pi{4n}\). Le produit \(\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}=\prod_{k=1}^n\frac{4k^2}{4k^2-1}\cdot\frac{2}{\pi}\to 1\) donne la formule de Wallis.

Corrigé du problème

Partie A : L'intégrale fondamentale et la formule de Leibniz

1. \(\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=[\arctan x]_0^1=\arctan 1-\arctan 0=\frac\pi4-0=\frac\pi4\).

2. La somme géométrique de premier terme \(1\) et de raison \(q=-x^2\) donne :

On isole \(\frac{1}{1+x^2}\) : multiplions les deux côtés par \(\frac{1+x^2}{1+x^2}\) :

Plus directement : de l'égalité \(\sum_{k=0}^n(-1)^k x^{2k}=\frac{1-(-1)^{n+1}x^{2n+2}}{1+x^2}\), on tire :

ce qui est bien le résultat demandé (vérifier en multipliant par \(1+x^2\)).

3. En intégrant terme à terme sur \([0,1]\) :

\(\int_0^1 x^{2k}\,\mathrm{d}x=[\frac{x^{2k+1}}{2k+1}]_0^1=\frac{1}{2k+1}\). Donc \(\frac\pi4=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{2k+1}+R_n\) avec \(R_n=(-1)^{n+1}\int_0^1\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\).

4. \(|R_n|=\int_0^1\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\). Sur \([0,1]\) : \(\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}\leqslant x^{2n+2}\) (car \(1+x^2\geqslant 1\)). D'où \(|R_n|\leqslant\int_0^1 x^{2n+2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2n+3}\to 0\).

Conclusion : \(\frac\pi4=\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{2k+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots\)

5. Précision \(10^{-2}\) : \(\frac{1}{2n+3}\leqslant 10^{-2}\iff 2n+3\geqslant 100\iff n\geqslant 49\). Il faut \(\sim 50\) termes. Précision \(10^{-6}\) : \(n\geqslant 499\,999\), soit \(\sim 500\,000\) termes ! La convergence est très lente.

Partie B : Sommes de Riemann et encadrement de \(\pi\)

6. \(f(x)=\frac{1}{1+x^2}\) est continue sur \([0,1]\). Par le théorème des sommes de Riemann :

\(S_n=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(\frac{k}{n})=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+(k/n)^2}\to\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\frac\pi4\).

7. \(f'(x)=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}<0\) sur \(]0,1]\) : \(f\) est décroissante. Sur \([\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}]\) :

\(f(\frac{k+1}{n})\leqslant f(x)\leqslant f(\frac{k}{n})\). En intégrant puis en sommant :

\(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n})\leqslant\int_0^1 f\leqslant\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(\frac{k}{n})\).

8. \(n=4\) : \(S_4^+=\frac{1}{4}(f(0)+f(\frac{1}{4})+f(\frac{1}{2})+f(\frac{3}{4}))=\frac{1}{4}(1+\frac{16}{17}+\frac{4}{5}+\frac{16}{25})=\frac{1}{4}(1+0{,}941+0{,}8+0{,}64)\approx 0{,}845\).

\(S_4^-=\frac{1}{4}(f(\frac{1}{4})+f(\frac{1}{2})+f(\frac{3}{4})+f(1))=\frac{1}{4}(\frac{16}{17}+\frac{4}{5}+\frac{16}{25}+\frac{1}{2})\approx 0{,}720\).

Donc \(0{,}720\leqslant\frac\pi4\leqslant 0{,}845\), soit \(2{,}88\leqslant\pi\leqslant 3{,}38\). Cohérent avec \(\pi\approx 3{,}14\).

Partie C : Formule de Machin

9. \(\alpha=\arctan\frac{1}{2}\), \(\beta=\arctan\frac{1}{3}\). \(\tan\alpha=\frac{1}{2}\), \(\tan\beta=\frac{1}{3}\).

\(\tan(\alpha+\beta)=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}=\frac{5/6}{5/6}=1\).

\(\alpha,\beta\in\,]0,\frac\pi4[\) donc \(\alpha+\beta\in\,]0,\frac\pi2[\). Or \(\tan(\alpha+\beta)=1\) et \(\alpha+\beta\in\,]0,\frac\pi2[\) : \(\alpha+\beta=\frac\pi4\).

10. (Bonus) Posons \(\alpha=\arctan\frac{1}{5}\). \(\tan\alpha=\frac{1}{5}\).

\(\tan 2\alpha=\frac{2\cdot\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{25}}=\frac{2/5}{24/25}=\frac{50}{120}=\frac{5}{12}\).

\(\tan 4\alpha=\frac{2\cdot\frac{5}{12}}{1-\frac{25}{144}}=\frac{10/12}{119/144}=\frac{10\cdot 144}{12\cdot 119}=\frac{120}{119}\).

\(\tan(4\alpha-\frac\pi4)=\frac{\tan 4\alpha-1}{1+\tan 4\alpha}=\frac{\frac{120}{119}-1}{1+\frac{120}{119}}=\frac{1/119}{239/119}=\frac{1}{239}\).

Donc \(4\alpha-\frac\pi4=\arctan\frac{1}{239}\) (car \(4\alpha\) est proche de \(\frac\pi4\) et la différence est petite et positive). D'où \(\frac\pi4=4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}\).

11. \(\arctan x=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1}+O(x^{2n+3})\) pour \(|x|\leqslant 1\). Pour \(x=\frac{1}{5}\), les termes décroissent comme \(\frac{1}{5^{2k+1}}\), soit un facteur \(\frac{1}{25}\) à chaque étape. Pour \(10\) décimales : \(\frac{1}{5^{2n+1}}\leqslant 10^{-10}\), soit \(5^{2n+1}\geqslant 10^{10}\), ce qui donne \(n\approx 7\). Seulement \(\sim 8\) termes suffisent ! Pour \(\arctan\frac{1}{239}\), la convergence est encore plus rapide (\(1\) ou \(2\) termes suffisent).

La formule de Leibniz nécessiterait \(\sim 5\times 10^{9}\) termes pour la même précision. La formule de Machin est donc environ un milliard de fois plus efficace.