Produit scalaire dans l’espace

Pourquoi étudier le produit scalaire dans l'espace ?

L'outil qui manquait

Dans la fiche précédente, tu as appris à manipuler des vecteurs de l'espace : les additionner, les multiplier par un scalaire, vérifier la colinéarité et la coplanarité. Mais il te manquait un outil fondamental : la capacité de mesurer des angles et des distances, et de déterminer si deux vecteurs sont perpendiculaires.

Le produit scalaire est cet outil. C'est une opération qui prend deux vecteurs et renvoie un nombre réel (un scalaire, d'où le nom). Ce nombre contient une information précieuse : il dit « dans quelle mesure » les deux vecteurs vont dans la même direction. Si le produit scalaire est positif, les vecteurs forment un angle aigu (ils « vont globalement dans le même sens »). S'il est négatif, l'angle est obtus. Et s'il est nul, les vecteurs sont perpendiculaires.

Les applications

Le produit scalaire est un outil incroyablement puissant. Voici ce qu'il permet de faire au bac :

En particulier, le produit scalaire est indispensable pour écrire l'équation cartésienne d'un plan (la grande nouveauté de ce chapitre) et pour calculer la distance d'un point à un plan, qui sont des classiques absolus du bac.

Ce que tu savais déjà

En Première, tu as vu le produit scalaire dans le plan. Tout ce que tu as appris reste valable dans l'espace : il suffit d'ajouter la troisième coordonnée. Les formules sont les mêmes, avec un terme supplémentaire.

L'idée avant la formule

Mesurer la « ressemblance directionnelle »

Trois façons de voir le même objet

Le cours formel

Définition du produit scalaire

Repère orthonormé et expression analytique

Propriétés algébriques du produit scalaire

Norme d'un vecteur et distance

C'est la généralisation directe du théorème de Pythagore en 3D. En 2D, \(\norme{\vec{u}}=\sqrt{x^2+y^2}\). En 3D, on applique Pythagore deux fois (une fois dans le plan horizontal, une fois pour monter) et on obtient la racine de la somme des trois carrés.

Orthogonalité

C'est la propriété la plus utilisée du produit scalaire au bac. Dès qu'on te demande si deux droites sont perpendiculaires, si un vecteur est normal à un plan, ou si un angle est droit, la réponse passe toujours par un produit scalaire égal à zéro.

Calcul d'angle

Vecteur normal et équation cartésienne d'un plan

C'est la grande nouveauté du chapitre et l'un des points les plus importants de l'année pour le bac.

Orthogonalité de droites et plans

Distance d'un point à un plan

Projeté orthogonal

Identités remarquables avec le produit scalaire

La boîte à outils : Réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Produits scalaires et normes

\(\vec{u}\coord{3}{-1}{2}\), \(\vec{v}\coord{1}{4}{-3}\), \(\vec{w}\coord{2}{2}{1}\).

1. Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\), \(\vec{u}\cdot\vec{w}\), \(\vec{v}\cdot\vec{w}\).

2. Calculer \(\norme{\vec{u}}\), \(\norme{\vec{v}}\), \(\norme{\vec{w}}\).

3. Parmi ces vecteurs, lesquels sont orthogonaux ?

Exercice 2 ★☆☆ : Distances

\(A(1,-2,3)\), \(B(4,2,-1)\), \(C(0,1,5)\).

1. Calculer \(AB\), \(AC\), \(BC\).

2. Le triangle \(ABC\) est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?

Exercice 3 ★☆☆ : Angles entre vecteurs

1. Calculer l'angle entre \(\vec{u}\coord{1}{1}{0}\) et \(\vec{v}\coord{0}{1}{1}\).

2. Calculer l'angle entre \(\vec{u}\coord{1}{0}{0}\) et \(\vec{v}\coord{1}{1}{1}\).

3. Calculer l'angle \(\widehat{BAC}\) avec \(A(0,0,0)\), \(B(1,2,2)\), \(C(2,1,-2)\).

Exercice 4 ★☆☆ : Équations cartésiennes de plans

1. Déterminer l'équation du plan \(\mathcal{P}_1\) passant par \(A(2,-1,3)\) de vecteur normal \(\vec{n}_1\coord{1}{2}{-1}\).

2. Déterminer l'équation du plan \(\mathcal{P}_2\) passant par \(B(0,0,5)\) de vecteur normal \(\vec{n}_2\coord{0}{0}{1}\).

3. Le point \(C(3,1,0)\) appartient-il à \(\mathcal{P}_1\) ?

4. Donner un vecteur normal et un point du plan \(\mathcal{P}_3: 2x-3y+z-7=0\).

Exercice 5 ★★☆ : Plans parallèles et perpendiculaires

\(\mathcal{P}_1:2x-y+3z-1=0\), \(\mathcal{P}_2:4x-2y+6z+5=0\), \(\mathcal{P}_3:3x+2y+z-4=0\).

1. \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) sont-ils parallèles ? Confondus ?

2. \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_3\) sont-ils perpendiculaires ?

3. Déterminer l'équation du plan \(\mathcal{P}_4\) parallèle à \(\mathcal{P}_1\) passant par le point \(D(1,0,-2)\).

Exercice 6 ★★☆ : Distance point-plan

1. Distance de \(M(3,-1,2)\) au plan \(\mathcal{P}:x+2y-2z+3=0\).

2. Distance de l'origine \(O(0,0,0)\) au plan \(\mathcal{Q}:3x-4y+5=0\).

3. Pour quelle valeur de \(k\) le point \(A(1,k,2)\) est-il dans le plan \(2x-y+3z-4=0\) ?

Exercice 7 ★★☆ : Projeté orthogonal

Soit \(\mathcal{P}:2x+y-2z+3=0\) et \(M_0(1,0,1)\).

1. Déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(M_0\) sur \(\mathcal{P}\).

2. Calculer la distance \(M_0H\).

3. Vérifier à l'aide de la formule de distance point-plan.

Exercice 8 ★★☆ : Équation cartésienne par trois points

Soient \(A(1,0,0)\), \(B(0,2,0)\), \(C(0,0,3)\).

1. Calculer \(\vect{AB}\) et \(\vect{AC}\).

2. Déterminer un vecteur \(\vec{n}\coord{a}{b}{c}\) normal au plan \((ABC)\) en résolvant \(\vec{n}\cdot\vect{AB}=0\) et \(\vec{n}\cdot\vect{AC}=0\).

3. En déduire l'équation cartésienne du plan \((ABC)\).

4. Vérifier que \(A\), \(B\), \(C\) satisfont cette équation.

Exercice 9 ★★☆ : Intersection droite-plan (équation cartésienne)

Droite \(d:\begin{cases}x=2+t\\y=1-t\\z=3+2t\end{cases}\) et plan \(\mathcal{P}:x+y+z-6=0\).

1. \(d\) est-elle parallèle à \(\mathcal{P}\) ? (le vecteur directeur est-il orthogonal au vecteur normal ?)

2. Déterminer l'intersection de \(d\) et \(\mathcal{P}\).

Exercice 10 ★★☆ : Sphère et plan

La sphère \(\mathcal{S}\) a pour centre \(\Omega(1,2,-1)\) et rayon \(R=3\).

1. Écrire l'équation de \(\mathcal{S}\).

2. Déterminer la distance de \(\Omega\) au plan \(\mathcal{P}:2x-y+2z-1=0\).

3. En déduire la position de \(\mathcal{P}\) par rapport à \(\mathcal{S}\) (sécant, tangent, extérieur ?).

Exercice 11 ★★★ : Identités et démonstrations

1. Démontrer que \(\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2=\norme{\vec{u}}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\norme{\vec{v}}^2\).

2. En déduire que \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}\bigl(\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2-\norme{\vec{u}}^2-\norme{\vec{v}}^2\bigr)\).

3. Démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz : \(|\vec{u}\cdot\vec{v}|\leqslant\norme{\vec{u}}\,\norme{\vec{v}}\). Quand y a-t-il égalité ?

Exercice 12 ★★★ : Plan médiateur

Soient \(A(1,2,3)\) et \(B(5,-2,7)\).

1. Déterminer le milieu \(I\) de \([AB]\).

2. Déterminer l'équation cartésienne du plan \(\Pi\) médiateur de \([AB]\) (plan passant par \(I\) et perpendiculaire à \((AB)\)).

3. Vérifier que tout point \(M\) du plan \(\Pi\) vérifie \(MA=MB\).

Problème : Plans, sphères et projections ★★★

On travaille dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\). Soit \(\mathcal{P}\) le plan d'équation \(x+2y+2z-9=0\) et \(\mathcal{S}\) la sphère de centre \(\Omega(3,1,2)\) et de rayon \(R=3\).

Partie A : Le plan \(\mathcal{P}\)

1. Donner un vecteur normal et un point de \(\mathcal{P}\).

2. Calculer la distance \(d(\Omega,\mathcal{P})\) du centre de la sphère au plan.

3. \(\mathcal{P}\) coupe-t-il \(\mathcal{S}\) ? Si oui, décrire l'intersection (nature, centre, rayon).

Partie B : Projection et symétrique

1. Déterminer le projeté orthogonal \(H\) de \(\Omega\) sur \(\mathcal{P}\).

2. Déterminer le symétrique \(\Omega'\) de \(\Omega\) par rapport au plan \(\mathcal{P}\).

3. Calculer \(\Omega\Omega'\).

Partie C : Intersection droite-sphère

Soit \(d\) la droite passant par \(A(0,0,0)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\coord{1}{2}{2}\).

1. Écrire la représentation paramétrique de \(d\).

2. Déterminer les points d'intersection de \(d\) et \(\mathcal{S}\) en résolvant \((x-3)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=9\).

3. Calculer la longueur de la corde découpée par la sphère sur la droite \(d\).

4. (Bonus) Vérifier que la droite \(d\) est perpendiculaire au plan \(\mathcal{P}\), et interpréter géométriquement les résultats obtenus.

Corrigés détaillés

Corrigé : Exercice 1

1. On applique la formule \(\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'\) pour chaque couple :

   \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\times 1+(-1)\times 4+2\times(-3) = 3-4-6 = \boldsymbol{-7}\) \(\vec{u}\cdot\vec{w} = 3\times 2+(-1)\times 2+2\times 1 = 6-2+2 = \boldsymbol{6}\) \(\vec{v}\cdot\vec{w} = 1\times 2+4\times 2+(-3)\times 1 = 2+8-3 = \boldsymbol{7}\)

2. On applique \(\norme{\vec{u}}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) :

   \(\norme{\vec{u}} = \sqrt{9+1+4} = \sqrt{14}\) \(\norme{\vec{v}} = \sqrt{1+16+9} = \sqrt{26}\) \(\norme{\vec{w}} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3\)

3. Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Ici, \(\vec{u}\cdot\vec{v}=-7\neq 0\), \(\vec{u}\cdot\vec{w}=6\neq 0\), \(\vec{v}\cdot\vec{w}=7\neq 0\). Aucune paire n'est orthogonale.

Corrigé : Exercice 2

1. On calcule chaque distance :

   \(AB = \sqrt{(4-1)^2+(2-(-2))^2+(-1-3)^2} = \sqrt{9+16+16} = \sqrt{41}\) \(AC = \sqrt{(0-1)^2+(1-(-2))^2+(5-3)^2} = \sqrt{1+9+4} = \sqrt{14}\) \(BC = \sqrt{(0-4)^2+(1-2)^2+(5-(-1))^2} = \sqrt{16+1+36} = \sqrt{53}\)

2. Le triangle \(ABC\) est rectangle si et seulement si le théorème de Pythagore est vérifié pour l'un des trois sommets. Vérifions les trois possibilités :

   \(AB^2+AC^2 = 41+14 = 55 \neq 53 = BC^2\) ✗

   \(AB^2+BC^2 = 41+53 = 94 \neq 14 = AC^2\) ✗

   \(AC^2+BC^2 = 14+53 = 67 \neq 41 = AB^2\) ✗

   Aucune égalité de Pythagore n'est vérifiée, donc le triangle \(ABC\) n'est pas rectangle.

   On peut aussi vérifier directement : \(\vect{AB}\cdot\vect{AC}=3\times(-1)+4\times 3+(-4)\times 2=-3+12-8=1\neq 0\), donc l'angle en \(A\) n'est pas droit. De même pour les autres.

Corrigé : Exercice 3

1. \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0+1+0=1\). \(\norme{\vec{u}}=\sqrt{2}\), \(\norme{\vec{v}}=\sqrt{2}\). \(\cos\theta=\frac{1}{2}\). Donc \(\boldsymbol{\theta=\frac{\pi}{3}}\) (60°).

2. \(\vec{u}\cdot\vec{v}=1+0+0=1\). \(\norme{\vec{u}}=1\), \(\norme{\vec{v}}=\sqrt{3}\). \(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}\). Donc \(\theta=\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx\boldsymbol{54{,}7°}\).

3. Les vecteurs sont \(\vect{AB}\coord{1}{2}{2}\) et \(\vect{AC}\coord{2}{1}{-2}\).

   \(\vect{AB}\cdot\vect{AC}=2+2-4=0\). Le produit scalaire est nul, donc \(\boldsymbol{\widehat{BAC}=\frac{\pi}{2}}\) (angle droit).

Corrigé : Exercice 4

1. \(\mathcal{P}_1\) passe par \(A(2,-1,3)\), normal \(\vec{n}_1\coord{1}{2}{-1}\) :

   \(1(x-2)+2(y+1)+(-1)(z-3)=0\), soit \(x-2+2y+2-z+3=0\), d'où \(\boldsymbol{x+2y-z+3=0}\).

   Vérification : \(2+2(-1)-3+3=0\) ✓.

2. \(\mathcal{P}_2\) passe par \(B(0,0,5)\), normal \(\vec{n}_2\coord{0}{0}{1}\) :

   \(0(x-0)+0(y-0)+1(z-5)=0\), soit \(\boldsymbol{z-5=0}\), ou encore \(z=5\).

   C'est le plan horizontal à l'altitude \(z=5\).

3. \(C(3,1,0)\) dans \(\mathcal{P}_1\) ? On substitue : \(3+2(1)-0+3=3+2+3=8\neq 0\). Donc \(\boldsymbol{C\notin\mathcal{P}_1}\).

4. \(\mathcal{P}_3:2x-3y+z-7=0\). Vecteur normal : \(\vec{n}_3\coord{2}{-3}{1}\). Un point : posons \(y=z=0\), alors \(2x=7\), soit \(x=\frac{7}{2}\). Le point \(\left(\frac{7}{2},0,0\right)\) appartient à \(\mathcal{P}_3\).

Corrigé : Exercice 5

1. \(\vec{n}_1\coord{2}{-1}{3}\), \(\vec{n}_2\coord{4}{-2}{6}=2\vec{n}_1\). Les normaux sont colinéaires, donc \(\mathcal{P}_1\parallel\mathcal{P}_2\).

   Confondus ? Prenons un point de \(\mathcal{P}_1\), par exemple \((0,0,\frac{1}{3})\) (car \(-1+3\times\frac{1}{3}=0\)). Substituons dans \(\mathcal{P}_2\) : \(0-0+6\times\frac{1}{3}+5=2+5=7\neq 0\). Donc \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) sont parallèles et distincts.

2. \(\vec{n}_1\cdot\vec{n}_3=2\times 3+(-1)\times 2+3\times 1=6-2+3=7\neq 0\). Donc \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_3\) ne sont pas perpendiculaires.

3. \(\mathcal{P}_4\parallel\mathcal{P}_1\) signifie même vecteur normal : \(\vec{n}\coord{2}{-1}{3}\). \(\mathcal{P}_4\) passe par \(D(1,0,-2)\) :

   \(2(x-1)-(y-0)+3(z+2)=0\), soit \(2x-y+3z+4=0\).

   Vérification : \(2-0-6+4=0\) ✓. Donc \(\boldsymbol{\mathcal{P}_4:2x-y+3z+4=0}\).

Corrigé : Exercice 6

1. \(d=\frac{|1\times 3+2\times(-1)+(-2)\times 2+3|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{|3-2-4+3|}{3}=\frac{|0|}{3}=\boldsymbol{0}\).

   Distance 0 signifie que \(M\) est dans le plan \(\mathcal{P}\). On peut vérifier : \(3+2(-1)-2(2)+3=0\) ✓.

2. \(d=\frac{|3\times 0-4\times 0+5|}{\sqrt{9+16+0}}=\frac{5}{5}=\boldsymbol{1}\).

3. \(A(1,k,2)\in\mathcal{P}\) \(\Leftrightarrow\) \(2(1)-k+3(2)-4=0\), soit \(2-k+6-4=0\), d'où \(4-k=0\), et \(\boldsymbol{k=4}\).

Corrigé : Exercice 7

1. Normal \(\vec{n}\coord{2}{1}{-2}\). Droite par \(M_0(1,0,1)\) de direction \(\vec{n}\) : \(\begin{cases}x=1+2t\\y=t\\z=1-2t\end{cases}\).

   Substitution dans \(\mathcal{P}\) : \(2(1+2t)+(t)-2(1-2t)+3=0\), soit \(2+4t+t-2+4t+3=0\), d'où \(9t+3=0\), \(t=-\frac{1}{3}\).

   \(H=\left(1-\frac{2}{3},\,-\frac{1}{3},\,1+\frac{2}{3}\right)=\boldsymbol{\left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{5}{3}\right)}\).

2. \(M_0H=\sqrt{\left(\frac{1}{3}-1\right)^2+\left(-\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{5}{3}-1\right)^2}=\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{9}{9}}=\boldsymbol{1}\).

3. Formule directe : \(d=\frac{|2(1)+0-2(1)+3|}{3}=\frac{|2-2+3|}{3}=\frac{3}{3}=1\) ✓.

Corrigé : Exercice 8

1. \(\vect{AB}=\coord{-1}{2}{0}\), \(\vect{AC}=\coord{-1}{0}{3}\).

2. On cherche \(\vec{n}\coord{a}{b}{c}\) tel que \(\vec{n}\cdot\vect{AB}=0\) et \(\vec{n}\cdot\vect{AC}=0\) :

   \(\begin{cases}-a+2b=0\\-a+3c=0\end{cases}\). De (1) : \(a=2b\). De (2) : \(a=3c\), donc \(c=\frac{a}{3}=\frac{2b}{3}\).

   Prenons \(b=3\) : \(a=6\), \(c=2\). Donc \(\vec{n}\coord{6}{3}{2}\).

   Vérification : \(\vec{n}\cdot\vect{AB}=-6+6+0=0\) ✓, \(\vec{n}\cdot\vect{AC}=-6+0+6=0\) ✓.

3. \(\mathcal{P}\) passe par \(A(1,0,0)\) : \(6(x-1)+3y+2z=0\), soit \(\boldsymbol{6x+3y+2z-6=0}\).

4. \(A\): \(6-6=0\) ✓. \(B\): \(0+6+0-6=0\) ✓. \(C\): \(0+0+6-6=0\) ✓.

Corrigé : Exercice 9

1. Vect. dir. de \(d\): \(\vec{u}\coord{1}{-1}{2}\). Normal de \(\mathcal{P}\): \(\vec{n}\coord{1}{1}{1}\).

   \(\vec{u}\cdot\vec{n}=1-1+2=2\neq 0\). Donc \(\vec{u}\) n'est pas orthogonal à \(\vec{n}\), ce qui signifie que \(d\) n'est pas parallèle à \(\mathcal{P}\).

2. Substituons la paramétrisation de \(d\) dans l'équation de \(\mathcal{P}\) : \((2+t)+(1-t)+(3+2t)-6=0\), soit \(2t=0\), d'où \(t=0\).

   Le point d'intersection est \(\boldsymbol{M=(2,1,3)}\).

Corrigé : Exercice 10

1. \(\mathcal{S}\): \((x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=9\).

2. \(d(\Omega,\mathcal{P})=\frac{|2(1)-1(2)+2(-1)-1|}{3}=\frac{|2-2-2-1|}{3}=\frac{3}{3}=\boldsymbol{1}\).

3. \(d(\Omega,\mathcal{P})=1<R=3\). Donc \(\mathcal{P}\) est sécant à \(\mathcal{S}\). L'intersection est un cercle de centre \(H\) (projeté de \(\Omega\) sur \(\mathcal{P}\)) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{9-1}=\boldsymbol{2\sqrt{2}}\).

Corrigé : Exercice 11

1. \(\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2=(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{v}=\norme{\vec{u}}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\norme{\vec{v}}^2\). \(\square\)

2. On isole \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) : \(2\vec{u}\cdot\vec{v}=\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2-\norme{\vec{u}}^2-\norme{\vec{v}}^2\), d'où la formule. \(\square\)

3. On sait que \(\cos\theta\in[-1,1]\). Donc \(|\vec{u}\cdot\vec{v}|=\norme{\vec{u}}\norme{\vec{v}}|\cos\theta|\leqslant\norme{\vec{u}}\norme{\vec{v}}\). Égalité si \(|\cos\theta|=1\), i.e. \(\theta=0\) ou \(\pi\), i.e. \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires. \(\square\)

Corrigé : Exercice 12

1. \(I=\left(\frac{1+5}{2},\frac{2-2}{2},\frac{3+7}{2}\right)=\boldsymbol{(3,0,5)}\).

2. Le plan \(\Pi\) est perpendiculaire à \((AB)\) et passe par \(I\). Un vecteur normal à \(\Pi\) est \(\vect{AB}\coord{4}{-4}{4}\), qu'on simplifie en \(\coord{1}{-1}{1}\).

   Équation : \(1(x-3)-1(y-0)+1(z-5)=0\), soit \(\boldsymbol{x-y+z-8=0}\).

   Vérification : \(I=(3,0,5)\) donne \(3-0+5-8=0\) ✓.

3. Soit \(M(x,y,z)\in\Pi\), donc \(x-y+z-8=0\).

   \(MA^2=(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=x^2-2x+1+y^2-4y+4+z^2-6z+9\) \(MB^2=(x-5)^2+(y+2)^2+(z-7)^2=x^2-10x+25+y^2+4y+4+z^2-14z+49\) \(MA^2-MB^2=(-2x+10x)+(-4y-4y)+(-6z+14z)+(14-78)=8x-8y+8z-64\) \(=8(x-y+z-8)=8\times 0=0\). Donc \(MA^2=MB^2\), i.e. \(MA=MB\). \(\square\)

Corrigé : Problème

Partie A

1. Normal : \(\vec{n}\coord{1}{2}{2}\). Un point : en posant \(y=z=0\), \(x=9\). Le point \((9,0,0)\in\mathcal{P}\).

2. \(d(\Omega,\mathcal{P})=\frac{|3+2(1)+2(2)-9|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{|3+2+4-9|}{3}=\frac{0}{3}=\boldsymbol{0}\).

Le centre \(\Omega\) est dans le plan \(\mathcal{P}\) ! Vérification : \(3+2+4-9=0\) ✓.

3. Comme \(\Omega\in\mathcal{P}\) et \(R=3>0\), le plan passe par le centre de la sphère. L'intersection de \(\mathcal{S}\) et \(\mathcal{P}\) est un grand cercle de \(\mathcal{S}\) : un cercle de centre \(\Omega\) et de rayon \(R=3\).

Partie B

4. Comme \(\Omega\in\mathcal{P}\), le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \(\mathcal{P}\) est \(\Omega\) lui-même : \(\boldsymbol{H=\Omega=(3,1,2)}\).

5. Le symétrique \(\Omega'\) vérifie \(H=\frac{\Omega+\Omega'}{2}\), donc \(\Omega'=2H-\Omega\). Comme \(H=\Omega\), \(\boldsymbol{\Omega'=\Omega=(3,1,2)}\). Le symétrique de \(\Omega\) par rapport à \(\mathcal{P}\) est \(\Omega\) lui-même, ce qui est logique puisque \(\Omega\) est dans le plan.

6. \(\Omega\Omega'=0\).

Partie C

7. \(d:\begin{cases}x=t\\y=2t\\z=2t\end{cases}\), \(t\in\R\).

8. On substitue dans l'équation de \(\mathcal{S}\) : \((t-3)^2+(2t-1)^2+(2t-2)^2=9\).

Développons : \(t^2-6t+9+4t^2-4t+1+4t^2-8t+4=9\), soit \(9t^2-18t+14=9\), d'où \(9t^2-18t+5=0\).

\(\Delta=324-180=144\), \(\sqrt{\Delta}=12\). \(t=\frac{18\pm 12}{18}\), donc \(t_1=\frac{30}{18}=\frac{5}{3}\) et \(t_2=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}\).

Points d'intersection :

\(M_1=\left(\frac{5}{3},\frac{10}{3},\frac{10}{3}\right)\) et \(M_2=\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)\).

9. \(M_1M_2=\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2+\left(\frac{8}{3}\right)^2+\left(\frac{8}{3}\right)^2}=\sqrt{\frac{16+64+64}{9}}=\sqrt{\frac{144}{9}}=\frac{12}{3}=\boldsymbol{4}\).

10. Étude du vecteur normal et interprétation :

Le vecteur directeur de la droite \(d\) est \(\vec{u} \coord{1}{2}{2}\). Le vecteur normal du plan \(\mathcal{P}\) est \(\vec{n} \coord{1}{2}{2}\). On constate que \(\vec{u} = \vec{n}\), ce qui signifie que la droite \(d\) est perpendiculaire au plan \(\mathcal{P}\).

Synthèse géométrique :

• Le plan \(\mathcal{P}\) passe par le centre \(\Omega\) de la sphère car \(d(\Omega, \mathcal{P}) = 0\). C'est donc un plan diamétral de la sphère.

• La droite \(d\) est perpendiculaire à ce plan, mais elle ne passe pas par le centre \(\Omega\). En effet, pour le point \(\Omega(3, 1, 2)\), le système de la droite \(d\) (\(x=t, y=2t, z=2t\)) donnerait \(t=3\) pour l'abscisse, mais \(y = 2(3) = 6 \neq 1\) pour l'ordonnée.

• Cette configuration explique que la droite \(d\) coupe la sphère selon une corde \([M_1M_2]\) de longueur \(4\). Cette longueur est strictement inférieure au diamètre de la sphère (\(2R = 6\)), ce qui confirme géométriquement que la droite ne passe pas par le centre \(\Omega\).