Configurations géométriques · Seconde générale

Pourquoi étudier les configurations géométriques ?

Une figure cache des relations

Une figure géométrique n'est pas seulement un dessin. Elle rassemble des longueurs, des angles, des alignements et des parallélismes. Le but n'est pas de tout calculer, mais de reconnaître la relation qui débloque le problème.

Trois rôles essentiels

Calculer une longueur ou un angle inaccessible.
Prouver qu'un triangle est rectangle, que deux droites sont parallèles ou que des points sont alignés.
Modéliser une situation réelle : pente, hauteur, distance, échelle, construction.

Lire, coder et démontrer

Hypothèses, propriété, conclusion

Une démonstration courte possède presque toujours cette structure :

Lire les codages

Codage	Signification
Même nombre de petits traits	longueurs égales
Petit carré dans un angle	angle droit, donc droites perpendiculaires
Même nombre d'arcs	angles égaux
Flèches identiques sur deux droites	droites parallèles
Points sur un même trait	alignement seulement si cela est donné ou démontré

Angles et parallélisme

Sommes d'angles à connaître

Angles formés par deux parallèles

Triangles et lignes remarquables

Quatre droites à ne pas confondre

Droite	Définition	Point de concours
Médiane	passe par un sommet et le milieu du côté opposé	centre de gravité
Hauteur	passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé	orthocentre
Médiatrice	est perpendiculaire à un côté en son milieu	centre du cercle circonscrit
Bissectrice	partage un angle en deux angles égaux	centre du cercle inscrit

La médiatrice comme ensemble de points

Théorème de Pythagore

Calculer une longueur

Démonstration par les aires

Prouver qu'un triangle est rectangle

Triangles semblables et théorème de Thalès

Reconnaître des triangles semblables

Le théorème de Thalès

La réciproque de Thalès

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Les trois rapports

Calculer une longueur ou un angle

Cercles et triangles rectangles

Le cercle de diamètre donné

Démonstration · Pourquoi l'angle en $C$ est-il droit ?

Le point $$O$$ est le milieu de $$[AB]$$ et le centre du cercle, donc

\[OA=OB=OC.\]

Les triangles $$AOC$$ et $$BOC$$ sont isocèles. Posons $\widehat{OAC}=\widehat{ACO}=\alpha$ et $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}=\beta$ . Dans le triangle $$ABC$$ ,

\alpha+\beta+(\alpha+\beta)=180^\circ.

Ainsi $\alpha+\beta=90^\circ$ , donc $\widehat{ACB}=90^\circ$ .

Pour la réciproque, supposons $$ABC$$ rectangle en $$C$$ et notons $$O$$ le milieu de $$[AB]$$ . Construisons le symétrique $$D$$ de $$C$$ par rapport à $$O$$ . Dans le quadrilatère $$ACBD$$ , les diagonales $$[AB]$$ et $$[CD]$$ se coupent en leur milieu : $$ACBD$$ est donc un parallélogramme. Comme $AC\perp BC$ , ce parallélogramme est un rectangle. Ses diagonales ont la même longueur, donc $$AB=CD$$ . Puisque $$O$$ est le milieu de ces deux diagonales,

\[OA=OB=OC=OD.\]

Ainsi $$C$$ appartient au cercle de centre $$O$$ et de rayon $$OA$$ , dont $$[AB]$$ est un diamètre.

Échelles, périmètres et aires

Effet d'un agrandissement

Aire d'un triangle

Choisir une stratégie

Pour aller plus loin - guidé et facultatif

Cette partie dépasse le socle strict. Elle est destinée à toute personne curieuse : aucun prérequis caché n'est utilisé.

Triangles remarquables et valeurs exactes

La formule d'aire avec un sinus

Le théorème de Ceva : trois droites concourantes

Dans un triangle $$ABC$$ , choisissons $D\in[BC]$ , $E\in[CA]$ et $F\in[AB]$ .

Démonstration · Une preuve guidée par les aires

Supposons d'abord que les trois droites se coupent en $$P$$ . Notons

X=\aire{PBC},\qquad Y=\aire{PCA},\qquad Z=\aire{PAB}.

Des triangles ayant la même hauteur ont des aires proportionnelles à leurs bases. Comme $$A,P,D$$ sont alignés, on obtient

\frac{BD}{DC}=\frac{Z}{Y}.

De même,

\frac{CE}{EA}=\frac{X}{Z} \quad\text{et}\quad \frac{AF}{FB}=\frac{Y}{X}.

Le produit vaut donc $$(Z/Y)(X/Z)(Y/X)=1$$ .

Réciproquement, supposons le produit égal à $$1$$ . Les droites $$(AD)$$ et $$(BE)$$ se coupent en un point $$P$$ , puis $$(CP)$$ coupe $$[AB]$$ en $$F'$$ . Le sens direct appliqué à $$D,E,F'$$ donne

\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\frac{AF'}{F'B}=1.

En comparant avec l'égalité donnée, $$AF'/F'B=AF/FB$$ . Sur $$[AB]$$ , ce rapport détermine un unique point, donc $$F'=F$$ . Ainsi $$(CF)$$ passe aussi par $$P$$ .

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices

Pour chaque exercice, rédige les étapes et nomme les propriétés. Les étoiles indiquent une progression ; elles ne ferment la porte à personne.

Exercice 1 ★☆☆ : Vocabulaire et logique

Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse, puis corrige les affirmations fausses.

L'hypoténuse est le plus long côté de n'importe quel triangle.
Une hauteur d'un triangle passe par un sommet.
Si un point est équidistant de $$A$$ et de $$B$$ , il appartient à la médiatrice de $$[AB]$$ .
Une figure qui semble avoir un angle droit suffit pour appliquer Pythagore.

Exercice 2 ★☆☆ : Angles immédiats

Calcule l'angle supplémentaire d'un angle de $68^\circ$ .
Dans un triangle, deux angles mesurent $47^\circ$ et $68^\circ$ . Calcule le troisième.
Un triangle isocèle a un angle principal de $36^\circ$ . Calcule ses deux angles à la base.
Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle vaut $68^\circ$ . Donne les mesures possibles de tous les angles formés.

Exercice 3 ★☆☆ : Démontrer un parallélisme

Les droites $$(d)$$ et $$(d')$$ sont coupées par une sécante $$(t)$$ . Deux angles alternes-internes mesurent chacun $57^\circ$ .

Quelle propriété permet de conclure ?
Rédige une démonstration complète de $(d)\parallel(d')$ .
Si le second angle mesurait $123^\circ$ , pourrait-on conclure de la même manière ? Explique.

Exercice 4 ★☆☆ : Pythagore pour calculer

Le triangle $$ABC$$ est rectangle en $$A$$ , avec $$AB=7{,}2$$ cm et $$AC=9{,}6$$ cm. Calcule $$BC$$ .
Le triangle $$DEF$$ est rectangle en $$D$$ , avec $$EF=13$$ cm et $$DE=5$$ cm. Calcule $$DF$$ .
Pour chaque question, vérifie que l'hypoténuse obtenue ou donnée est bien le plus long côté.

Exercice 5 ★★☆ : Réciproque de Pythagore

Pour chaque triplet de longueurs, indique si un triangle ayant ces côtés est rectangle. Justifie par deux calculs séparés.

$$6$$ , $$8$$ , $$10$$ ;
$$7$$ , $$9$$ , $$12$$ ;
$$9$$ , $$40$$ , $$41$$ .

Exercice 6 ★★☆ : Médiatrice et cercle

On donne $$AB=8$$ cm et $$I$$ milieu de $$[AB]$$ . Un point $$M$$ vérifie $$MA=MB=5$$ cm.

Justifie que $$M$$ appartient à la médiatrice de $$[AB]$$ .
Montre que le triangle $$MIA$$ est rectangle en $$I$$ .
Calcule $$MI$$ .
Quel est le rayon du cercle de centre $$M$$ passant par $$A$$ et $$B$$ ?

Exercice 7 ★★☆ : Théorème de Thalès

Dans le triangle $$ABC$$ , $M\in[AB]$ , $N\in[AC]$ et $(MN)\parallel(BC)$ . On donne

AB=10,\qquad AM=6,\qquad AC=8,\qquad BC=7{,}5.

Écris les rapports de Thalès.
Calcule $$AN$$ .
Calcule $$MN$$ .
Donne le coefficient de réduction du triangle $$ABC$$ vers le triangle $$AMN$$ .

Exercice 8 ★★☆ : Réciproque de Thalès

Dans un triangle $$ABC$$ , les points $M\in[AB]$ et $N\in[AC]$ vérifient

AB=15,\qquad AM=10,\qquad AC=18,\qquad AN=12.

Calcule $$AM/AB$$ et $$AN/AC$$ .
Démontre que $(MN)\parallel(BC)$ .
Si $$BC=9$$ , calcule $$MN$$ .
Calcule $$BM$$ et $$CN$$ et compare $$BM/BA$$ à $$CN/CA$$ .

Exercice 9 ★★☆ : Triangles semblables

Le triangle $$ABC$$ a pour angles $52^\circ$ , $71^\circ$ et $57^\circ$ respectivement en $$A$$ , $$B$$ et $$C$$ . Le triangle $$DEF$$ a pour angles $52^\circ$ , $57^\circ$ et $71^\circ$ respectivement en $$D$$ , $$E$$ et $$F$$ . On donne

AB=8,\qquad AC=7,\qquad BC=6,\qquad DF=12.

Justifie que les triangles sont semblables.
Donne la correspondance des sommets.
Calcule le coefficient d'agrandissement de $$ABC$$ vers $$DEF$$ .
Calcule $$DE$$ et $$EF$$ .

Exercice 10 ★★☆ : Hauteur par trigonométrie

Une personne se place à $$18$$ m du pied d'un mât vertical. L'angle d'élévation de son sommet vaut $35^\circ$ . On néglige la hauteur des yeux.

Fais un schéma et nomme la hauteur $$h$$ .
Exprime $\tan35^\circ$ avec $$h$$ .
Calcule $$h$$ au centimètre près.
Calcule la distance entre la personne et le sommet du mât au centimètre près.

Exercice 11 ★★☆ : Retrouver un angle

Dans un triangle rectangle, par rapport à un angle aigu $\theta$ , le côté opposé mesure $$9$$ cm, le côté adjacent $$12$$ cm et l'hypoténuse $$15$$ cm.

Vérifie Pythagore.
Calcule $\tan\theta$ .
Détermine $\theta$ au dixième de degré près.
Détermine l'autre angle aigu de deux façons différentes.

Exercice 12 ★★☆ : Cercle de diamètre donné

Le segment $$[AB]$$ est un diamètre d'un cercle, avec $$AB=10$$ cm. Le point $$C$$ appartient au cercle et $$AC=6$$ cm.

Justifie que $$ABC$$ est rectangle en $$C$$ .
Calcule $$BC$$ .
Calcule $\widehat{CAB}$ et $\widehat{CBA}$ au dixième de degré près.
Vérifie que la somme des deux valeurs approchées est cohérente.

Exercice 13 ★★★ : Plan, échelle et aire

Sur un plan à l'échelle $$1:250$$ , une parcelle rectangulaire mesure $$3{,}2$$ cm sur $$2{,}4$$ cm.

Détermine ses dimensions réelles en mètres.
Calcule son périmètre réel et son aire réelle.
Une parcelle semblable est obtenue avec un coefficient d'agrandissement $$1{,}5$$ . Calcule ses dimensions, son périmètre et son aire.
Explique pourquoi l'aire n'est pas multipliée par $$1{,}5$$ .

Exercice 14 ★★★ : Triangle équilatéral exact

Soit $$ABC$$ un triangle équilatéral de côté $$10$$ cm. La hauteur issue de $$A$$ coupe $$[BC]$$ en $$H$$ .

Justifie que $$BH=5$$ cm et que $$AHB$$ est rectangle en $$H$$ .
Calcule $$AH$$ sous forme exacte.
Calcule l'aire exacte de $$ABC$$ .
Retrouve $\sin60^\circ$ , $\cos60^\circ$ et $\tan60^\circ$ .

Exercice 15 ★★★ : Ceva et concurrence

Dans un triangle $$ABC$$ , $$D$$ est le milieu de $$[BC]$$ . Le point $E\in[CA]$ vérifie $$CE/EA=2$$ et le point $F\in[AB]$ vérifie $$AF/FB=1/2$$ .

Calcule $$BD/DC$$ .
Vérifie l'identité de Ceva.
Déduis que $$(AD)$$ , $$(BE)$$ et $$(CF)$$ sont concourantes.
Si $$AB=12$$ cm, calcule $$AF$$ et $$FB$$ .
En notant $G=(AD)\cap(BE)$ , explique pourquoi $$C$$ , $$G$$ et $$F$$ sont alignés.

Problème : Le téléphérique du vallon ★★★

Le point $$H$$ est le pied de la verticale issue de $$S$$ sur $$[AB]$$ . On sait que $H\in[AB]$ ,

AB=120\ \text{m}, \qquad \widehat{SAB}=30^\circ, \qquad \widehat{SBA}=45^\circ.

On note $$h=SH$$ .

Schéma : Problème : Le téléphérique du vallon 3

Partie A - Hauteur du sommet

Justifie que $$AH+HB=120$$ .
Dans $$AHS$$ , exprime $$AH$$ en fonction de $$h$$ en utilisant $\tan30^\circ=\sqrt3/3$ .
Dans $$BHS$$ , exprime $$HB$$ en fonction de $$h$$ .
Montre que
$h=\frac{120}{\sqrt3+1}=60(\sqrt3-1).$
Donne au centimètre près $$h$$ , $$AH$$ et $$HB$$ .

Partie B - Longueurs des câbles

Calcule la longueur exacte $$AS$$ du câble de gauche.
Calcule la longueur exacte $$BS$$ du câble de droite.
Donne ces deux longueurs au centimètre près.
Vérifie tes résultats avec le théorème de Pythagore dans $$AHS$$ et $$BHS$$ .

Partie C - Une passerelle parallèle au sol

Le point $P\in[AS]$ vérifie $$AP=AS/3$$ et le point $Q\in[BS]$ vérifie $$BQ=BS/3$$ .

Montre que $$SP/SA=SQ/SB=2/3$$ .
Démontre que $(PQ)\parallel(AB)$ .
Calcule la longueur exacte de la passerelle $$PQ$$ .
Calcule l'aire exacte du triangle $$SAB$$ , puis celle du triangle $$SPQ$$ .

Partie D - Position d'une cabine

Une cabine $$C$$ se trouve sur $$[AS]$$ à une altitude de $$30$$ m au-dessus de $$(AB)$$ . Le point $$K$$ est son projeté orthogonal sur $$[AB]$$ .

Justifie que les triangles $$ACK$$ et $$ASH$$ sont semblables.
Calcule exactement $$AC$$ , puis $$SC$$ .
Calcule exactement $$AK$$ .
La cabine est-elle située entre $$P$$ et $$S$$ ? Justifie et calcule $$PC$$ .

Partie E - Incertitude sur l'angle

L'angle mesuré en $$A$$ peut en réalité être compris entre $29{,}5^\circ$ et $30{,}5^\circ$ . L'angle en $$B$$ reste égal à $45^\circ$ .

Pour un angle $\alpha$ , montre que la hauteur calculée serait
$h(\alpha)=\frac{120}{1+1/\tan\alpha}.$
À la calculatrice, calcule $h(29{,}5^\circ)$ et $h(30{,}5^\circ)$ au centimètre près.
Donne un encadrement de la hauteur compatible avec la mesure.
Compare cet intervalle à la hauteur calculée avec $30^\circ$ et interprète l'incertitude maximale.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé du problème

Partie A - Hauteur du sommet

Démonstration · Deux tangentes et une seule inconnue

Puisque $H\in[AB]$ , les longueurs s'additionnent :
$\boxed{AH+HB=AB=120}.$
Dans le triangle rectangle $$AHS$$ ,
$\tan30^\circ=\frac{SH}{AH}=\frac{h}{AH}.$
Comme $\tan30^\circ=\sqrt3/3=1/\sqrt3$ ,
$AH=\frac{h}{\tan30^\circ}=\boxed{h\sqrt3}.$
Dans le triangle rectangle $$BHS$$ ,
$\tan45^\circ=\frac{SH}{HB}=\frac{h}{HB}.$
Or $\tan45^\circ=1$ , donc
$\boxed{HB=h}.$
En remplaçant dans $$AH+HB=120$$ ,
$h\sqrt3+h=120,$
donc
$h=\frac{120}{\sqrt3+1}.$
Rationalisons le dénominateur :
$\begin{aligned}h &= \frac{120(\sqrt3-1)}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}\\&= \frac{120(\sqrt3-1)}{2} = \boxed{60(\sqrt3-1)}.\end{aligned}$
Numériquement,
$h\approx43{,}9230,$
donc
$\boxed{SH\approx43{,}92\ \text{m}}.$
De plus,
$AH=h\sqrt3=60(3-\sqrt3)\approx76{,}0769,$
et $$HB=h$$ . Ainsi,
$\boxed{AH\approx76{,}08\ \text{m}} \qquad\text{et}\qquad \boxed{HB\approx43{,}92\ \text{m}}.$
Leur somme arrondie vaut bien $$120$$ m.

Partie B - Longueurs des câbles

Partie C - Une passerelle parallèle au sol

Démonstration · Réciproque de Thalès puis effet sur l'aire

Comme $$AP=AS/3$$ ,
$SP=AS-AP=AS-\frac{AS}{3}=\frac{2AS}{3},$
donc $$SP/SA=2/3$$ . De même, $$BQ=BS/3$$ entraîne $$SQ=2BS/3$$ , donc
$\boxed{\frac{SP}{SA}=\frac{SQ}{SB}=\frac23}.$
Les points $$S,P,A$$ et $$S,Q,B$$ sont alignés dans le même ordre. Les deux rapports précédents sont égaux. Par la réciproque de Thalès,
$\boxed{(PQ)\parallel(AB)}.$
Les triangles $$SPQ$$ et $$SAB$$ sont semblables avec le coefficient $$2/3$$ . Par Thalès,
$\frac{PQ}{AB}=\frac23.$
Ainsi,
$PQ=\frac23\times120=\boxed{80\ \text{m}}.$
La base $$AB$$ mesure $$120$$ m et la hauteur correspondante vaut $$h$$ . Donc
$\aire{SAB}=\frac{120h}{2}=60h =\boxed{3600(\sqrt3-1)\ \text{m}^2}.$
Le coefficient de similitude étant $$2/3$$ , les aires sont dans le rapport $$(2/3)^2=4/9$$ :
$\aire{SPQ}=\frac49\aire{SAB} =\boxed{1600(\sqrt3-1)\ \text{m}^2}.$
Numériquement, ces aires valent environ $$2635{,}38$$ m $$^2$$ et $$1171{,}28$$ m $$^2$$ .

Partie D - Position d'une cabine

Démonstration · La similitude transforme une altitude en distance

Les triangles $$ACK$$ et $$ASH$$ sont rectangles respectivement en $$K$$ et en $$H$$ . Ils ont aussi le même angle en $$A$$ , car $$A,C,S$$ sont alignés et $$A,K,H$$ sont alignés. Par le critère angle-angle, ils sont semblables.
Les côtés correspondants donnent
$\frac{AC}{AS}=\frac{CK}{SH}=\frac{30}{h}.$
Or $$AS=2h$$ . Ainsi,
$AC=2h\times\frac{30}{h}=\boxed{60\ \text{m}}.$
Puis
$SC=AS-AC=120(\sqrt3-1)-60 =\boxed{120\sqrt3-180\ \text{m}}.$
Donc $SC\approx27{,}85$ m.
Dans le triangle rectangle $$ACK$$ ,
$\cos30^\circ=\frac{AK}{AC}.$
Par conséquent,
$AK=60\times\frac{\sqrt3}{2} =\boxed{30\sqrt3\ \text{m}} \approx51{,}96\ \text{m}.$
On a
$AP=\frac{AS}{3}=40(\sqrt3-1)\approx29{,}28\ \text{m}.$
Comme $$AP<AC<AS$$ , l'ordre sur le câble est $$A,P,C,S$$ . La cabine est donc située entre $$P$$ et $$S$$ . Enfin,
$\begin{aligned}PC &= AC -AP = 60 -40(\sqrt3-1)\\&= \boxed{100-40\sqrt3\ \text{m}}\\&\approx 30{,}72\ \text{m}.\end{aligned}$

Partie E - Incertitude sur l'angle

Démonstration · Un intervalle de mesures produit un intervalle de hauteurs

Dans le triangle rectangle $$AHS$$ ,
$\tan\alpha=\frac{h}{AH}, \qquad AH=\frac{h}{\tan\alpha}.$
L'angle en $$B$$ restant égal à $45^\circ$ , on a toujours $$HB=h$$ . Puisque $$AH+HB=120$$ ,
$\frac{h}{\tan\alpha}+h=120.$
En factorisant $$h$$ ,
$h\left(1+\frac1{\tan\alpha}\right)=120,$
d'où
$\boxed{h(\alpha)=\frac{120}{1+1/\tan\alpha}}.$
La calculatrice, réglée en degrés, donne
$h(29{,}5^\circ)\approx43{,}3605$
et
$h(30{,}5^\circ)\approx44{,}4829.$
Au centimètre près,
$\begin{aligned}&\boxed{h(29{,}5^\circ)\approx43{,}36\ \text{m}}\\&\text{et}\quad \boxed{h(30{,}5^\circ)\approx44{,}48\ \text{m}}.\end{aligned}$
Sur cet intervalle d'angles aigus, une augmentation de l'angle en $$A$$ augmente la hauteur compatible. On obtient l'encadrement
$\boxed{43{,}36\ \text{m}\lesssim h\lesssim44{,}48\ \text{m}}.$
Avec $30^\circ$ , on avait $h\approx43{,}92$ m. Les écarts aux bornes sont environ $$0{,}56$$ m. Une incertitude angulaire de $0{,}5^\circ$ produit donc ici une incertitude d'environ $$0{,}56$$ m sur la hauteur.

Fiche-mémoire

Une figure devient claire quand chaque information a un rôle.

Tu peux chercher longtemps sans être perdu : reviens aux hypothèses et avance une propriété à la fois.

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Démonstration · Ne pas oublier de convertir les unités

À l'échelle $$1:250$$ , $$1$$ cm sur le plan représente $$250$$ cm en réalité.

La longueur réelle vaut

3{,}2\times250=800\ \text{cm}=8\ \text{m},

et la largeur réelle vaut

2{,}4\times250=600\ \text{cm}=6\ \text{m}.

Le périmètre est

2(8+6)=\boxed{28\ \text{m}},

et l'aire est

8\times6=\boxed{48\ \text{m}^2}.

Avec un coefficient d'agrandissement $$1{,}5$$ , les dimensions deviennent

8\times1{,}5=12\ \text{m} \qquad\text{et}\qquad 6\times1{,}5=9\ \text{m}.

Le périmètre est multiplié par $$1{,}5$$ :

28\times1{,}5=\boxed{42\ \text{m}}.

L'aire est multipliée par $1{,}5^2=2{,}25$ :

48\times2{,}25=\boxed{108\ \text{m}^2}.

L'aire est un produit de deux longueurs ; chacun des deux facteurs est multiplié par $$1{,}5$$ , d'où le facteur carré.

Corrigé 14

Démonstration · Construire les valeurs exactes

Dans un triangle équilatéral, la hauteur issue d'un sommet est aussi une médiane. Donc

BH=\frac{BC}{2}=\boxed{5\ \text{cm}}.

Par définition de la hauteur, $(AH)\perp(BC)$ : le triangle $$AHB$$ est rectangle en $$H$$ .

Par Pythagore,

\[AB^2=AH^2+BH^2,\]

donc

AH^2=10^2-5^2=75 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{AH=5\sqrt3\ \text{cm}}.

L'aire du triangle équilatéral vaut

\aire{ABC}=\frac{BC\times AH}{2} =\frac{10\times5\sqrt3}{2} =\boxed{25\sqrt3\ \text{cm}^2}.

Dans le triangle rectangle $$AHB$$ , l'angle $\widehat{ABH}$ vaut $60^\circ$ . Ainsi,

\sin60^\circ=\frac{AH}{AB}=\frac{5\sqrt3}{10}=\boxed{\frac{\sqrt3}{2}},

\cos60^\circ=\frac{BH}{AB}=\frac5{10}=\boxed{\frac12},

et

\tan60^\circ=\frac{AH}{BH}=\frac{5\sqrt3}{5}=\boxed{\sqrt3}.

Corrigé 15

Démonstration · Ceva transforme trois rapports en concurrence

Puisque $$D$$ est le milieu de $$[BC]$$ ,

BD=DC \qquad\text{et}\qquad \frac{BD}{DC}=1.

Le produit de Ceva vaut

\frac{BD}{DC}\times\frac{CE}{EA}\times\frac{AF}{FB} =1\times2\times\frac12=1.

Les points $$D$$ , $$E$$ et $$F$$ appartiennent aux trois côtés correspondants. Par le théorème de Ceva,

\boxed{(AD),\ (BE)\text{ et }(CF)\text{ sont concourantes}}.

Si $$AB=12$$ et $$AF/FB=1/2$$ , posons $$AF=x$$ . Alors $$FB=2x$$ et

x+2x=12, \qquad 3x=12, \qquad x=4.

Ainsi,

\boxed{AF=4\ \text{cm}} \qquad\text{et}\qquad \boxed{FB=8\ \text{cm}}.

Enfin, $G=(AD)\cap(BE)$ . La concurrence démontrée signifie précisément que la troisième droite $$(CF)$$ passe aussi par $$G$$ . Donc

\boxed{C,\ G\text{ et }F\text{ sont alignés}}.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.