Suites, récurrences et limites · Terminale spécialité

Pourquoi étudier les suites et la récurrence ?

De quoi parle-t-on ?

Une suite est une liste infinie de nombres, indicée par $n\in\N$ : $u_0, u_1, u_2, \ldots$ En Première, on a découvert les suites arithmétiques et géométriques. En Terminale, on va beaucoup plus loin :

Le raisonnement par récurrence : un outil de démonstration universel.
La convergence : vers quelle valeur tend $$u_n$$ quand $n\to+\infty$ ?
Les théorèmes de comparaison : encadrer, comparer, conclure.

Les applications

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Le principe des dominos

Pourquoi a-t-on besoin de la récurrence ?

La convergence : vers où va la suite ?

Intuition · L'idée de limite

Considérons $u_n=1+\frac{1}{n}$ pour $n\geqslant 1$ :

$$n$$	1	10	100	1000	$$10^6$$	$\to+\infty$
$$u_n$$	2	1,1	1,01	1,001	1,000001	$\to 1$

Les termes se rapprochent de plus en plus de $$1$$ . On dit que la suite converge vers $$1$$ , et on écrit $\lim_{n\to+\infty}u_n=1$ .

Attention : la suite ne vaut jamais exactement $$1$$ . Elle s'en approche autant qu'on veut.

Le cours formel

Rappels : suites arithmétiques et géométriques

Propriété · Suite géométrique de raison $q>0$

$u_{n+1}=q\cdot u_n$ pour tout $n\in\N$ .

Terme général : $u_n=u_0\cdot q^n$ . Somme : $\displaystyle\sum_{k=0}^n u_0 q^k=u_0\cdot\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ si $q\neq 1$ .

Valeur de $$q$$	$$0<q<1$$	$$q=1$$	$$q>1$$
Monotonie	Décroissante	Constante	Croissante
$\lim q^n$	$$0$$	$$1$$	$+\infty$

Raisonnement par récurrence

Exemple · Exemple 2 : Encadrement d'une suite récurrente

Soit $$u_0=1$$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ . Montrons que $0\leqslant u_n\leqslant 2$ pour tout $n\in\N$ .

$$P(n)$$ : $0\leqslant u_n\leqslant 2$ .

Initialisation : $$u_0=1$$ et $0\leqslant 1\leqslant 2$ . $$P(0)$$ vraie. ✓

Hérédité : Soit $n\geqslant 0$ , supposons $0\leqslant u_n\leqslant 2$ .

On a alors $2\leqslant u_n+2\leqslant 4$ (on ajoute $$2$$ partout).

En prenant la racine (fonction croissante) : $\sqrt{2}\leqslant\sqrt{u_n+2}\leqslant\sqrt{4}$ , i.e. $\sqrt{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant 2$ .

Comme $\sqrt{2}\geqslant 0$ , on a bien $0\leqslant u_{n+1}\leqslant 2$ . $$P(n+1)$$ vraie. ✓

Conclusion : $0\leqslant u_n\leqslant 2$ pour tout $n\in\N$ .

Remarque : on a même montré que $u_n\geqslant\sqrt{2}$ pour $n\geqslant 1$ (encadrement plus précis).

Notion de limite d'une suite

Intuition · Décrypter la formule symbole par symbole

La formule $\forall\varepsilon>0,\;\exists N\in\N,\;\forall n\geqslant N,\;|u_n-\ell|<\varepsilon$ se lit :

Symbole	Se lit	Signification concrète
$\forall\varepsilon>0$	« pour tout $\varepsilon>0$ »	On se fixe une précision, aussi petite qu'on veut
$\exists N\in\N$	« il existe un rang $$N$$ »	Il y a un moment à partir duquel ça marche
$\forall n\geqslant N$	« pour tout $n\geqslant N$ »	Tous les termes à partir du rang $$N$$
$\|u_n-\ell\|<\varepsilon$	« la distance est $<\varepsilon$ »	$$u_n$$ est dans $]\ell-\varepsilon\,;\,\ell+\varepsilon[$

Important : $$N$$ dépend de $\varepsilon$ . Plus $\varepsilon$ est petit (précision élevée), plus $$N$$ est grand (il faut attendre plus longtemps).

La bande verte = $]\ell-\varepsilon\,;\,\ell+\varepsilon[$ avec $\varepsilon=0{,}25$ . À partir de $$N=4$$ , tous les points sont dans la bande.

Pour $$A=50$$ : dès $n\geqslant 8$ , on a $u_n=n^2\geqslant 64>50$ .

Opérations sur les limites

Théorème · Limites et opérations algébriques

Si $\lim u_n=\ell$ et $\lim v_n=\ell'$ (limites finies), alors :

$\lim(u_n+v_n)=\ell+\ell'$	$\lim(\lambda\cdot u_n)=\lambda\ell$
$\lim(u_n\cdot v_n)=\ell\cdot\ell'$	$\lim\frac{u_n}{v_n}=\frac{\ell}{\ell'}$ si $\ell'\neq 0$

Théorème · Limites avec l'infini

$\ell+(+\infty)=+\infty$	$(+\infty)+(+\infty)=+\infty$
$\ell\times(+\infty)=+\infty$ si $\ell>0$	$\ell\times(+\infty)=-\infty$ si $\ell<0$
$\frac{\ell}{+\infty}=0$	$\frac{+\infty}{\ell}=+\infty$ si $\ell>0$

Limites de référence et croissances comparées

Théorème · Limites de $q^n$ : résultat fondamental

Pour $q\in\R$ :

$$q$$	$$-1<q<1$$	$$q=1$$	$$q>1$$	$q\leqslant -1$
$\lim q^n$	$$0$$	$$1$$	$+\infty$	n'existe pas

En particulier : $\boxed{|q|<1\Rightarrow q^n\to 0}$ . C'est le résultat le plus utilisé au bac.

Théorèmes de comparaison

$-\frac{1}{n}\leqslant\frac{\sin(n)}{n}\leqslant\frac{1}{n}$ et $\pm\frac{1}{n}\to 0$ : par les gendarmes, $\frac{\sin(n)}{n}\to 0$ .

Théorème de convergence monotone

Exemple · Étude complète rédigée : $u_0=1$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$

Étape 1 : Conjecture : $$u_0=1$$ , $u_1=\sqrt{3}\approx 1{,}73$ , $u_2=\sqrt{3{,}73}\approx 1{,}93$ , $u_3\approx 1{,}98$ . Semble croissante, convergeant vers $$2$$ .

Étape 2 : Encadrement : montrons $0\leqslant u_n\leqslant 2$ par récurrence.

$$P(n)$$ : $0\leqslant u_n\leqslant 2$ .

Init : $0\leqslant u_0=1\leqslant 2$ . ✓

Hér. : si $0\leqslant u_n\leqslant 2$ , alors $2\leqslant u_n+2\leqslant 4$ , donc $\sqrt{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant\sqrt{4}=2$ . Comme $\sqrt{2}>0$ : $0\leqslant u_{n+1}\leqslant 2$ . ✓

Étape 3 : Monotonie : $u_{n+1}-u_n=\sqrt{u_n+2}-u_n$ .

Posons $g(x)=\sqrt{x+2}-x$ . On a $g(x)=0\iff\sqrt{x+2}=x\iff x^2-x-2=0\iff x=2$ (pour $x\geqslant 0$ ).

Pour $0\leqslant x<2$ : $$g(x)>0$$ (vérifier : $g(0)=\sqrt{2}>0$ et $$g$$ ne s'annule qu'en $$2$$ ).

Comme $0\leqslant u_n< 2$ : $u_{n+1}-u_n=g(u_n)>0$ . Suite croissante.

Autre méthode : utiliser que $f(x)=\sqrt{x+2}$ est croissante. Si $u_n\leqslant u_{n+1}$ , alors $u_{n+1}=f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})=u_{n+2}$ . Par récurrence (init : $u_0=1\leqslant\sqrt{3}=u_1$ ).

Étape 4 : Convergence : $$(u_n)$$ est croissante et majorée par $$2$$ . Par le théorème de convergence monotone, elle converge.

Étape 5 : Limite : soit $\ell=\lim u_n$ . La fonction $f(x)=\sqrt{x+2}$ est continue.

Par passage à la limite : $\ell=\sqrt{\ell+2}$ , donc $\ell^2=\ell+2$ , soit $\ell^2-\ell-2=0$ .

$\Delta=1+8=9$ , $\ell=\frac{1\pm 3}{2}$ , soit $\ell=2$ ou $\ell=-1$ .

Comme $u_n\geqslant 0$ pour tout $$n$$ : $\ell\geqslant 0$ , donc $\boxed{\ell=2}$ .

Suites adjacentes (complément)

Suites et fonctions continues

Représentation en escalier : $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ , $u_0=0{,}5$

Algorithme : calcul de termes et recherche de seuil

import math

def termes(u0, f, n):
    """Retourne [u_0, u_1, ..., u_n]."""
    U = [u0]
    u = u0
    for k in range(n):
        u = f(u)
        U.append(u)
    return U

# Exemple : u_{n+1} = sqrt(u_n + 2), u_0 = 1
U = termes(1, lambda u: math.sqrt(u + 2), 20)
print(f"u_20 = {U[-1]:.10f}")   # ≈ 2.0000000000

def seuil_convergence(u0, f, ell, eps):
    """Plus petit n tel que |u_n - ell| < eps."""
    u, n = u0, 0
    while abs(u - ell) >= eps:
        u = f(u)
        n += 1
    return n

# u_{n+1} = sqrt(u_n + 2), u_0 = 1, ell = 2
n = seuil_convergence(1, lambda u: math.sqrt(u+2), 2, 1e-6)
print(n)   # 21

Boîte à outils

Méthode · Les 10 réflexes suites & récurrence

Récurrence = 4 étapes. Poser $$P(n)$$ , initialisation, hérédité, conclusion. Pas une de moins.
Pour l'hérédité : partir du côté $$P(n+1)$$ et y faire apparaître $$P(n)$$ , ou partir de $$P(n)$$ et en déduire $$P(n+1)$$ .
Suite $u_{n+1}=f(u_n)$ : chercher le point fixe $\ell=f(\ell)$ , puis montrer monotonie + borne, puis conclure.
Monotonie : étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ , ou comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à $$1$$ (si $$u_n>0$$ ).
$|q|<1\Rightarrow q^n\to 0$ . C'est LE résultat à utiliser pour la convergence géométrique.
Forme indéterminée : factoriser par le terme dominant, ou utiliser les croissances comparées.
Gendarmes : encadrer $$u_n$$ entre deux suites de même limite.
Convergence monotone : croissante + majorée $\Rightarrow$ converge. Décroissante + minorée $\Rightarrow$ converge.
Arithmético-géométrique $u_{n+1}=au_n+b$ : poser $v_n=u_n-\ell$ avec $\ell=\frac{b}{1-a}$ .
Vérifier au brouillon en calculant $$u_0, u_1, u_2, u_3$$ avant de rédiger.

Méthode · Mots-clés à repérer dans les énoncés

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« montrer que pour tout $$n$$ »	récurrence
« étudier la convergence »	monotonie + borne, ou gendarmes
« déterminer la limite »	opérations, factorisation, croissances comparées
« montrer que $$(u_n)$$ est croissante »	signe de $u_{n+1}-u_n$ (souvent par récurrence)
« en déduire que $$(u_n)$$ converge »	théorème de convergence monotone
« on pose $v_n=u_n-\ell$ »	suite auxiliaire géométrique
« encadrer »	viser les gendarmes
« montrer que $u_n\leqslant M$ »	récurrence
« expliciter $$u_n$$ »	trouver le terme général (arithm., géom., ou auxiliaire)

Propriété · Récapitulatif des formules essentielles

Résultat	Formule
Somme arithmétique	$\sum_{k=0}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$
Somme géométrique	$\sum_{k=0}^n q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ ( $q\neq 1$ )
Suite arithm.-géom.	$u_n=\ell+(u_0-\ell)a^n$ avec $\ell=\frac{b}{1-a}$
Limite de $$q^n$$	$\|q\|<1\Rightarrow 0$ , $q=1\Rightarrow 1$ , $q>1\Rightarrow+\infty$
Croissances comparées	$\ln n\ll n^\alpha\ll q^n\ll n!$
Gendarmes	$a_n\leqslant u_n\leqslant b_n$ , $\lim a_n=\lim b_n=\ell\Rightarrow\lim u_n=\ell$
Convergence monotone	croissante + majorée $\Rightarrow$ converge
Point fixe	si $u_n\to\ell$ et $$f$$ continue, alors $\ell=f(\ell)$

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Récurrence directe

Montrer par récurrence que pour tout $n\in\N$ : $\displaystyle\sum_{k=0}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$ .

Exercice 2 ★☆☆ : Récurrence : inégalité

Montrer par récurrence que pour tout $n\geqslant 1$ : $2^n\geqslant n+1$ .

Exercice 3 ★☆☆ : Suite arithmético-géométrique

Soit $$u_0=5$$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+3$ .

Déterminer le point fixe $\ell$ .
Poser $v_n=u_n-\ell$ . Montrer que $$(v_n)$$ est géométrique et en déduire $$u_n$$ .
Déterminer $\lim u_n$ .

Exercice 4 ★☆☆ : Limites directes

Calculer les limites suivantes :

$u_n=\frac{3n^2-n+1}{5n^2+2}$
$v_n=\frac{n^3-1}{n^2+n}$
$w_n=\frac{(-1)^n}{n}$
$t_n=\frac{2^n}{n^{10}}$

Exercice 5 ★★☆ : Récurrence : divisibilité

Montrer par récurrence que pour tout $n\in\N$ , $3^{2n+1}+2^{n+2}$ est divisible par $$7$$ .

Exercice 6 ★★☆ : Étude complète d'une suite récurrente

Soit $$u_0=4$$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+1$ .

Conjecturer le comportement de la suite (calculer $$u_1, u_2, u_3, u_4$$ ).
Montrer par récurrence que $u_n\geqslant 2$ pour tout $n\in\N$ .
Montrer que $$(u_n)$$ est décroissante.
En déduire que $$(u_n)$$ converge et calculer sa limite.

Exercice 7 ★★☆ : Théorème des gendarmes

Soit $u_n=\frac{n+(-1)^n}{n^2+1}$ .

Encadrer $$u_n$$ entre deux suites simples.
En déduire $\lim u_n$ .

Exercice 8 ★★☆ : Suite auxiliaire

Soit $$u_0=1$$ et $u_{n+1}=3u_n-4$ .

Calculer $$u_1, u_2, u_3$$ .
Poser $$v_n=u_n-2$$ . Montrer que $$(v_n)$$ est géométrique.
Exprimer $$u_n$$ en fonction de $$n$$ .
Étudier la limite de $$(u_n)$$ .

Exercice 9 ★★☆ : Récurrence double

Montrer par récurrence que pour tout $n\in\N$ :

1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Exercice 10 ★★☆ : Suite et fonction

Soit $f(x)=\sqrt{2x+3}$ et la suite $$u_0=0$$ , $u_{n+1}=f(u_n)$ .

Montrer par récurrence que $0\leqslant u_n\leqslant 3$ pour tout $$n$$ .
Montrer que $$(u_n)$$ est croissante.
En déduire que $$(u_n)$$ converge et calculer sa limite.

Exercice 11 ★★☆ : Recherche de seuil

La suite $$(u_n)$$ est définie par $$u_0=1$$ et $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}$ .

Montrer que $$(u_n)$$ est strictement croissante.
Montrer que $u_n\geqslant\sqrt{2n+1}$ pour tout $n\geqslant 0$ (par récurrence).
En déduire que $\lim u_n=+\infty$ .
Écrire un programme Python qui détermine le plus petit $$n$$ tel que $$u_n>100$$ .

Exercice 12 ★★☆ : Suites et géométrie

Un triangle équilatéral de côté $$1$$ a ses milieux reliés pour former un triangle intérieur. On répète le procédé.

Montrer que les côtés $$c_n$$ des triangles successifs vérifient $c_{n+1}=\frac{1}{2}c_n$ .
Exprimer le périmètre $$P_n$$ et l'aire $$A_n$$ du $$n$$ -ième triangle.
Calculer $\sum_{k=0}^n P_k$ et $\sum_{k=0}^n A_k$ . Étudier leurs limites.

Exercice 13 ★★★ : Inégalité arithmético-géométrique

Montrer par récurrence que pour tout $n\geqslant 1$ et tous réels $a_1,\ldots,a_n>0$ tels que $a_1\cdot a_2\cdots a_n=1$ : $a_1+a_2+\cdots+a_n\geqslant n$ .

Indication : utiliser la récurrence forte. Pour l'hérédité, supposer (quitte à réordonner) que $a_1\leqslant 1\leqslant a_2$ , poser $b=a_1\cdot a_2$ et appliquer l'hypothèse de récurrence à $b, a_3,\ldots,a_n$ .

Exercice 14 ★★★ : Convergence et rapidité

Soit $$u_0=3$$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}\bigl(u_n+\frac{2}{u_n}\bigr)$ (méthode de Héron pour $\sqrt{2}$ ).

Montrer que $u_n\geqslant\sqrt{2}$ pour tout $n\geqslant 1$ .
Montrer que $$(u_n)$$ est décroissante à partir du rang $$1$$ .
En déduire la convergence et calculer la limite.
Poser $e_n=u_n-\sqrt{2}$ . Montrer que $e_{n+1}\leqslant\frac{e_n^2}{2\sqrt{2}}$ . Interpréter.

Problème : La suite de Babylone et les approximations de $\sqrt{a}$ ★★★

Soit $$a>0$$ fixé et la suite $$(u_n)$$ définie par $$u_0>0$$ quelconque et :

u_{n+1}=\frac{1}{2}\Bigl(u_n+\frac{a}{u_n}\Bigr)

Partie A : Premières propriétés

Montrer que $$u_n>0$$ pour tout $n\in\N$ .
Montrer que pour tout $n\geqslant 1$ : $u_n\geqslant\sqrt{a}$ .

Indication : développer $(u_n-\sqrt{a})^2\geqslant 0$ et en déduire $u_n+\frac{a}{u_n}\geqslant 2\sqrt{a}$ .
En déduire que $$(u_n)$$ est décroissante à partir du rang $$1$$ .
Conclure que $$(u_n)$$ converge et déterminer sa limite.

Partie B : Vitesse de convergence

On pose $e_n=u_n-\sqrt{a}$ (erreur à l'étape $$n$$ ). Montrer que :
$e_{n+1}=\frac{e_n^2}{2u_n}$
En déduire que $e_{n+1}\leqslant\frac{e_n^2}{2\sqrt{a}}$ pour $n\geqslant 1$ .
Poser $K=\frac{1}{2\sqrt{a}}$ . Montrer par récurrence que $e_n\leqslant\frac{1}{K}(Ke_1)^{2^{n-1}}$ pour $n\geqslant 1$ .
Que signifie ce résultat en termes de décimales correctes ?

Partie C : Application numérique et algorithmique

Calculer $$u_0, u_1, u_2, u_3, u_4$$ pour $$a=2$$ et $$u_0=1$$ . Compter les décimales correctes de $\sqrt{2}$ .
Écrire un programme Python qui calcule $\sqrt{a}$ par cette méthode avec une précision $\varepsilon>0$ .
Comparer la vitesse de convergence avec la dichotomie pour le calcul de $\sqrt{2}$ à $10^{-15}$ près.

Corrigés détaillés

Exercice 1

$$P(n)$$ : $\sum_{k=0}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$ .

Initialisation ( $$n=0$$ ) : $\sum_{k=0}^0 k=0$ et $\frac{0\times 1}{2}=0$ . $$P(0)$$ vraie.

Hérédité : Supposons $$P(n)$$ : $\sum_{k=0}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$ .

$\sum_{k=0}^{n+1}k=\underbrace{\sum_{k=0}^n k}_{=\frac{n(n+1)}{2}}+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=(n+1)\Bigl(\frac{n}{2}+1\Bigr)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ .

C'est $$P(n+1)$$ . Conclusion : $$P(n)$$ vraie pour tout $n\in\N$ .

Exercice 2

$$P(n)$$ : $2^n\geqslant n+1$ pour $n\geqslant 1$ .

Init ( $$n=1$$ ) : $2^1=2\geqslant 2=1+1$ . $$P(1)$$ vraie.

Hér. : Supposons $2^n\geqslant n+1$ . Alors $2^{n+1}=2\cdot 2^n\geqslant 2(n+1)=2n+2$ .

Or $2n+2\geqslant n+2$ car $n\geqslant 1\Rightarrow n\geqslant 0$ . Donc $2^{n+1}\geqslant (n+1)+1$ . $$P(n+1)$$ vraie.

Exercice 3

a) Point fixe : $\ell=\frac{1}{2}\ell+3\Rightarrow\frac{1}{2}\ell=3\Rightarrow\ell=6$ .

b) $$v_n=u_n-6$$ . $v_{n+1}=u_{n+1}-6=\frac{1}{2}u_n+3-6=\frac{1}{2}u_n-3=\frac{1}{2}(u_n-6)=\frac{1}{2}v_n$ .

$$(v_n)$$ géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et premier terme $$v_0=u_0-6=5-6=-1$$ .

$v_n=-1\cdot\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^n$ , donc $u_n=6-\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^n$ .

c) $\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^n\to 0$ , donc $\lim u_n=6$ .

Exercice 4

a) $u_n=\frac{n^2(3-1/n+1/n^2)}{n^2(5+2/n^2)}\to\frac{3}{5}$ .

b) $v_n=\frac{n^3(1-1/n^3)}{n^2(1+1/n)}=\frac{n(1-1/n^3)}{1+1/n}\to+\infty$ .

c) $|w_n|=\frac{1}{n}\to 0$ . Comme $-\frac{1}{n}\leqslant w_n\leqslant\frac{1}{n}$ , par les gendarmes : $\lim w_n=0$ .

d) Croissances comparées : $$q=2>1$$ et $\alpha=10$ . $\frac{n^{10}}{2^n}\to 0$ , donc $\frac{2^n}{n^{10}}=\frac{1}{n^{10}/2^n}\to+\infty$ .

Exercice 5

$$P(n)$$ : $7\mid 3^{2n+1}+2^{n+2}$ .

Init ( $$n=0$$ ) : $3^1+2^2=3+4=7=7\times 1$ . $$P(0)$$ vraie.

Hér. : Supposons $7\mid 3^{2n+1}+2^{n+2}$ .

$3^{2(n+1)+1}+2^{(n+1)+2}=3^{2n+3}+2^{n+3}=9\cdot 3^{2n+1}+2\cdot 2^{n+2}$ .

$=9\cdot 3^{2n+1}+2\cdot 2^{n+2}=2(3^{2n+1}+2^{n+2})+7\cdot 3^{2n+1}$ .

Le premier terme est divisible par $$7$$ (hypothèse $\times 2$ ), le second aussi ( $7\times\ldots$ ). Donc la somme est divisible par $$7$$ . $$P(n+1)$$ vraie.

Exercice 6

a) $$u_0=4$$ , $u_1=\frac{4}{2}+1=3$ , $u_2=\frac{3}{2}+1=2{,}5$ , $u_3=2{,}25$ , $u_4=2{,}125$ . Semble décroitre vers $$2$$ .

b) $$P(n)$$ : $u_n\geqslant 2$ .

Init : $u_0=4\geqslant 2$ . Hér. : si $u_n\geqslant 2$ , alors $u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+1\geqslant\frac{2}{2}+1=2$ . $$P(n+1)$$ vraie.

c) $u_{n+1}-u_n=\frac{u_n}{2}+1-u_n=1-\frac{u_n}{2}$ . Or $u_n\geqslant 2$ donc $\frac{u_n}{2}\geqslant 1$ , d'où $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$ . Suite décroissante.

d) $$(u_n)$$ décroissante et minorée par $$2$$ : elle converge. Limite $\ell$ : $\ell=\frac{\ell}{2}+1\Rightarrow\frac{\ell}{2}=1\Rightarrow\ell=2$ .

Exercice 7

a) $-1\leqslant(-1)^n\leqslant 1$ , donc $\frac{n-1}{n^2+1}\leqslant u_n\leqslant\frac{n+1}{n^2+1}$ .

b) $\frac{n-1}{n^2+1}=\frac{n(1-1/n)}{n^2(1+1/n^2)}=\frac{1-1/n}{n(1+1/n^2)}\to 0$ .

De même $\frac{n+1}{n^2+1}\to 0$ . Par les gendarmes : $\lim u_n=0$ .

Exercice 8

a) $$u_0=1$$ , $u_1=3\times 1-4=-1$ , $u_2=3\times(-1)-4=-7$ , $u_3=3\times(-7)-4=-25$ .

b) $$v_n=u_n-2$$ . $v_{n+1}=u_{n+1}-2=3u_n-4-2=3u_n-6=3(u_n-2)=3v_n$ .

$$(v_n)$$ géométrique de raison $$3$$ , $$v_0=u_0-2=-1$$ .

c) $$v_n=-3^n$$ , donc $$u_n=2-3^n$$ .

d) $3^n\to+\infty$ , donc $u_n=2-3^n\to-\infty$ .

Exercice 9

$$P(n)$$ : $\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ pour $n\geqslant 1$ .

Init ( $$n=1$$ ) : $$1^2=1$$ et $\frac{1\times 2\times 3}{6}=1$ . $$P(1)$$ vraie.

Hér. : Supposons $$P(n)$$ . Alors :

\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n+1}k^2 &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}\\ &=\frac{(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]}{6}\\ &=\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}\\ &=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}. \end{aligned}

C'est $$P(n+1)$$ car $$(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)=(n+1)(n+2)(2n+3)$$ .

Exercice 10

a) $$P(n)$$ : $0\leqslant u_n\leqslant 3$ .

Init : $u_0=0\in[0,3]$ . Hér. : si $0\leqslant u_n\leqslant 3$ , alors $3\leqslant 2u_n+3\leqslant 9$ , donc $\sqrt{3}\leqslant u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3}\leqslant 3$ . En particulier $0\leqslant u_{n+1}\leqslant 3$ .

b) $u_{n+1}-u_n=\sqrt{2u_n+3}-u_n$ . Posons $g(x)=\sqrt{2x+3}-x$ .

$g(x)=0\iff\sqrt{2x+3}=x\iff 2x+3=x^2$ (pour $x\geqslant 0$ ) $\iff x^2-2x-3=0\iff x=3$ (car $x\geqslant 0$ ).

Pour $0\leqslant x<3$ : $$g(x)>0$$ (on vérifie $g(0)=\sqrt{3}>0$ , et $$g$$ est continue, ne s'annule qu'en $$3$$ ).

Comme $u_n\in[0,3]$ et $$u_n<3$$ (car $$u_0=0$$ et la suite n'atteint pas $$3$$ , vérifiable par récurrence), on a $u_{n+1}-u_n=g(u_n)>0$ . Suite croissante.

c) Croissante et majorée par $$3$$ : converge. Limite $\ell=\sqrt{2\ell+3}$ , $\ell^2=2\ell+3$ , $\ell^2-2\ell-3=0$ , $\ell=3$ (car $\ell\geqslant 0$ ).

Exercice 11

a) $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{u_n}>0$ car $$u_n>0$$ (par récurrence immédiate depuis $$u_0=1>0$$ ). Suite strictement croissante.

b) $$P(n)$$ : $u_n\geqslant\sqrt{2n+1}$ .

Init ( $$n=0$$ ) : $u_0=1\geqslant\sqrt{1}=1$ . $$P(0)$$ vraie.

Hér. : supposons $u_n\geqslant\sqrt{2n+1}$ .

$u_{n+1}^2=\bigl(u_n+\frac{1}{u_n}\bigr)^2=u_n^2+2+\frac{1}{u_n^2}\geqslant u_n^2+2\geqslant (2n+1)+2=2(n+1)+1$ .

Comme $u_{n+1}>0$ : $u_{n+1}\geqslant\sqrt{2(n+1)+1}$ . $$P(n+1)$$ vraie.

c) $u_n\geqslant\sqrt{2n+1}\to+\infty$ . Par comparaison : $\lim u_n=+\infty$ .

d)

u = 1
n = 0
while u <= 100:
    u = u + 1/u
    n += 1
print(n)   # 4999

Exercice 12

a) Le triangle formé par les milieux a des côtés de longueur $\frac{c_n}{2}$ (propriété des milieux). Donc $c_{n+1}=\frac{1}{2}c_n$ .

b) $c_n=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^n$ . $P_n=3c_n=3\cdot 2^{-n}$ . $A_n=\frac{\sqrt{3}}{4}c_n^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 4^{-n}$ .

c) $\sum_{k=0}^n P_k=3\sum_{k=0}^n 2^{-k}=3\cdot\frac{1-2^{-(n+1)}}{1-1/2}=6(1-2^{-(n+1)})\to 6$ .

$\sum_{k=0}^n A_k=\frac{\sqrt{3}}{4}\sum_{k=0}^n 4^{-k}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{1-4^{-(n+1)}}{3/4}=\frac{\sqrt{3}}{3}(1-4^{-(n+1)})\to\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Exercice 13

$$P(n)$$ : pour $a_1\cdots a_n=1$ , on a $a_1+\cdots+a_n\geqslant n$ .

Init ( $$n=1$$ ) : $$a_1=1$$ et $a_1\geqslant 1$ . Trivial.

Hér. (récurrence forte) : supposons $$P(k)$$ vraie pour tout $k\leqslant n$ . Soient $a_1,\ldots,a_{n+1}>0$ avec produit $$1$$ .

Si tous les $$a_i=1$$ : $\sum a_i=n+1\geqslant n+1$ . Sinon, il existe $$a_i<1$$ et $$a_j>1$$ . Quitte à réordonner, $a_1\leqslant 1\leqslant a_2$ .

Posons $$b=a_1 a_2$$ . Les $$n$$ nombres $b, a_3,\ldots,a_{n+1}$ ont pour produit $$1$$ . Par $$P(n)$$ : $b+a_3+\cdots+a_{n+1}\geqslant n$ .

Il reste à montrer que $a_1+a_2\geqslant 1+b=1+a_1 a_2$ .

$a_1+a_2-1-a_1 a_2=(1-a_1)(a_2-1)\geqslant 0$ car $a_1\leqslant 1$ et $a_2\geqslant 1$ .

Donc $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n+1}\geqslant 1+b+a_3+\cdots+a_{n+1}\geqslant 1+n=n+1$ .

Exercice 14

a) $u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+\frac{2}{u_n})$ . Par AM-GM : $\frac{u_n+2/u_n}{2}\geqslant\sqrt{u_n\cdot\frac{2}{u_n}}=\sqrt{2}$ . Donc $u_{n+1}\geqslant\sqrt{2}$ pour $n\geqslant 0$ , et donc pour tout $n\geqslant 1$ .

b) $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2}\bigl(\frac{2}{u_n}-u_n\bigr)=\frac{2-u_n^2}{2u_n}$ . Pour $n\geqslant 1$ : $u_n\geqslant\sqrt{2}$ donc $u_n^2\geqslant 2$ , d'où $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$ .

c) Décroissante (pour $n\geqslant 1$ ) et minorée par $\sqrt{2}$ : converge.

$\ell=\frac{1}{2}(\ell+\frac{2}{\ell})\Rightarrow 2\ell=\ell+\frac{2}{\ell}\Rightarrow\ell=\frac{2}{\ell}\Rightarrow\ell^2=2$ . Comme $\ell>0$ : $\ell=\sqrt{2}$ .

d) $e_{n+1}=u_{n+1}-\sqrt{2}=\frac{1}{2}(u_n+\frac{2}{u_n})-\sqrt{2}=\frac{u_n^2+2-2\sqrt{2}\,u_n}{2u_n}=\frac{(u_n-\sqrt{2})^2}{2u_n}=\frac{e_n^2}{2u_n}$ .

Comme $u_n\geqslant\sqrt{2}$ : $e_{n+1}\leqslant\frac{e_n^2}{2\sqrt{2}}$ .

Interprétation : convergence quadratique. Si $e_n\approx 10^{-k}$ , alors $e_{n+1}\approx\frac{10^{-2k}}{2\sqrt{2}}\approx 10^{-2k}$ . Le nombre de décimales correctes double à chaque itération.

Corrigé du problème : La suite de Babylone

Partie A : Premières propriétés

1. Par récurrence. $$u_0>0$$ . Si $$u_n>0$$ : $u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+\frac{a}{u_n})$ . Chaque terme est somme de termes positifs (car $$a>0$$ ), donc $u_{n+1}>0$ .

2. $(u_n-\sqrt{a})^2\geqslant 0\Rightarrow u_n^2-2\sqrt{a}\,u_n+a\geqslant 0\Rightarrow u_n^2+a\geqslant 2\sqrt{a}\,u_n$ .

Division par $$u_n>0$$ : $u_n+\frac{a}{u_n}\geqslant 2\sqrt{a}$ , d'où $u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+\frac{a}{u_n})\geqslant\sqrt{a}$ pour tout $n\geqslant 0$ , et donc $u_n\geqslant\sqrt{a}$ pour $n\geqslant 1$ .

3. Pour $n\geqslant 1$ : $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2}\bigl(\frac{a}{u_n}-u_n\bigr)=\frac{a-u_n^2}{2u_n}$ .

Or $u_n\geqslant\sqrt{a}\Rightarrow u_n^2\geqslant a\Rightarrow a-u_n^2\leqslant 0$ . Donc $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$ . Suite décroissante à partir du rang $$1$$ .

4. $(u_n)_{n\geqslant 1}$ décroissante et minorée par $\sqrt{a}$ : elle converge vers $\ell\geqslant\sqrt{a}$ .

$\ell=\frac{1}{2}(\ell+\frac{a}{\ell})\Rightarrow 2\ell=\ell+\frac{a}{\ell}\Rightarrow\ell=\frac{a}{\ell}\Rightarrow\ell^2=a$ . Comme $\ell>0$ : $\boxed{\ell=\sqrt{a}}$ .

Partie B : Vitesse de convergence

5. $e_{n+1}=u_{n+1}-\sqrt{a}=\frac{u_n^2+a}{2u_n}-\sqrt{a}=\frac{u_n^2+a-2\sqrt{a}\,u_n}{2u_n}=\frac{(u_n-\sqrt{a})^2}{2u_n}=\frac{e_n^2}{2u_n}$ .

6. Pour $n\geqslant 1$ : $u_n\geqslant\sqrt{a}$ , donc $\frac{1}{2u_n}\leqslant\frac{1}{2\sqrt{a}}=K$ . D'où $e_{n+1}\leqslant K\cdot e_n^2$ .

7. $$P(n)$$ : $e_n\leqslant\frac{1}{K}(Ke_1)^{2^{n-1}}$ pour $n\geqslant 1$ .

Init ( $$n=1$$ ) : $\frac{1}{K}(Ke_1)^{2^0}=\frac{1}{K}\cdot Ke_1=e_1$ . Vrai.

Hér. : $e_{n+1}\leqslant Ke_n^2\leqslant K\bigl(\frac{1}{K}(Ke_1)^{2^{n-1}}\bigr)^2=K\cdot\frac{1}{K^2}(Ke_1)^{2^n}=\frac{1}{K}(Ke_1)^{2^n}$ . $$P(n+1)$$ vraie.

8. Si $$Ke_1<1$$ (ce qui est le cas dès que $$u_1$$ est assez proche de $\sqrt{a}$ ), alors $(Ke_1)^{2^{n-1}}\to 0$ extrêmement vite. L'exposant $2^{n-1}$ double à chaque étape, donc le nombre de décimales correctes double aussi : c'est la convergence quadratique.

Partie C : Application numérique

9. $$a=2$$ , $$u_0=1$$ .

$u_1=\frac{1}{2}(1+2)=1{,}5$ . ( $\sqrt{2}\approx 1{,}4142\ldots$ , $$0$$ décimale.)

$u_2=\frac{1}{2}(1{,}5+\frac{2}{1{,}5})=\frac{1}{2}\times\frac{17}{6}\approx 1{,}41\underline{667}$ . ( $$2$$ décimales.)

$u_3\approx 1{,}41421\underline{569}$ . ( $$5$$ décimales.)

$u_4\approx 1{,}41421356237\underline{469}$ . ( $$11$$ décimales.)

On voit la convergence quadratique : $0\to 2\to 5\to 11$ décimales. Le doublement est spectaculaire.

10.

def heron(a, eps):
    u = a   # u_0 = a (ou n'importe quel u_0 > 0)
    while abs(u**2 - a) > eps:
        u = 0.5 * (u + a / u)
    return u

print(heron(2, 1e-15))   # 1.4142135623730951

11. Pour $\sqrt{2}$ à $10^{-15}$ près :

Héron : environ $$5$$ itérations (convergence quadratique : $0\to 1\to 2\to 5\to 11\to 22$ décimales).

Dichotomie : $n\geqslant\frac{\ln(1/10^{-15})}{\ln 2}\approx 50$ itérations.

Héron est environ 10 fois plus rapide. C'est la puissance de la convergence quadratique.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« montrer que pour tout $\(n\)$ »	récurrence
« étudier la convergence »	monotonie + borne, ou gendarmes
« déterminer la limite »	opérations, factorisation, croissances comparées
« montrer que $\((u_n)\)$ est croissante »	signe de $u_{n+1}-u_n$ (souvent par récurrence)
« en déduire que $\((u_n)\)$ converge »	théorème de convergence monotone
« on pose $v_n=u_n-\ell$ »	suite auxiliaire géométrique
« encadrer »	viser les gendarmes
« montrer que $u_n\leqslant M$ »	récurrence
« expliciter $\(u_n\)$ »	trouver le terme général (arithm., géom., ou auxiliaire)

Pourquoi étudier les suites et la récurrence ?

De quoi parle-t-on ?

Les applications

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Le principe des dominos

Pourquoi a-t-on besoin de la récurrence ?

La convergence : vers où va la suite ?

Le cours formel

Rappels : suites arithmétiques et géométriques

Raisonnement par récurrence

Notion de limite d'une suite

Opérations sur les limites

Limites de référence et croissances comparées

Théorèmes de comparaison

Théorème de convergence monotone

Suites adjacentes (complément)

Suites et fonctions continues

Algorithme : calcul de termes et recherche de seuil

Boîte à outils

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Récurrence directe

Exercice 2 ★☆☆ : Récurrence : inégalité

Exercice 3 ★☆☆ : Suite arithmético-géométrique

Exercice 4 ★☆☆ : Limites directes

Exercice 5 ★★☆ : Récurrence : divisibilité

Exercice 6 ★★☆ : Étude complète d'une suite récurrente

Exercice 7 ★★☆ : Théorème des gendarmes

Exercice 8 ★★☆ : Suite auxiliaire

Exercice 9 ★★☆ : Récurrence double

Exercice 10 ★★☆ : Suite et fonction

Exercice 11 ★★☆ : Recherche de seuil

Exercice 12 ★★☆ : Suites et géométrie

Exercice 13 ★★★ : Inégalité arithmético-géométrique

Exercice 14 ★★★ : Convergence et rapidité

Problème : La suite de Babylone et les approximations de \(\sqrt{a}\) ★★★

Corrigés détaillés

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Corrigé du problème : La suite de Babylone

Maîtrise du chapitre