Logarithme népérien

Pourquoi étudier le logarithme ?

Le problème fondamental

Tu sais résoudre \(x^2=5\) (racine carrée) et \(2x+3=7\) (équation affine). Mais comment résoudre \(\e^x=5\) ? Ou \(2^x=1000\) ? Il te faut une opération qui « défait » l'exponentielle, exactement comme la racine carrée défait le carré. Cette opération, c'est le logarithme népérien.

En physique : la datation au carbone 14 utilise \(N(t)=N_0\,\e^{-\lambda t}\). Pour trouver l'âge \(t\) d'un fossile, il faut « inverser » l'exponentielle : \(t=-\frac{1}{\lambda}\ln\!\bigl(\frac{N}{N_0}\bigr)\).

En informatique : la recherche dichotomique dans une liste de \(n\) éléments nécessite \(\lceil\log_2 n\rceil\) étapes. C'est le logarithme qui mesure cette efficacité.

En musique : l'oreille perçoit les sons sur une échelle logarithmique (décibels). Doubler l'intensité ajoute \(\approx 3\) dB, pas le double.

L'idée directrice

L'idée avant la formule

La question fondatrice

Le logarithme transforme les produits en sommes

Graphiquement : le miroir de l'exponentielle

Le cours formel

Définition du logarithme népérien

Propriétés algébriques

Signe du logarithme

Étude complète de la fonction \(\ln\)

Limites de référence

Croissances comparées

Dérivée de \(\ln u\)

Équations et inéquations avec \(\ln\)

Logarithme décimal et changement de base

Boîte à outils : Réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Calcul avec les propriétés

Simplifier sans calculatrice :

1. \(\ln\e^5-2\ln\e\)
2. \(\ln 4+\ln 25\)
3. \(\ln\frac{\e^3}{\sqrt{\e}}\)
4. \(\e^{2\ln 3}\)
5. \(\ln\sqrt[3]{\e^6}\)
6. \(3\ln 2-\ln 4+\ln 50\)

Exercice 2 ★☆☆ : Domaine de définition

Déterminer l'ensemble de définition de :

1. \(f(x)=\ln(3-x)\)
2. \(g(x)=\ln(x^2-4)\)
3. \(h(x)=\ln(\ln x)\)
4. \(k(x)=\ln\!\bigl(\frac{x+1}{x-2}\bigr)\)

Exercice 3 ★☆☆ : Équations

Résoudre dans \(\R\) :

1. \(\ln(2x-1)=0\)
2. \(\ln x+\ln(x-2)=\ln 3\)
3. \(\e^{2x}-5\e^x+6=0\)
4. \(2^x=7\)

Exercice 4 ★☆☆ : Inéquations

Résoudre :

1. \(\ln(x-1)>0\)
2. \(\ln(3x+2)\leqslant 1\)
3. \(\ln x+\ln(x+2)\geqslant\ln 8\)

Exercice 5 ★★☆ : Dérivées

Calculer la dérivée et préciser le domaine :

1. \(f(x)=\ln(3x^2-1)\)
2. \(g(x)=x\ln x-x\)
3. \(h(x)=\ln\!\bigl(\frac{x+1}{x-1}\bigr)\)
4. \(k(x)=(\ln x)^2\)

Exercice 6 ★★☆ : Limites et croissances comparées

Calculer :

1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\)
2. \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^2\ln x\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(\ln x)^2-x\)
4. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x^2+1)}{x}\)
5. \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}\)

Exercice 7 ★★☆ : Étude de fonction

\(f(x)=\frac{\ln x}{x}\) sur \(]0,+\infty[\).

1. Calculer les limites en \(0^+\) et en \(+\infty\).

2. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations.

3. En déduire que l'équation \(\frac{\ln x}{x}=\frac{1}{3}\) admet exactement deux solutions.

Exercice 8 ★★☆ : Étude de fonction avec paramètre

\(f(x)=x-\ln x\) sur \(]0,+\infty[\).

1. Limites, dérivée, tableau de variations.

2. Montrer que \(f(x)\geqslant 1\) pour tout \(x>0\) (inégalité \(\ln x\leqslant x-1\)).

3. En déduire que pour tout \(x>0\) : \(\ln x\leqslant x-1\).

Exercice 9 ★★☆ : Primitive et intégrale

1. Calculer \(\displaystyle\int_1^\e\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x\).

2. Calculer \(\displaystyle\int_1^2\frac{2x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x\).

3. Déterminer une primitive de \(f(x)=\frac{x+1}{x^2+2x+3}\).

4. Calculer \(\displaystyle\int_0^1\frac{\e^x}{\e^x+1}\,\mathrm{d}x\).

Exercice 10 ★★☆ : Suite et logarithme

\(u_n=\ln\!\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)\) pour \(n\geqslant 1\).

1. Montrer que \(u_n>0\) et que \((u_n)\) est décroissante.

2. Calculer \(S_n=\sum_{k=1}^n u_k\) (somme télescopique).

3. Déterminer \(\lim S_n\).

Exercice 11 ★★★ : Démonstrations

1. Démontrer que \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\).

2. Démontrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\).

3. Démontrer que pour tout \(x>0\) : \(\ln x\leqslant x-1\) (avec égalité ssi \(x=1\)).

Exercice 12 ★★★ : Fonction \(x^x\)

Soit \(f(x)=x^x=\e^{x\ln x}\) pour \(x>0\).

1. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)\).

2. Calculer \(f'(x)\).

3. Étudier les variations de \(f\) et dresser son tableau.

4. Déterminer le minimum de \(f\).

Problème : Le logarithme intégral et la fonction \(\mathrm{Li}\) ★★★

On définit pour \(x>0\) : \(L(x)=\displaystyle\int_1^x\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t\).

Partie A : \(L\) coïncide avec \(\ln\)

1. Montrer que \(L\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et calculer \(L'(x)\).

2. Calculer \(L(1)\).

3. Montrer que pour tous \(a,b>0\) : \(L(ab)=L(a)+L(b)\).

   Indication : dans \(\int_1^{ab}\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t\), couper en \(\int_1^a+\int_a^{ab}\) et poser \(t=au\).

4. En déduire que \(L=\ln\).

Partie B : Encadrements intégraux

1. En encadrant \(\frac{1}{t}\) sur \([k,k+1]\) (\(k\geqslant 1\) entier), montrer :

   \[\frac{1}{k+1}\leqslant\ln\!\Bigl(\frac{k+1}{k}\Bigr)\leqslant\frac{1}{k}\]

2. En sommant pour \(k=1,\ldots,n-1\), montrer :

   \[\sum_{k=2}^n\frac{1}{k}\leqslant\ln n\leqslant\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}\]

3. En déduire que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=+\infty\) (divergence de la série harmonique).

4. Montrer que la suite \(\gamma_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n\) est décroissante et minorée par \(0\). En déduire qu'elle converge vers une constante \(\gamma\) (constante d'Euler–Mascheroni, \(\gamma\approx 0{,}577\)).

Partie C : Inégalités classiques

1. Montrer que pour tout \(x>-1\), \(x\neq 0\) : \(\ln(1+x)<x\).

   Indication : étudier \(g(x)=x-\ln(1+x)\).

2. En déduire que pour tout \(x>-1\), \(x\neq 0\) : \(\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x\).

3. (Bonus) Montrer que pour tout \(n\geqslant 1\) : \(\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^n<\e<\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{n+1}\).

Corrigés détaillés

Exercice 1

a) \(\ln\e^5-2\ln\e=5-2(1)=3\).

b) \(\ln 4+\ln 25=\ln(4\times 25)=\ln 100=\ln 10^2=2\ln 10\).

c) \(\ln\frac{\e^3}{\sqrt{\e}}=\ln\e^3-\ln\e^{1/2}=3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\).

d) \(\e^{2\ln 3}=\e^{\ln 3^2}=\e^{\ln 9}=9\).

e) \(\ln\sqrt[3]{\e^6}=\ln\e^{6/3}=\ln\e^2=2\).

f) \(3\ln 2-\ln 4+\ln 50=\ln 2^3-\ln 4+\ln 50=\ln\frac{8\times 50}{4}=\ln 100=2\ln 10\).

Exercice 2

a) \(3-x>0\iff x<3\). \(D_f=\;]-\infty,3[\).

b) \(x^2-4>0\iff (x-2)(x+2)>0\iff x\in\;]-\infty,-2[\;\cup\;]2,+\infty[\). \(D_g=\;]-\infty,-2[\;\cup\;]2,+\infty[\).

c) Il faut \(x>0\) (pour que \(\ln x\) existe) et \(\ln x>0\) (pour que \(\ln(\ln x)\) existe). \(\ln x>0\iff x>1\). \(D_h=\;]1,+\infty[\).

d) \(\frac{x+1}{x-2}>0\) : tableau de signes. Positif sur \(]-\infty,-1[\;\cup\;]2,+\infty[\). \(D_k=\;]-\infty,-1[\;\cup\;]2,+\infty[\).

Exercice 3

a) \(\ln(2x-1)=0\iff 2x-1=\e^0=1\iff x=1\). Condition \(2x-1>0\iff x>\frac{1}{2}\) : OK.

b) Condition : \(x>0\) et \(x-2>0\), soit \(x>2\). \(\ln[x(x-2)]=\ln 3\), donc \(x^2-2x=3\), \(x^2-2x-3=0\), \((x-3)(x+1)=0\). Seul \(x=3>2\) convient.

c) Posons \(X=\e^x\) (\(X>0\)). \(X^2-5X+6=0\), \((X-2)(X-3)=0\), \(X=2\) ou \(X=3\). Donc \(x=\ln 2\) ou \(x=\ln 3\).

d) \(2^x=7\iff x\ln 2=\ln 7\iff x=\frac{\ln 7}{\ln 2}\approx 2{,}807\).

Exercice 4

a) Condition : \(x-1>0\iff x>1\). \(\ln(x-1)>0\iff x-1>1\iff x>2\). Solution : \(x\in\;]2,+\infty[\).

b) Condition : \(3x+2>0\iff x>-\frac{2}{3}\). \(\ln(3x+2)\leqslant 1\iff 3x+2\leqslant\e\iff x\leqslant\frac{\e-2}{3}\). Solution : \(x\in\;\bigl]-\frac{2}{3},\frac{\e-2}{3}\bigr]\).

c) Conditions : \(x>0\) et \(x+2>0\), soit \(x>0\). \(\ln[x(x+2)]\geqslant\ln 8\iff x(x+2)\geqslant 8\) (car \(\ln\) croissante). \(x^2+2x-8\geqslant 0\), \((x+4)(x-2)\geqslant 0\). Comme \(x>0\) : \(x\geqslant 2\). Solution : \(x\in[2,+\infty[\).

Exercice 5

a) \(D_f=\{x\mid 3x^2-1>0\}=\;]-\infty,-\frac{1}{\sqrt{3}}[\;\cup\;]\frac{1}{\sqrt{3}},+\infty[\).

\(f'(x)=\frac{6x}{3x^2-1}\).

b) \(D_g=\;]0,+\infty[\). \(g'(x)=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}-1=\ln x+1-1=\ln x\).

Remarque : \(g'(x)=\ln x\), donc \(g'(x)<0\) pour \(0<x<1\), \(g'(x)=0\) pour \(x=1\), \(g'(x)>0\) pour \(x>1\). Le minimum de \(g\) est \(g(1)=-1\).

c) \(D_h=\;]-\infty,-1[\;\cup\;]1,+\infty[\) (où \(\frac{x+1}{x-1}>0\)). On peut écrire \(h(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)\) (quand les deux sont \(>0\), i.e. \(x>1\)), d'où :

\(h'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{-2}{x^2-1}\).

d) \(D_k=\;]0,+\infty[\). \(k(x)=(\ln x)^2\). \(k'(x)=2\ln x\cdot\frac{1}{x}=\frac{2\ln x}{x}\).

Exercice 6

a) \(\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=\frac{\ln x}{x^{1/2}}\to 0\) par croissance comparée (\(\alpha=\frac{1}{2}\)).

b) \(x^2\ln x\to 0\) en \(0^+\) par croissance comparée (variante 4 avec \(n=2\)).

c) \((\ln x)^2-x=x\Bigl(\frac{(\ln x)^2}{x}-1\Bigr)\). Or \(\frac{(\ln x)^2}{x}\to 0\) (variante 2 avec \(n=2\)), donc le facteur tend vers \(-1\), et \(x\to+\infty\) : \((\ln x)^2-x\to-\infty\).

d) \(\frac{\ln(x^2+1)}{x}\). Pour \(x\to+\infty\), \(x^2+1\sim x^2\), donc \(\ln(x^2+1)\sim\ln(x^2)=2\ln x\). Ainsi \(\frac{\ln(x^2+1)}{x}\sim\frac{2\ln x}{x}\to 0\).

e) \(\frac{\ln x}{x-1}\). Posons \(h=x-1\to 0\). \(\frac{\ln(1+h)}{h}\to 1\) (taux d'accroissement de \(\ln\) en 1). Donc la limite est \(\mathbf{1}\).

Exercice 7

\(f(x)=\frac{\ln x}{x}\) sur \(]0,+\infty[\).

a) En \(0^+\) : \(\ln x\to-\infty\) et \(x\to 0^+\), donc \(f(x)\to-\infty\).

En \(+\infty\) : \(\frac{\ln x}{x}\to 0\) par croissance comparée.

b) \(f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}\).

\(f'(x)=0\iff\ln x=1\iff x=\e\). \(f'(x)>0\) pour \(x<\e\), \(f'(x)<0\) pour \(x>\e\).

Maximum \(f(\e)=\frac{\ln\e}{\e}=\frac{1}{\e}\approx 0{,}368\).

c) \(\frac{\ln x}{x}=\frac{1}{3}\), soit \(f(x)=\frac{1}{3}\). Comme \(\frac{1}{3}<\frac{1}{\e}\approx 0{,}368\) : la droite \(y=\frac{1}{3}\) coupe la courbe en deux points.

Sur \(]0,\e]\) : \(f\) strictement croissante de \(-\infty\) à \(\frac{1}{\e}\), et \(\frac{1}{3}\in]-\infty,\frac{1}{\e}[\) : unique solution par le corollaire du TVI.

Sur \([\e,+\infty[\) : \(f\) strictement décroissante de \(\frac{1}{\e}\) à \(0\), et \(\frac{1}{3}\in]0,\frac{1}{\e}[\) : unique solution par le corollaire du TVI.

Total : exactement deux solutions.

Exercice 8

\(f(x)=x-\ln x\) sur \(]0,+\infty[\).

a) En \(0^+\) : \(x\to 0\) et \(-\ln x\to+\infty\), donc \(f(x)\to+\infty\).

En \(+\infty\) : \(f(x)=x(1-\frac{\ln x}{x})\to+\infty\cdot(1-0)=+\infty\).

\(f'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}\). \(f'(x)=0\iff x=1\). \(f'<0\) sur \(]0,1[\), \(f'>0\) sur \(]1,+\infty[\).

b) Le minimum de \(f\) est \(f(1)=1-\ln 1=1-0=1\). Donc pour tout \(x>0\) : \(f(x)\geqslant 1\), i.e. \(x-\ln x\geqslant 1\).

c) \(x-\ln x\geqslant 1\iff \ln x\leqslant x-1\) pour tout \(x>0\).

Égalité quand \(x=1\) (l'unique minimum). C'est l'inégalité \(\boxed{\ln x\leqslant x-1}\), fondamentale en analyse.

Interprétation géométrique : la courbe \(y=\ln x\) est entièrement en dessous de sa tangente en \((1,0)\), qui est \(y=x-1\). Cela traduit la concavité de \(\ln\).

Exercice 9

a) \(\displaystyle\int_1^\e\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=[\ln x]_1^\e=\ln\e-\ln 1=1-0=1\).

b) \(\frac{2x}{x^2+1}=\frac{u'}{u}\) avec \(u(x)=x^2+1\). Donc \(\displaystyle\int_1^2\frac{2x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x=[\ln(x^2+1)]_1^2=\ln 5-\ln 2=\ln\frac{5}{2}\).

c) \(x^2+2x+3=(x+1)^2+2>0\). \(f(x)=\frac{x+1}{x^2+2x+3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2(x+1)}{x^2+2x+3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{u'}{u}\) avec \(u=x^2+2x+3\), \(u'=2x+2=2(x+1)\). Primitive : \(F(x)=\frac{1}{2}\ln(x^2+2x+3)+C\).

d) \(\frac{\e^x}{\e^x+1}=\frac{u'}{u}\) avec \(u(x)=\e^x+1\). \(\displaystyle\int_0^1\frac{\e^x}{\e^x+1}\,\mathrm{d}x=[\ln(\e^x+1)]_0^1=\ln(\e+1)-\ln 2=\ln\!\Bigl(\frac{\e+1}{2}\Bigr)\).

Exercice 10

a) \(u_n=\ln(1+\frac{1}{n})\). Comme \(\frac{1}{n}>0\), \(1+\frac{1}{n}>1\), donc \(u_n=\ln(1+\frac{1}{n})>0\).

Décroissance : \(u_{n+1}-u_n=\ln(1+\frac{1}{n+1})-\ln(1+\frac{1}{n})=\ln\!\Bigl(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\Bigr)=\ln\!\Bigl(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\Bigr)\).

Or \(n(n+2)=n^2+2n<n^2+2n+1=(n+1)^2\), donc \(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}<1\) et \(u_{n+1}-u_n<0\).

b) \(S_n=\sum_{k=1}^n\ln\!\bigl(\frac{k+1}{k}\bigr)=\sum_{k=1}^n[\ln(k+1)-\ln k]\) : somme télescopique.

\(S_n=\ln(n+1)-\ln 1=\ln(n+1)\).

c) \(S_n=\ln(n+1)\to+\infty\) quand \(n\to+\infty\).

Exercice 11

a) Posons \(\alpha=\ln a\), \(\beta=\ln b\) (i.e. \(a=\e^\alpha\), \(b=\e^\beta\)). Alors \(ab=\e^\alpha\cdot\e^\beta=\e^{\alpha+\beta}\). En appliquant \(\ln\) : \(\ln(ab)=\alpha+\beta=\ln a+\ln b\).

b) Pour \(x>0\), posons \(x=\e^t\). Quand \(x\to+\infty\), \(t\to+\infty\). \(\frac{\ln x}{x}=\frac{t}{\e^t}\).

Or pour \(t\geqslant 0\) : \(\e^t\geqslant 1+t+\frac{t^2}{2}\) (par convexité ou Taylor), donc \(\frac{t}{\e^t}\leqslant\frac{t}{1+t+t^2/2}\leqslant\frac{t}{t^2/2}=\frac{2}{t}\to 0\).

Par le théorème des gendarmes (car \(\frac{t}{\e^t}\geqslant 0\)) : \(\frac{\ln x}{x}\to 0\).

c) \(g(x)=x-1-\ln x\) pour \(x>0\). \(g'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}\).

\(g'(x)<0\) sur \(]0,1[\), \(g'(x)=0\) en \(x=1\), \(g'(x)>0\) sur \(]1,+\infty[\).

Minimum en \(x=1\) : \(g(1)=0\). Donc \(g(x)\geqslant 0\) pour tout \(x>0\), avec égalité ssi \(x=1\).

D'où \(\ln x\leqslant x-1\) pour tout \(x>0\).

Exercice 12

\(f(x)=x^x=\e^{x\ln x}\) pour \(x>0\).

a) \(\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0\) (croissance comparée). Donc \(\e^{x\ln x}\to\e^0=1\). \(\lim_{x\to 0^+}f(x)=1\).

b) Posons \(\varphi(x)=x\ln x\), alors \(f(x)=\e^{\varphi(x)}\).

\(\varphi'(x)=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}=\ln x+1\).

\(f'(x)=\varphi'(x)\cdot\e^{\varphi(x)}=(\ln x+1)\cdot x^x\).

c) \(f'(x)=0\iff\ln x+1=0\iff\ln x=-1\iff x=\e^{-1}=\frac{1}{\e}\) (car \(x^x>0\) toujours).

\(f'(x)<0\) pour \(0<x<\frac{1}{\e}\) (car \(\ln x<-1\)), \(f'(x)>0\) pour \(x>\frac{1}{\e}\).

d) Minimum : \(f\!\bigl(\frac{1}{\e}\bigr)=\bigl(\frac{1}{\e}\bigr)^{1/\e}=\e^{-1/\e}\approx 0{,}692\).

Corrigé du problème

Partie A : \(L\) coïncide avec \(\ln\)

1. Par le théorème fondamental de l'analyse, \(L(x)=\int_1^x\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et \(L'(x)=\frac{1}{x}\).

2. \(L(1)=\int_1^1\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t=0\).

3. \(L(ab)=\int_1^{ab}\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t=\int_1^a\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t+\int_a^{ab}\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t=L(a)+\int_a^{ab}\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t\).

Dans la seconde intégrale, posons \(t=au\), \(\mathrm{d}t=a\,\mathrm{d}u\). Quand \(t=a\), \(u=1\) ; quand \(t=ab\), \(u=b\).

Donc \(L(ab)=L(a)+L(b)\).

4. On a montré que \(L\) est dérivable, \(L'(x)=\frac{1}{x}=(\ln x)'\), et \(L(1)=0=\ln 1\). Deux primitives de \(\frac{1}{x}\) ne diffèrent que d'une constante : \(L(x)=\ln x+C\). Or \(L(1)=\ln 1=0\) : donc \(C=0\) et \(L=\ln\).

Partie B : Encadrements intégraux

5. Sur \([k,k+1]\) : \(\frac{1}{k+1}\leqslant\frac{1}{t}\leqslant\frac{1}{k}\) (car \(k\leqslant t\leqslant k+1\) et \(t\mapsto\frac{1}{t}\) décroissante). En intégrant sur \([k,k+1]\) (intervalle de longueur 1) :

Or \(\int_k^{k+1}\frac{1}{t}\,\mathrm{d}t=\ln(k+1)-\ln k=\ln\!\bigl(\frac{k+1}{k}\bigr)\).

6. On somme l'encadrement pour \(k=1,\ldots,n-1\) :

Le terme central est télescopique : \(\ln n-\ln 1=\ln n\). À gauche, en reindexant (\(j=k+1\)) : \(\sum_{j=2}^n\frac{1}{j}\). D'où :

7. De l'inégalité de droite : \(\ln n\leqslant\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}\), donc \(\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}\geqslant\ln n\to+\infty\). La série harmonique diverge.

8. \(\gamma_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n\). Montrons que \((\gamma_n)\) est décroissante :

Par l'encadrement de la question 5 avec \(k=n\) : \(\frac{1}{n+1}\leqslant\ln(\frac{n+1}{n})\), donc \(\gamma_n-\gamma_{n+1}\geqslant 0\).

Minorant : par l'inégalité de gauche de la question 6, \(\sum_{k=2}^n\frac{1}{k}\leqslant\ln n\), donc \(\gamma_n=\frac{1}{1}+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k}-\ln n\leqslant 1+\ln n-\ln n=1\). Et par l'inégalité de droite : \(\ln n\leqslant\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}\leqslant\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\), donc \(\gamma_n\geqslant 0\).

\((\gamma_n)\) décroissante et minorée par 0 : elle converge vers \(\gamma\approx 0{,}5772\) (constante d'Euler–Mascheroni).

Partie C : Inégalités classiques

9. \(g(x)=x-\ln(1+x)\) pour \(x>-1\). \(g'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}\).

\(g'(x)<0\) sur \(]-1,0[\), \(g'(x)=0\) en \(x=0\), \(g'(x)>0\) sur \(]0,+\infty[\).

Minimum en \(x=0\) : \(g(0)=0\). Donc \(g(x)\geqslant 0\) pour tout \(x>-1\), avec égalité ssi \(x=0\).

D'où \(\ln(1+x)\leqslant x\) pour tout \(x>-1\), avec égalité ssi \(x=0\).

Pour l'inégalité stricte (\(x\neq 0\)) : comme le minimum est atteint uniquement en 0, si \(x\neq 0\) alors \(g(x)>0\), i.e. \(\ln(1+x)<x\).

10. Appliquons l'inégalité \(\ln(1+u)<u\) (pour \(u\neq 0\), \(u>-1\)) à \(u=\frac{-x}{1+x}\) (valide pour \(x>-1\), \(x\neq 0\), car \(\frac{-x}{1+x}>-1\iff\frac{1}{1+x}>0\), vrai pour \(x>-1\)).

\(\ln\!\bigl(1+\frac{-x}{1+x}\bigr)<\frac{-x}{1+x}\), soit \(\ln\!\bigl(\frac{1}{1+x}\bigr)<\frac{-x}{1+x}\), i.e. \(-\ln(1+x)<\frac{-x}{1+x}\).

En multipliant par \(-1\) (et renversant l'inégalité) : \(\ln(1+x)>\frac{x}{1+x}\).

Bilan : pour \(x>-1\), \(x\neq 0\) : \(\boxed{\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x}\).

11. (Bonus) De \(\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x\) avec \(x=\frac{1}{n}>0\) :

En multipliant par \(n\) : \(\frac{n}{n+1}<n\ln\!\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)<1\).

L'inégalité de droite donne \(n\ln(1+\frac{1}{n})<1\), donc \(\ln(1+\frac{1}{n})^n<1\), i.e. \((1+\frac{1}{n})^n<\e\).

L'inégalité de gauche donne \(\frac{n}{n+1}<\ln(1+\frac{1}{n})\), donc \(1<\frac{n+1}{n}\ln(1+\frac{1}{n})=(n+1)\ln(1+\frac{1}{n})\), i.e. \(\e<(1+\frac{1}{n})^{n+1}\).

Bilan : \(\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)^n<\e<\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)^{n+1}\).

Remarque : quand \(n\to+\infty\), les deux bornes tendent vers \(\e\). On retrouve la définition classique \(\e=\lim_{n\to+\infty}(1+\frac{1}{n})^n\).