Pourquoi étudier la dérivée seconde ?
Passer de la pente à la variation de la pente
Dans la fiche précédente, la dérivée première a permis de répondre à une question capitale : la fonction monte-t-elle ou descend-t-elle ? La dérivée seconde pousse l'analyse un cran plus loin, avec une question encore plus fine :
La vitesse d'augmentation elle-même augmente-t-elle ou diminue-t-elle ?
Autrement dit, la dérivée première mesure une pente, tandis que la dérivée seconde mesure la variation de cette pente. C'est elle qui renseigne sur la courbure de la courbe.
Une fonction peut très bien être croissante tout en devenant de moins en moins raide. Elle peut aussi être décroissante tout en se redressant progressivement. Ces nuances ne sont pas visibles avec le seul signe de \(f'\) : il faut à ce moment-là regarder \(f''\).
Une idée centrale en sciences
La dérivée seconde est partout :
en physique, si \(x(t)\) désigne une position, alors \(x'(t)\) est la vitesse et \(x''(t)\) l'accélération ;
en économie, elle permet de savoir si une croissance s'accélère ou ralentit ;
en optimisation, elle aide à distinguer un sommet d'un creux ;
en géométrie, elle indique si une courbe est en forme de bol, de chapeau, ou si elle change de courbure.
Cette dernière idée est fondamentale pour le baccalauréat : lorsqu'on demande une étude complète de fonction, on ne s'arrête pas aux variations. On cherche aussi les intervalles de convexité, de concavité et les points d'inflexion.
Le lien profond avec la lecture des graphes
Ce chapitre permet de faire le pont entre le calcul algébrique et la lecture visuelle des courbes.
Avec \(f'\), tu lis dans quel sens la courbe se déplace. Avec \(f''\), tu lis de quelle manière elle se plie. C'est exactement ce qui donne à une courbe son allure : arrondie vers le haut, vers le bas, ou changeant de forme en un point particulier.
Une fois ce chapitre maîtrisé, tu ne regarderas plus un graphe comme une simple ligne : tu sauras décrire son comportement avec précision et l'expliquer mathématiquement.
L'idée avant la formule
La pente qui change
Ici, les pentes augmentent au fur et à mesure : la courbe est convexe.
Le bol et le chapeau
Le point d'inflexion : le point de bascule
Le cours formel
Définition de la dérivée seconde
Le vocabulaire exact à retenir est le suivant :
\(f\) donne une hauteur, une position, une quantité ;
\(f'\) mesure une variation instantanée ;
\(f''\) mesure la variation de cette variation.
Ce que dit le signe de \(f''\)
Convexité, concavité et tangentes
Cette propriété est très utile pour comprendre les dessins et aussi pour répondre à certaines questions de bac du type : « la courbe est-elle au-dessus ou au-dessous de sa tangente ? »
Le point d'inflexion
Méthode complète pour étudier la convexité d'une fonction
Exemple très détaillé d'étude complète
Exemples de référence à connaître
La boîte à outils - Réflexes pour le bac
Exercices progressifs
Exercice 1 ★☆☆ - Dérivées secondes directes
Calculer \(f'(x)\) puis \(f''(x)\) pour chacune des fonctions suivantes :
- \(f(x)=x^4-3x^2+1\)
- \(g(x)=e^x\)
- \(h(x)=\ln(x)\) sur \(]0,+\infty[\)
- \(k(x)=x^3\)
Exercice 2 ★☆☆ - Lire la courbure avec \(f''\)
Pour chaque fonction, étudier la convexité et la concavité :
- \(f(x)=x^2\)
- \(g(x)=-x^2+5\)
- \(h(x)=x^3\)
Exercice 3 ★☆☆ - Premier point d'inflexion
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\R\) par
Calculer \(f''(x)\).
Étudier le signe de \(f''(x)\).
En déduire l'existence d'un point d'inflexion et donner ses coordonnées.
Exercice 4 ★★☆ - Le logarithme népérien
On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par
Calculer \(f'(x)\) puis \(f''(x)\).
Étudier la convexité de \(f\) sur son domaine.
Que peut-on dire de la position de la courbe par rapport à ses tangentes ?
Exercice 5 ★★☆ - Produit et changement de courbure
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\R\) par
Calculer \(f''(x)\).
Étudier le signe de \(f''(x)\).
Déterminer les intervalles de convexité et le point d'inflexion éventuel.
Exercice 6 ★★☆ - Un zéro de \(f''\) ne suffit pas
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\R\) par
Calculer \(f''(x)\).
Vérifier que \(f''(0)=0\).
La courbe admet-elle pour autant un point d'inflexion en \(0\) ? Justifier soigneusement.
Exercice 7 ★★☆ - Etude complète de la courbure
On considère la fonction
Calculer \(f''(x)\).
Étudier le signe de \(f''(x)\).
Déterminer les intervalles de convexité et de concavité.
Donner les coordonnées du point d'inflexion.
Exercice 8 ★★☆ - Fonction rationnelle
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\R\setminus\{-1\}\) par
Calculer \(f''(x)\).
Étudier le signe de \(f''(x)\) sur chacun des intervalles de définition.
La courbe admet-elle un point d'inflexion ? Expliquer avec précision.
Exercice 9 ★★☆ - Fonction avec racine
On considère la fonction \(f\) définie sur \([-1,+\infty[\) par
Simplifier l'expression de \(f(x)\) sous la forme d'une puissance.
Calculer \(f''(x)\) sur \(]-1,+\infty[\).
Étudier la convexité de \(f\).
Exercice 10 ★★★ - Vrai ou Faux
Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant :
« Si \(f''(a)=0\), alors \(a\) est l'abscisse d'un point d'inflexion. »
« Si \(f''(x)>0\) sur un intervalle, alors \(f'(x)\) y est croissante. »
« Si une fonction est concave sur un intervalle, alors sa courbe est au-dessus de ses tangentes. »
« Une fonction peut être croissante et concave sur un même intervalle. »
Exercice 11 ★★★ - Tangente en un point d'inflexion
On considère la fonction \(f(x)=x^3\).
Montrer que la courbe admet un point d'inflexion en \(0\).
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(0\).
Comparer, selon le signe de \(x\), la position de la courbe de \(f\) par rapport à cette tangente.
Exercice 12 ★★★ - Modélisation physique
On modélise la position d'un mobile par
Interpréter physiquement \(s'(t)\) et \(s''(t)\).
Calculer \(s''(t)\).
À quel instant l'accélération change-t-elle de signe ?
Que peut-on en déduire sur la courbure de la courbe représentative de \(s\) ?
Problème - Inégalités de convexité et approximation
★★★
Partie A - Convexité de l'exponentielle et inégalités
On considère la fonction \(f(x)=e^x\) définie sur \(\R\).
Calculer \(f''(x)\) et en déduire que \(f\) est convexe sur \(\R\).
En utilisant la propriété « une fonction convexe est toujours au-dessus de ses tangentes », écrire l'inégalité obtenue avec la tangente en \(x=0\). En déduire que :
\[e^x \geqslant 1 + x \quad \text{pour tout } x\in\R\]En appliquant cette inégalité à \(x = \frac{a}{n}\) où \(a>0\) et \(n\in\N^*\), montrer que :
\[\left(1+\frac{a}{n}\right)^n \leqslant e^a\](Bonus) En appliquant l'inégalité \(e^x\geqslant 1+x\) à \(x=-\frac{a}{n}\), montrer que :
\[e^a \leqslant \frac{1}{\left(1-\frac{a}{n}\right)^n} \quad \text{pour } n > a\]
Partie B - Concavité du logarithme et inégalité arithmético-géométrique
On considère la fonction \(g(x)=\ln(x)\) définie sur \(]0,+\infty[\).
Calculer \(g''(x)\) et en déduire que \(g\) est concave sur \(]0,+\infty[\).
Pour une fonction concave, la courbe est en dessous de ses tangentes. Écrire l'inégalité obtenue avec la tangente en \(x=1\), et en déduire :
\[\ln(x) \leqslant x - 1 \quad \text{pour tout } x > 0\]Soient \(a,b > 0\). En appliquant l'inégalité précédente à \(x = \frac{a}{b}\), montrer que :
\[\ln(a) - \ln(b) \leqslant \frac{a}{b} - 1\]En déduire l'inégalité arithmético-géométrique : pour tous \(a,b > 0\),
\[\sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2}\]avec égalité si et seulement si \(a=b\).
Indication : appliquer l'inégalité de la question 6 puis celle obtenue en échangeant \(a\) et \(b\), et additionner.
Partie C - Approximation quadratique et point d'inflexion
On considère \(h(x) = x\,e^{-x}\) définie sur \(\R\).
Calculer \(h'(x)\), \(h''(x)\) et \(h'''(x)\).
Déterminer le point d'inflexion \(I\) de la courbe \(\mathcal{C}_h\).
Déterminer l'équation de la tangente \((T)\) à \(\mathcal{C}_h\) au point d'inflexion \(I\).
Montrer que \((T)\) traverse la courbe en \(I\) : étudier le signe de \(h(x) - T(x)\) au voisinage de \(x=2\), où \(T(x)\) désigne l'expression de la tangente.
Indication : factoriser \(h(x)-T(x)\) en utilisant \(h''(2)=0\).
Corrigés détaillés
Corrigé - Exercice 1
Si \(f(x)=x^4-3x^2+1\), alors
\[f'(x)=4x^3-6x\]puis
\[f''(x)=12x^2-6\]Si \(g(x)=e^x\), alors
\[g'(x)=e^x \qquad \text{et} \qquad g''(x)=e^x\]Si \(h(x)=\ln(x)\) sur \(]0,+\infty[\), alors
\[h'(x)=\frac{1}{x}\]puis
\[h''(x)=-\frac{1}{x^2}\]Si \(k(x)=x^3\), alors
\[k'(x)=3x^2 \qquad \text{et} \qquad k''(x)=6x\]
Corrigé - Exercice 2
Pour \(f(x)=x^2\), on a \(f''(x)=2>0\) pour tout \(x\in\R\). Donc \(f\) est convexe sur \(\R\).
Pour \(g(x)=-x^2+5\), on a \(g''(x)=-2<0\) pour tout \(x\in\R\). Donc \(g\) est concave sur \(\R\).
Pour \(h(x)=x^3\), on a \(h''(x)=6x\).
sur \(]-\infty,0[\), \(6x<0\), donc \(h\) est concave ;
sur \(]0,+\infty[\), \(6x>0\), donc \(h\) est convexe.
Il y a changement de signe en \(0\), donc point d'inflexion en \((0,0)\).
Corrigé - Exercice 3
On considère \(f(x)=x^3-6x\).
On calcule :
\[f'(x)=3x^2-6 \qquad \text{et} \qquad f''(x)=6x\]Le signe de \(f''(x)\) est celui de \(x\) :
\(f''(x)<0\) si \(x<0\) ;
\(f''(0)=0\) ;
\(f''(x)>0\) si \(x>0\).
Il y a changement de signe en \(0\), donc point d'inflexion d'abscisse \(0\). Comme \(f(0)=0\), le point est
\[\boxed{I(0,0)}\]
Corrigé - Exercice 4
On considère \(f(x)=\ln(x)\) sur \(]0,+\infty[\).
- \[f'(x)=\frac1x \qquad \text{et} \qquad f''(x)=-\frac1{x^2}\]
Pour tout \(x>0\), on a \(x^2>0\), donc \(-\dfrac1{x^2}<0\). Ainsi,
\[f''(x)<0 \quad \text{sur } ]0,+\infty[\]Donc \(f\) est concave sur \(]0,+\infty[\).
Comme la fonction est concave, sa courbe est située en-dessous de ses tangentes.
Corrigé - Exercice 5
On considère \(f(x)=xe^x\).
Première dérivée :
\[f'(x)=e^x+xe^x=(x+1)e^x\]Seconde dérivée :
\[f''(x)=1\cdot e^x +(x+1)e^x=(x+2)e^x\]Comme \(e^x>0\) pour tout \(x\), le signe de \(f''(x)\) est celui de \(x+2\).
si \(x<-2\), alors \(f''(x)<0\) ;
si \(x=-2\), alors \(f''(x)=0\) ;
si \(x>-2\), alors \(f''(x)>0\).
Donc la fonction est concave sur \(]-\infty,-2[\) et convexe sur \(]-2,+\infty[\). Il y a changement de signe en \(-2\), donc point d'inflexion. Or
\[f(-2)=-2e^{-2}\]donc
\[\boxed{I\left(-2,-2e^{-2}\right)}\]
Corrigé - Exercice 6
On considère \(f(x)=x^4\).
- \[f'(x)=4x^3 \qquad \text{et} \qquad f''(x)=12x^2\]
On a bien
\[f''(0)=12\times 0^2=0\]Cependant, pour tout réel \(x\), on a \(x^2\ge 0\), donc
\[12x^2\ge 0\]La dérivée seconde ne change pas de signe au voisinage de \(0\) : elle reste positive ou nulle de chaque côté.
La courbe reste donc convexe avant et après \(0\). Il n'y a pas de point d'inflexion en \(0\).
Corrigé - Exercice 7
On considère \(f(x)=x^3-3x^2+2\).
- \[f'(x)=3x^2-6x \qquad \text{et} \qquad f''(x)=6x-6=6(x-1)\]
Le signe de \(f''\) est celui de \(x-1\).
si \(x<1\), alors \(f''(x)<0\) ;
si \(x=1\), alors \(f''(x)=0\) ;
si \(x>1\), alors \(f''(x)>0\).
Donc \(f\) est concave sur \(]-\infty,1[\) et convexe sur \(]1,+\infty[\).
Comme il y a changement de signe en \(1\), la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse \(1\). Or
\[f(1)=1-3+2=0\]donc
\[\boxed{I(1,0)}\]
Corrigé - Exercice 8
On considère \(f(x)=\dfrac{1}{x+1}\) sur \(\R\setminus\{-1\}\).
- \[f'(x)=-\frac{1}{(x+1)^2}\]
puis
\[f''(x)=\frac{2}{(x+1)^3}\] Le signe de \(f''\) est celui de \((x+1)^3\).
sur \(]-\infty,-1[\), on a \((x+1)^3<0\), donc \(f''(x)<0\) ;
sur \(]-1,+\infty[\), on a \((x+1)^3>0\), donc \(f''(x)>0\).
Bien que le signe change ``autour'' de \(-1\), on ne peut pas parler de point d'inflexion en \(-1\) car la fonction n'est pas définie en \(-1\). Il n'y a donc aucun point d'inflexion.
Corrigé - Exercice 9
On considère \(f(x)=(x+1)\sqrt{x+1}\) sur \([-1,+\infty[\).
On peut écrire
\[f(x)=(x+1)^{3/2}\]Alors, sur \(]-1,+\infty[\),
\[f'(x)=\frac32 (x+1)^{1/2}\]puis
\[f''(x)=\frac32\times\frac12 (x+1)^{-1/2}=\frac{3}{4\sqrt{x+1}}\]Pour tout \(x>-1\), on a \(\sqrt{x+1}>0\), donc
\[f''(x)>0\]Ainsi, la fonction est convexe sur \(]-1,+\infty[\).
Corrigé - Exercice 10
Faux. Le contre-exemple classique est \(f(x)=x^4\) : on a \(f''(0)=0\), mais aucun point d'inflexion en \(0\).
Vrai. Si \(f''(x)>0\) sur un intervalle, alors \(f'\) y est croissante.
Vrai. Pour une fonction concave, la courbe est au-dessous de ses tangentes.
Vrai. Par exemple \(f(x)=\ln(x)\) sur \(]0,+\infty[\) est croissante car \(f'(x)=\dfrac1x>0\), et concave car \(f''(x)=-\dfrac1{x^2}<0\).
Corrigé - Exercice 11
On considère \(f(x)=x^3\).
- \[f'(x)=3x^2 \qquad \text{et} \qquad f''(x)=6x\]
Le signe de \(6x\) change en \(0\), donc la courbe admet un point d'inflexion en \(0\).
L'équation de la tangente au point d'abscisse \(0\) est
\[y=f'(0)(x-0)+f(0)\]Or \(f'(0)=0\) et \(f(0)=0\), donc
\[\boxed{y=0}\]La tangente est l'axe des abscisses.
On compare \(f(x)\) à \(0\).
si \(x<0\), alors \(x^3<0\) : la courbe est sous la tangente ;
si \(x>0\), alors \(x^3>0\) : la courbe est au-dessus de la tangente.
La courbe traverse donc sa tangente au point d'inflexion.
Corrigé - Exercice 12
On considère \(s(t)=t^3-3t^2+2\).
En physique :
\(s'(t)\) représente la vitesse ;
\(s''(t)\) représente l'accélération.
- \[s'(t)=3t^2-6t \qquad \text{et} \qquad s''(t)=6t-6\]
L'accélération change de signe quand
\[6t-6=0 \Longleftrightarrow t=1\]La courbe représentative de \(s\) est concave pour \(t<1\) et convexe pour \(t>1\). Elle admet donc un point d'inflexion pour l'instant \(t=1\).
Corrigé du problème
Partie A
1. \(f(x)=e^x\), \(f'(x)=e^x\), \(f''(x)=e^x>0\) pour tout \(x\in\R\). Donc \(f\) est convexe sur \(\R\).
2. La tangente en \(x=0\) a pour équation \(y=f'(0)(x-0)+f(0)=1\cdot x+1=x+1\).
Une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes, donc \(e^x\geqslant x+1\) pour tout \(x\in\R\). \(\square\)
Vérification : en \(x=0\), \(e^0=1=0+1\) ✓ (égalité). En \(x=1\), \(e\approx 2{,}718\geqslant 2\) ✓.
3. On applique \(e^x\geqslant 1+x\) à \(x=\frac{a}{n}\) :
En élevant à la puissance \(n\) (les deux membres sont positifs, et la fonction \(t\mapsto t^n\) est croissante sur \([0,+\infty[\)) :
Or \((e^{a/n})^n = e^a\). D'où \(\left(1+\frac{a}{n}\right)^n\leqslant e^a\). \(\square\)
4. On applique \(e^x\geqslant 1+x\) à \(x=-\frac{a}{n}\) (avec \(n>a\) pour que \(1-\frac{a}{n}>0\)) :
En élevant à la puissance \(n\) : \(e^{-a}\geqslant\left(1-\frac{a}{n}\right)^n\). En inversant (les deux côtés sont \(>0\)) :
Partie B
5. \(g(x)=\ln(x)\), \(g'(x)=\frac{1}{x}\), \(g''(x)=-\frac{1}{x^2}<0\) pour tout \(x>0\). Donc \(g\) est concave sur \(]0,+\infty[\).
6. La tangente en \(x=1\) : \(y=g'(1)(x-1)+g(1)=1\cdot(x-1)+0=x-1\).
Une fonction concave est en dessous de ses tangentes, donc \(\ln(x)\leqslant x-1\) pour tout \(x>0\). \(\square\)
Vérification : en \(x=1\), \(\ln(1)=0=1-1\) ✓. En \(x=e\), \(\ln(e)=1\leqslant e-1\approx 1{,}718\) ✓.
7. On applique \(\ln(x)\leqslant x-1\) à \(x=\frac{a}{b}\) (avec \(a,b>0\), donc \(\frac{a}{b}>0\)) :
Or \(\ln\!\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)\). D'où \(\ln(a)-\ln(b)\leqslant\frac{a}{b}-1\). \(\square\)
8. De la question 7 : \(\ln(a)-\ln(b)\leqslant\frac{a}{b}-1\), soit \(b(\ln a-\ln b)\leqslant a-b\).
En échangeant \(a\) et \(b\) : \(a(\ln b-\ln a)\leqslant b-a\), soit \(-a(\ln a-\ln b)\leqslant b-a\).
En additionnant les deux inégalités :
Or \((b-a)(\ln a-\ln b)=-(a-b)(\ln a-\ln b)\), et comme \((a-b)\) et \((\ln a-\ln b)\) sont de même signe (car \(\ln\) est croissante), on a \((a-b)(\ln a-\ln b)\geqslant 0\), donc :
Plus directement, reprenons l'inégalité \(\ln(x)\leqslant x-1\) appliquée à \(x=\frac{a}{b}\) :
Appliquée à \(x=\frac{b}{a}\) :
En additionnant : \(0\leqslant\frac{a-b}{b}+\frac{b-a}{a}=(a-b)\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right)=\frac{(a-b)(a-b)}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab}\).
Donc \(\frac{(a-b)^2}{ab}\geqslant 0\), soit \((a-b)^2\geqslant 0\) (évident !), soit :
Plus élégamment : de \(\ln(x)\leqslant x-1\) appliquée à \(x=\frac{a}{b}\) et \(x=\frac{b}{a}\), on obtient \(\ln\frac{a}{b}\leqslant\frac{a}{b}-1\) et \(\ln\frac{b}{a}\leqslant\frac{b}{a}-1\). En additionnant (\(\ln\frac{a}{b}+\ln\frac{b}{a}=0\)) :
Donc \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqslant 2\). En multipliant par \(ab>0\) : \(a^2+b^2\geqslant 2ab\), soit \((a-b)^2\geqslant 0\), d'où :
En prenant la racine carrée (les deux membres sont positifs) :
Égalité ssi \(\frac{a}{b}=1\), c'est-à-dire \(a=b\). \(\square\)
Partie C
9. \(h(x)=xe^{-x}\).
\(h'(x)=e^{-x}+x(-e^{-x})=(1-x)e^{-x}\) \(h''(x)=(-1)e^{-x}+(1-x)(-e^{-x})=(-1-1+x)e^{-x}=(x-2)e^{-x}\) \(h'''(x)=e^{-x}+(x-2)(-e^{-x})=(1-x+2)e^{-x}=(3-x)e^{-x}\)10. \(h''(x)=0\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2\) (car \(e^{-x}>0\)). \(h''\) change de signe en \(x=2\) (négatif avant, positif après). Point d'inflexion : \(I=(2,\,2e^{-2})\).
11. \(h(2)=2e^{-2}\) et \(h'(2)=(1-2)e^{-2}=-e^{-2}\). Équation de la tangente :
12. On calcule \(h(x)-T(x)=xe^{-x}-e^{-2}(4-x)\).
On factorise en posant \(\varphi(x)=h(x)-T(x)\). On sait que \(\varphi(2)=0\) (la tangente touche la courbe) et \(\varphi'(2)=h'(2)-T'(2)=(-e^{-2})-(-e^{-2})=0\). Donc \(x=2\) est racine double « au moins » de \(\varphi\).
De plus \(\varphi''(2)=h''(2)-T''(2)=0-0=0\) et \(\varphi'''(2)=h'''(2)-0=(3-2)e^{-2}=e^{-2}>0\).
Comme la première dérivée non nulle de \(\varphi\) en \(x=2\) est \(\varphi'''(2)>0\) et est d'ordre impair (ordre 3), la fonction \(\varphi\) change de signe en \(x=2\) : elle passe de négatif à positif.
Donc la tangente traverse la courbe au point d'inflexion : la courbe est en dessous de la tangente pour \(x<2\) (près de 2), et au-dessus pour \(x>2\) (près de 2).
Maîtrise du chapitre
Validation contrôlée
Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.