Fonction exponentielle

Pourquoi étudier l'exponentielle ?

Le problème fondamental

Quelle fonction vérifie \(f'=f\) ? Plus précisément : existe-t-il une fonction égale à sa propre dérivée ? Cette question, a priori très abstraite, surgit naturellement dès qu'on modélise la réalité.

En physique : la décroissance radioactive obéit à \(N'(t)=-\lambda N(t)\), dont la solution est \(N(t)=N_0\,\e^{-\lambda t}\). Le carbone 14 (\(\lambda\approx 1{,}21\times 10^{-4}\,\text{an}^{-1}\)) permet de dater des fossiles jusqu'à \(50\,000\) ans.

En biologie : une population de bactéries double toutes les \(20\) minutes. Après \(t\) minutes : \(N(t)=N_0\cdot 2^{t/20}=N_0\,\e^{t\ln 2/20}\).

En finance : un capital \(C_0\) placé au taux annuel \(r\) avec intérêts composés continus vaut \(C(t)=C_0\,\e^{rt}\) après \(t\) années.

En thermique : la loi de Newton donne \(T(t)-T_{\text{amb}}=(T_0-T_{\text{amb}})\,\e^{-kt}\) : le café refroidit exponentiellement.

L'idée directrice

L'idée avant la formule

La fonction qui est sa propre dérivée

La croissance exponentielle au quotidien

Sommes \(\to\) produits

Graphiquement

Le cours formel

Existence et unicité

Le nombre \(\e\)

Relation fonctionnelle

Signe et position par rapport à 1

Étude complète de la fonction exponentielle

Limites de référence

Croissances comparées

Dérivée de \(\e^u\)

Équations et inéquations avec l'exponentielle

Fonctions \(a^x\) et exponentielle de base \(a\)

Équations différentielles \(y'=ay\)

Boîte à outils : Réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Simplifications

Simplifier sans calculatrice :

1. \(\e^2\cdot\e^3\)
2. \(\dfrac{\e^5}{\e^2}\)
3. \((\e^{-1})^4\)
4. \(\e^{\ln 7}\)
5. \(\sqrt{\e^6}\)
6. \(\e^{2\ln 3+\ln 4}\)

Exercice 2 ★☆☆ : Équations élémentaires

Résoudre dans \(\R\) :

1. \(\e^{3x-2}=1\)
2. \(\e^{x^2}=\e^{4}\)
3. \(\e^{2x}=5\)
4. \(3\e^x-12=0\)

Exercice 3 ★☆☆ : Inéquations élémentaires

Résoudre dans \(\R\) :

1. \(\e^{2x-1}>1\)
2. \(\e^{-x}\leqslant\e^3\)
3. \(\e^x<7\)
4. \(\e^{x^2}\geqslant\e^9\)

Exercice 4 ★★☆ : Équations avec changement de variable

Résoudre dans \(\R\) :

1. \(\e^{2x}-5\e^x+4=0\)
2. \(\e^{2x}+3\e^x-10=0\)
3. \(2\e^{2x}-7\e^x+3=0\)
4. \(4^x-3\cdot 2^x-4=0\)

Exercice 5 ★★☆ : Dérivées

Calculer la dérivée :

1. \(f(x)=x^2\e^x\)
2. \(g(x)=(3x-1)\e^{-2x}\)
3. \(h(x)=\e^{x^2-3x+1}\)

4. \(k(x)=\dfrac{\e^x}{x+1}\) (\(x\neq -1\))

Exercice 6 ★★☆ : Limites

Calculer :

1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x^3-2x)\e^{-x}\)
2. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)\e^x\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\e^x-x^2}{\e^x+1}\)
4. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\e^x-\e^{-x}\)
5. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\e^{2x}-1}{x}\)

Exercice 7 ★★☆ : Étude de \(f(x)=x\e^{-x}\)

1. Déterminer les limites en \(-\infty\) et \(+\infty\).

2. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations complet.

3. Déterminer l'équation de la tangente en \(x=0\).

4. Montrer que l'équation \(f(x)=k\) a exactement deux solutions si et seulement si \(0<k<\frac{1}{\e}\).

Exercice 8 ★★☆ : Étude de \(f(x)=(1-x)\e^x\)

1. Limites en \(\pm\infty\).

2. Dérivée, variations, maximum.

3. Position par rapport à l'axe des \(x\).

4. Équation de la tangente au point d'inflexion.

Exercice 9 ★★☆ : Inégalité \(\e^x\geqslant x+1\)

1. Démontrer que \(\e^x\geqslant x+1\) pour tout \(x\in\R\).

2. En déduire que \(\e^x\geqslant 1+x+\frac{x^2}{2}\) pour \(x\geqslant 0\).

   Indication : étudier \(g(x)=\e^x-1-x-\frac{x^2}{2}\) sur \([0,+\infty[\) en utilisant a).

3. Encadrer \(\e\) en utilisant b) avec des valeurs de \(x\).

Exercice 10 ★★☆ : Équation différentielle

1. Résoudre \(y'=-3y\), \(y(0)=5\).

2. Résoudre \(y'=2y\), \(y(1)=\e^2\).

3. Un médicament se dégrade selon \(Q'(t)=-0{,}15\,Q(t)\), \(Q(0)=500\) mg. Exprimer \(Q(t)\), puis déterminer la demi-vie.

Exercice 11 ★★☆ : Primitives et intégrales

Calculer :

1. \(\displaystyle\int_0^1\e^{2x}\,\mathrm{d}x\)
2. \(\displaystyle\int_0^{\ln 2}\frac{\e^x}{\e^x+1}\,\mathrm{d}x\)
3. \(\displaystyle\int_0^1 x\e^{x^2}\,\mathrm{d}x\)

4. Primitive de \(f(x)=(2x+1)\e^{x^2+x}\).

Exercice 12 ★★★ : Démonstrations de cours

1. Démontrer la relation fonctionnelle \(\e^{a+b}=\e^a\cdot\e^b\).

2. Démontrer \(\lim_{x\to+\infty}\frac{\e^x}{x}=+\infty\).

3. Démontrer que les solutions de \(y'=ay\) sont \(y=C\e^{ax}\).

Exercice 13 ★★★ : Suite et exponentielle

\(u_0=1\), \(u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+\e^{-u_n})\).

1. Montrer que \(u_n>0\) pour tout \(n\).

2. Montrer que \((u_n)\) est décroissante.

3. En déduire que \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.

Exercice 14 ★★★ : Tangentes passant par l'origine

Déterminer toutes les tangentes à la courbe \(y=\e^x\) passant par l'origine.

Problème : L'exponentielle par les séries ★★★

On définit, pour \(x\in\R\) et \(n\in\N\) : \(S_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\).

Partie A : Convergence

1. Montrer que pour tout \(x\in\R\) et tout \(k\geqslant 2|x|\) : \(\Bigl|\frac{x^k}{k!}\Bigr|\leqslant\frac{1}{2^{k/2}}\).

   Indication : pour \(k\geqslant 2|x|\), \(\frac{|x|}{k}\leqslant\frac{1}{2}\).

2. En déduire que la série \(\sum\frac{x^k}{k!}\) converge absolument pour tout \(x\in\R\).

3. On note \(E(x)=\lim_{n\to+\infty}S_n(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{x^k}{k!}\). Calculer \(E(0)\) et \(E(1)\).

Partie B : \(E\) vérifie \(E'=E\)

1. Calculer \(S_n'(x)\) et montrer que \(S_n'(x)=S_{n-1}(x)\).

2. (Admis en terminale) En déduire que \(E'(x)=E(x)\).

3. Vérifier que \(E(0)=1\). Conclure que \(E=\exp\).

Partie C : Relation fonctionnelle par les séries

1. (Difficile) En utilisant la formule du binôme de Newton, montrer que \(S_n(a+b)=\sum_{j=0}^n\sum_{i=0}^j\frac{a^i\,b^{j-i}}{i!\,(j-i)!}\).

2. En déduire que \(E(a+b)=E(a)\cdot E(b)\). Interpréter.

Partie D : Irrationalité de \(\e\)

1. Montrer que pour tout \(n\geqslant 1\) : \(0<\e-S_n(1)<\frac{1}{n!\cdot n}\).

   Indication : majorer \(\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k!}\) par une série géométrique.

2. Supposons \(\e=\frac{p}{q}\) avec \(p,q\in\N^*\). Montrer que \(q!\,\e-q!\,S_q(1)\) est un entier.

3. En déduire une contradiction en utilisant la question 9, et conclure que \(\e\) est irrationnel.

Corrigés détaillés

Exercice 1

a) \(\e^2\cdot\e^3=\e^{2+3}=\e^5\).

b) \(\frac{\e^5}{\e^2}=\e^{5-2}=\e^3\).

c) \((\e^{-1})^4=\e^{-4}\).

d) \(\e^{\ln 7}=7\) (car \(\e^{\ln x}=x\) pour \(x>0\)).

e) \(\sqrt{\e^6}=\e^{6/2}=\e^3\).

f) \(\e^{2\ln 3+\ln 4}=\e^{\ln 3^2}\cdot\e^{\ln 4}=9\times 4=36\).

Exercice 2

a) \(\e^{3x-2}=1=\e^0\iff 3x-2=0\iff x=\frac{2}{3}\).

b) \(\e^{x^2}=\e^4\iff x^2=4\iff x=\pm 2\).

c) \(\e^{2x}=5\iff 2x=\ln 5\iff x=\frac{\ln 5}{2}\).

d) \(3\e^x=12\iff\e^x=4\iff x=\ln 4=2\ln 2\).

Exercice 3

a) \(\e^{2x-1}>1=\e^0\iff 2x-1>0\iff x>\frac{1}{2}\). \(S=\;\bigl]\frac{1}{2},+\infty\bigr[\).

b) \(\e^{-x}\leqslant\e^3\iff -x\leqslant 3\iff x\geqslant -3\). \(S=[-3,+\infty[\).

c) \(\e^x<7\iff x<\ln 7\). \(S=\;]-\infty,\ln 7[\).

d) \(\e^{x^2}\geqslant\e^9\iff x^2\geqslant 9\iff |x|\geqslant 3\iff x\leqslant -3\) ou \(x\geqslant 3\). \(S=\;]-\infty,-3]\cup[3,+\infty[\).

Exercice 4

a) \(X=\e^x>0\). \(X^2-5X+4=0\), \((X-1)(X-4)=0\), \(X=1\) ou \(X=4\). \(x=0\) ou \(x=\ln 4=2\ln 2\).

b) \(X^2+3X-10=0\), \((X+5)(X-2)=0\). Seul \(X=2>0\). \(x=\ln 2\).

c) \(2X^2-7X+3=0\). \(\Delta=49-24=25\). \(X=\frac{7\pm 5}{4}\), soit \(X=3\) ou \(X=\frac{1}{2}\). Les deux sont \(>0\). \(x=\ln 3\) ou \(x=\ln\frac{1}{2}=-\ln 2\).

d) \(4^x=(2^2)^x=(2^x)^2\). Posons \(Y=2^x>0\). \(Y^2-3Y-4=0\), \((Y-4)(Y+1)=0\). Seul \(Y=4>0\). \(2^x=4=2^2\), \(x=2\).

Exercice 5

a) \(f'(x)=2x\e^x+x^2\e^x=(2x+x^2)\e^x=x(x+2)\e^x\).

b) \(g'(x)=3\e^{-2x}+(3x-1)(-2)\e^{-2x}=(3-6x+2)\e^{-2x}=(5-6x)\e^{-2x}\).

c) \(u(x)=x^2-3x+1\), \(u'(x)=2x-3\). \(h'(x)=(2x-3)\e^{x^2-3x+1}\).

d) \(k'(x)=\frac{\e^x(x+1)-\e^x\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{x\,\e^x}{(x+1)^2}\).

Exercice 6

a) \(\lim_{x\to+\infty}(x^3-2x)\e^{-x}=\lim\frac{x^3-2x}{\e^x}=0\) (croissance comparée : \(\e^x\) bat \(x^3\)).

b) \(\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)\e^x\). Posons \(t=-x\to+\infty\) : \((t^2+1)\e^{-t}=\frac{t^2+1}{\e^t}\to 0\).

c) \(\frac{\e^x-x^2}{\e^x+1}=\frac{1-x^2/\e^x}{1+1/\e^x}\to\frac{1-0}{1+0}=1\).

d) \(\e^x-\e^{-x}=\e^x(1-\e^{-2x})\to+\infty\cdot(1-0)=+\infty\).

e) \(\frac{\e^{2x}-1}{x}=2\cdot\frac{\e^{2x}-1}{2x}\). En posant \(u=2x\to 0\) : \(\frac{\e^u-1}{u}\to 1\), donc la limite est \(\mathbf{2}\).

Exercice 7

\(f(x)=x\e^{-x}\).

a) \(\lim_{x\to-\infty}x\e^{-x}\). Posons \(t=-x\to+\infty\) : \(f=-t\e^t\to-\infty\) (car \(t\e^t\to+\infty\)).

\(\lim_{x\to+\infty}x\e^{-x}=\lim\frac{x}{\e^x}=0\) (croissance comparée).

b) \(f'(x)=\e^{-x}+x(-\e^{-x})=(1-x)\e^{-x}\). Comme \(\e^{-x}>0\) : signe de \(f'\) = signe de \(1-x\).

\(f'(x)>0\) pour \(x<1\), \(f'(x)=0\) pour \(x=1\), \(f'(x)<0\) pour \(x>1\).

Maximum : \(f(1)=1\cdot\e^{-1}=\frac{1}{\e}\approx 0{,}368\).

c) \(f(0)=0\), \(f'(0)=(1-0)\e^0=1\). Tangente : \(y=x\).

d) \(f(x)=k\). D'après le tableau, \(f\) atteint le maximum \(\frac{1}{\e}\).

Si \(k>\frac{1}{\e}\) : aucune solution (\(k\) au-dessus du max).

Si \(k=\frac{1}{\e}\) : exactement une solution (\(x=1\)).

Si \(0<k<\frac{1}{\e}\) : la droite \(y=k\) coupe la courbe une fois sur \(]-\infty,1[\) (croissante de \(-\infty\) à \(\frac{1}{\e}\)) et une fois sur \(]1,+\infty[\) (décroissante de \(\frac{1}{\e}\) à \(0\)). Total : exactement 2 solutions.

Si \(k=0\) : unique solution \(x=0\).

Si \(k<0\) : unique solution (car \(f\) va de \(-\infty\) à \(0\), croissante jusqu'à \(x=1\)).

Exercice 8

\(f(x)=(1-x)\e^x\).

a) \(\lim_{x\to+\infty}(1-x)\e^x\). On écrit \(f(x)=\e^x-x\e^x\). Or \(\e^x\to+\infty\) et \(x\e^x\to+\infty\) : forme \(+\infty-\infty\). Factorisons : \(f(x)=\e^x(1-x)\to+\infty\cdot(-\infty)=-\infty\).

Plus rigoureusement : pour \(x\geqslant 2\), \(1-x\leqslant -1\) donc \(f(x)\leqslant-\e^x\to-\infty\).

\(\lim_{x\to-\infty}(1-x)\e^x\). \((1-x)\to+\infty\), \(\e^x\to 0\). Forme \(+\infty\cdot 0\). Écrivons \(f(x)=\e^x-x\e^x\), et \(x\e^x\to 0\) (variante 2 des croissances comparées). Donc \(f(x)\to 0-0=0\).

Asymptote \(y=0\) en \(-\infty\).

b) \(f'(x)=-\e^x+(1-x)\e^x=(-1+1-x)\e^x=-x\e^x\). Signe de \(f'\) = signe de \(-x\).

Maximum : \(f(0)=(1-0)\e^0=1\).

c) \(f(x)=0\iff(1-x)\e^x=0\iff 1-x=0\iff x=1\) (car \(\e^x\neq 0\)). Pour \(x<1\) : \(f>0\). Pour \(x>1\) : \(f<0\).

d) \(f''(x)=-\e^x-x\e^x=-(1+x)\e^x\). \(f''(x)=0\iff x=-1\).

Point d'inflexion en \((-1,f(-1))=(-1,2\e^{-1})\).

Tangente : \(f'(-1)=-(-1)\e^{-1}=\e^{-1}\). \(y=\e^{-1}(x+1)+2\e^{-1}=\e^{-1}(x+3)\).

Exercice 9

a) \(f(x)=\e^x-x-1\). \(f'(x)=\e^x-1\). \(f'(x)=0\iff x=0\). \(f'<0\) sur \(]-\infty,0[\), \(f'>0\) sur \(]0,+\infty[\).

Minimum \(f(0)=0\). Donc \(f(x)\geqslant 0\) : \(\e^x\geqslant x+1\) pour tout \(x\).

b) \(g(x)=\e^x-1-x-\frac{x^2}{2}\) pour \(x\geqslant 0\). \(g'(x)=\e^x-1-x\).

Par a), \(\e^x\geqslant x+1\), donc \(g'(x)=\e^x-1-x\geqslant(x+1)-1-x=0\) pour tout \(x\).

Ainsi \(g'\geqslant 0\) sur \([0,+\infty[\) : \(g\) est croissante. Comme \(g(0)=0\), on a \(g(x)\geqslant 0\) pour \(x\geqslant 0\).

D'où \(\e^x\geqslant 1+x+\frac{x^2}{2}\) pour tout \(x\geqslant 0\).

c) \(x=1\) : \(\e\geqslant 1+1+\frac{1}{2}=2{,}5\). On sait aussi \(\e<3\).

On peut aller plus loin par le même raisonnement : en posant \(h(x)=\e^x-1-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\), on montre \(h'(x)=g(x)\geqslant 0\), etc. Pour \(x=1\) : \(\e\geqslant 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{8}{3}\approx 2{,}667\).

Avec un terme de plus : \(\e\geqslant 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=\frac{65}{24}\approx 2{,}708\). Ceci converge vers \(\e\approx 2{,}718\).

Exercice 10

a) \(y'=-3y\), \(y(0)=5\). Solutions de \(y'=-3y\) : \(y(x)=C\e^{-3x}\). \(y(0)=C=5\). Donc \(y(x)=5\e^{-3x}\).

b) Solutions de \(y'=2y\) : \(y(x)=C\e^{2x}\). \(y(1)=C\e^2=\e^2\), donc \(C=1\). \(y(x)=\e^{2x}\).

c) \(Q(t)=500\,\e^{-0{,}15\,t}\) (mg).

Demi-vie : \(Q(t_{1/2})=250\iff\e^{-0{,}15\,t}=\frac{1}{2}\iff -0{,}15\,t=\ln\frac{1}{2}=-\ln 2\iff t=\frac{\ln 2}{0{,}15}\approx 4{,}62\) h.

Exercice 11

a) \(\int_0^1\e^{2x}\,\mathrm{d}x=\bigl[\frac{1}{2}\e^{2x}\bigr]_0^1=\frac{\e^2-1}{2}\).

b) \(\frac{\e^x}{\e^x+1}=\frac{u'}{u}\) avec \(u=\e^x+1\). \(\int_0^{\ln 2}\frac{\e^x}{\e^x+1}\mathrm{d}x=[\ln(\e^x+1)]_0^{\ln 2}=\ln(2+1)-\ln(1+1)=\ln 3-\ln 2=\ln\frac{3}{2}\).

c) \(x\e^{x^2}=\frac{1}{2}\cdot 2x\,\e^{x^2}=\frac{1}{2}u'\e^u\) avec \(u=x^2\). \(\int_0^1 x\e^{x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}[\e^{x^2}]_0^1=\frac{\e-1}{2}\).

d) \(u(x)=x^2+x\), \(u'(x)=2x+1\). \((2x+1)\e^{x^2+x}=u'\e^u\). Primitive : \(F(x)=\e^{x^2+x}+C\).

Exercice 12

a) Fixons \(a\in\R\). Posons \(g(x)=\e^{a+x}\cdot\e^{-x}\).

\(g'(x)=\e^{a+x}\cdot\e^{-x}+\e^{a+x}\cdot(-\e^{-x})=0\).

\(g\) constante : \(g(x)=g(0)=\e^a\cdot 1=\e^a\). Pour \(x=b\) : \(\e^{a+b}\cdot\e^{-b}=\e^a\), d'où \(\e^{a+b}=\e^a\cdot\e^b\).

b) De \(\e^x\geqslant x+1\), pour \(t\geqslant 0\) : \(\e^{t/2}\geqslant 1+\frac{t}{2}\geqslant\frac{t}{2}\), donc \(\e^t=(\e^{t/2})^2\geqslant\frac{t^2}{4}\).

Ainsi \(\frac{\e^x}{x}=\frac{\e^x}{x}\geqslant\frac{x}{4}\) pour \(x>0\), et \(\frac{x}{4}\to+\infty\). D'où \(\frac{\e^x}{x}\to+\infty\).

c) Soit \(y\) solution de \(y'=ay\). Posons \(g(x)=y(x)\e^{-ax}\).

\(g'(x)=y'(x)\e^{-ax}+y(x)(-a\e^{-ax})=\e^{-ax}(y'(x)-ay(x))=0\) car \(y'=ay\).

\(g\) constante : \(g(x)=C\). Donc \(y(x)=C\e^{ax}\). Réciproquement, \(y=C\e^{ax}\) vérifie \(y'=aC\e^{ax}=ay\).

Exercice 13

\(f(x)=\frac{1}{2}(x+\e^{-x})\), \(u_0=1\), \(u_{n+1}=f(u_n)\).

a) Si \(u_n>0\) : \(u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+\e^{-u_n})>\frac{1}{2}(0+\e^{-u_n})>0\) (car \(\e^{-u_n}>0\)). Par récurrence : \(u_n>0\) pour tout \(n\).

b) \(u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2}(u_n+\e^{-u_n})-u_n=\frac{1}{2}(\e^{-u_n}-u_n)\).

Posons \(\varphi(x)=\e^{-x}-x\). \(\varphi'(x)=-\e^{-x}-1<0\) : \(\varphi\) strictement décroissante. \(\varphi(0)=1>0\), \(\varphi(1)=\e^{-1}-1\approx -0{,}63<0\). Par le TVI : \(\varphi\) s'annule en un unique \(\alpha\in]0,1[\).

Pour \(x>\alpha\) : \(\varphi(x)<0\), donc \(\e^{-x}<x\).

Or \(u_0=1>\alpha\) et on peut montrer par récurrence que \(u_n>\alpha\) pour tout \(n\) (car \(f(\alpha)=\frac{1}{2}(\alpha+\e^{-\alpha})=\frac{1}{2}(\alpha+\alpha)=\alpha\) et \(f\) est croissante au voisinage de \(\alpha\)). Donc \(u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2}\varphi(u_n)<0\) : \((u_n)\) décroissante.

c) \((u_n)\) décroissante et minorée par \(\alpha>0\), donc converge vers \(\ell\geqslant\alpha\). Par continuité de \(f\) : \(\ell=f(\ell)=\frac{1}{2}(\ell+\e^{-\ell})\), soit \(\ell=\e^{-\ell}\), i.e. \(\ell\e^\ell=1\). C'est l'unique point fixe \(\alpha\approx 0{,}567\) (constante \(\Omega\) de Lambert).

Exercice 14

On cherche les tangentes à \(y=\e^x\) passant par \(O(0,0)\).

La tangente en \(x=a\) : \(y=\e^a(x-a)+\e^a=\e^a(x-a+1)\).

Passage par \(O\) : \(0=\e^a(0-a+1)\). Comme \(\e^a\neq 0\) : \(-a+1=0\), soit \(a=1\).

Unique tangente : \(y=\e(x-1+1)=\e x\).

Vérification : la droite \(y=\e x\) est bien tangente en \((1,\e)\) avec pente \(\e^1=\e\).

Corrigé du problème

Partie A : Convergence

1. Pour \(k\geqslant 2|x|\) : \(\frac{|x|}{k}\leqslant\frac{|x|}{2|x|}=\frac{1}{2}\).

\(\Bigl|\frac{x^k}{k!}\Bigr|=\frac{|x|^k}{k!}\). Écrivons \(k!=1\cdot 2\cdots k\). Pour les facteurs \(j\geqslant 2|x|\) : \(\frac{|x|}{j}\leqslant\frac{1}{2}\). Il y a au moins \(k-\lfloor 2|x|\rfloor\) tels facteurs. Pour \(k\) assez grand (disons \(k\geqslant N=\lceil 2|x|\rceil\)) :

Comme \(\frac{|x|^N}{N!}\) est une constante et \((\frac{1}{2})^{k-N}\to 0\), le terme général tend vers 0. Plus précisément, \(\bigl|\frac{x^k}{k!}\bigr|\leqslant M\cdot 2^{-k}\) pour une constante \(M\), d'où la majoration demandée (quitte à ajuster).

2. Comme \(\sum\frac{1}{2^{k/2}}=\sum(\frac{1}{\sqrt{2}})^k\) est une série géométrique convergente (raison \(\frac{1}{\sqrt{2}}<1\)), par comparaison la série \(\sum\frac{x^k}{k!}\) converge absolument.

3. \(E(0)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{0^k}{k!}=1\) (tous les termes sont nuls sauf \(k=0\)).

\(E(1)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!}=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\cdots\approx 2{,}71828=\e\).

Partie B : \(E\) vérifie \(E'=E\)

4. \(S_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\), donc \(S_n'(x)=\sum_{k=1}^n\frac{kx^{k-1}}{k!}=\sum_{k=1}^n\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}\). En reindexant \(j=k-1\) : \(S_n'(x)=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{x^j}{j!}=S_{n-1}(x)\).

5. (Admis) En passant à la limite : \(E'(x)=\lim_{n\to+\infty}S_n'(x)=\lim_{n\to+\infty}S_{n-1}(x)=E(x)\).

6. \(E(0)=1\) et \(E'=E\). Par l'unicité du théorème fondamental : \(E=\exp\).

Partie C : Relation fonctionnelle

7. Par le binôme de Newton : \((a+b)^j=\sum_{i=0}^j\binom{j}{i}a^i b^{j-i}\). Donc :

car \(\frac{1}{j!}\binom{j}{i}=\frac{1}{i!(j-i)!}\). En sommant pour \(j=0,\ldots,n\) :

8. Quand \(n\to+\infty\), cette double somme converge vers \(\bigl(\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{a^i}{i!}\bigr)\cdot\bigl(\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{b^m}{m!}\bigr)=E(a)\cdot E(b)\) (produit de Cauchy de séries absolument convergentes).

Conclusion : \(E(a+b)=E(a)\cdot E(b)\), ce qui redonne la relation fonctionnelle \(\e^{a+b}=\e^a\cdot\e^b\).

Partie D : Irrationalité de \(\e\)

9. \(\e-S_n(1)=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k!}\). Pour \(k\geqslant n+1\) :

(car chaque facteur au dénominateur est \(\geqslant n+1\)). En sommant :

(série géométrique de raison \(\frac{1}{n+1}\)). Et \(\e-S_n(1)>0\) car tous les termes sont positifs.

10. Si \(\e=\frac{p}{q}\), posons \(N=q!\,\e-q!\,S_q(1)=q!\bigl(\frac{p}{q}-S_q(1)\bigr)\).

\(q!\,S_q(1)=q!\sum_{k=0}^q\frac{1}{k!}=\sum_{k=0}^q\frac{q!}{k!}\). Chaque terme \(\frac{q!}{k!}\) est un entier (car \(k\leqslant q\)). Donc \(q!\,S_q(1)\in\N\).

\(q!\,\e=q!\cdot\frac{p}{q}=(q-1)!\cdot p\in\N\). Donc \(N=q!\,\e-q!\,S_q(1)\) est un entier.

11. Par la question 9 avec \(n=q\) : \(0<\e-S_q(1)<\frac{1}{q!\cdot q}\), donc \(0<q!(\e-S_q(1))<\frac{1}{q}\).

Ainsi \(0<N<\frac{1}{q}\leqslant 1\). Mais \(N\) est un entier positif : \(N\geqslant 1\), ce qui contredit \(N<1\).

Conclusion : \(\e\) est irrationnel.