Le cours complet Variable aléatoire et notations
Définition · Variable aléatoire réelle
On considère une expérience aléatoire d'univers fini \(\Omega\) (la liste de tous les résultats possibles).
Une variable aléatoire réelle \(X\) est une fonction qui, à chaque résultat \(\omega\) de \(\Omega\) , associe un nombre réel noté \(X(\omega)\) .
L'ensemble des valeurs que peut prendre \(X\) est noté \(X(\Omega)=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}\) .
Attention · Le vocabulaire : \(\{X=a\}\) est un événement
\(X\) est un nombre (aléatoire), mais dès qu'on fixe une valeur \(a\) , l'écriture \(\{X=a\}\) désigne un événement : « l'ensemble des résultats pour lesquels \(X\) vaut \(a\) ». On peut donc lui attribuer une probabilité, notée \(P(X=a)\) . De même :
\(\{X\leqslant a\}\) : l'événement « \(X\) prend une valeur inférieure ou égale à \(a\) », de probabilité \(P(X\leqslant a)\) ;
\(\{X<a\}\) , \(\{X\geqslant a\}\) , \(\{a\leqslant X\leqslant b\}\) : même principe.
Passer du français aux symboles (et inversement) est une capacité attendue au bac : « au moins 2 » s'écrit \(\{X\geqslant 2\}\) , « strictement plus de 3 » s'écrit \(\{X>3\}\) , etc.
Exemple · La somme de deux dés
On lance deux dés équilibrés et \(X\) est la somme des deux faces. Alors \(X(\Omega)=\{2,3,4,\dots,12\}\) . Par exemple l'événement \(\{X=4\}\) regroupe les résultats \((1,3),(2,2),(3,1)\) , donc
\[P(X=4)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}.\]
L'événement \(\{X\leqslant 3\}\) regroupe \((1,1),(1,2),(2,1)\) , donc \(P(X\leqslant 3)=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}\) .
Loi de probabilité
Définition · Loi de probabilité d'une variable aléatoire
La loi de probabilité de \(X\) est la donnée de toutes les valeurs \(x_i\) de \(X(\Omega)\) et, pour chacune, de la probabilité \(p_i=P(X=x_i)\) . On la présente dans un tableau :
\(x_i\) \(x_1\) \(x_2\) \(\cdots\) \(x_n\) \(P(X=x_i)\) \(p_1\) \(p_2\) \(\cdots\) \(p_n\)
Propriété · La somme des probabilités vaut 1
Pour toute variable aléatoire,
\[p_1+p_2+\dots+p_n=\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)=1.\]
Démonstration · Pourquoi la somme fait 1
Les événements \(\{X=x_1\},\{X=x_2\},\dots,\{X=x_n\}\) sont deux à deux incompatibles (un même résultat ne peut pas donner deux valeurs différentes de \(X\) ) et leur réunion est l'univers tout entier (le hasard donne toujours une valeur à \(X\) ). Ils forment donc une partition de \(\Omega\) . Or la somme des probabilités d'une partition vaut \(P(\Omega)=1\) . D'où le résultat. Cette égalité est aussi un outil de vérification précieux : si tes probabilités ne totalisent pas 1, il y a une erreur quelque part.
Exemple · Loi complète de la somme de deux dés
En dénombrant les \(36\) résultats équiprobables, on obtient :
\(k\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(9\) \(10\) \(11\) \(12\) \(P(X=k)\) \(\frac{1}{36}\) \(\frac{2}{36}\) \(\frac{3}{36}\) \(\frac{4}{36}\) \(\frac{5}{36}\) \(\frac{6}{36}\) \(\frac{5}{36}\) \(\frac{4}{36}\) \(\frac{3}{36}\) \(\frac{2}{36}\) \(\frac{1}{36}\)
Vérification : \(1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36\) donc la somme des probabilités vaut \(\frac{36}{36}=1\) . La valeur la plus probable est \(7\) : c'est logique, c'est celle qui se réalise du plus grand nombre de façons.
Espérance
Définition · Espérance d'une variable aléatoire
L'espérance de \(X\) , notée \(\E(X)\) (parfois \(\mu\) ), est la moyenne des valeurs pondérée par les probabilités :
\[\boxed{\;\E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\dots+x_np_n=\sum_{i=1}^{n}x_i\,P(X=x_i)\;}\]
Intuition · Lire la formule comme une moyenne de classe
C'est exactement le calcul d'une moyenne pondérée . Si dans une classe \(10\%\) ont \(8\) , \(60\%\) ont \(12\) et \(30\%\) ont \(16\) , la moyenne est \(8\times0{,}10+12\times0{,}60+16\times0{,}30=12{,}8\) . Pour une variable aléatoire, on remplace juste les « pourcentages d'élèves » par des « probabilités » : la formule est la même.
Attention · L'espérance n'est pas toujours une valeur atteinte
L'espérance de la somme de deux dés vaut \(7\) (heureusement, \(7\) est possible). Mais l'espérance d'un dé à six faces vaut \(\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3{,}5\) … et on n'obtient jamais \(3{,}5\) ! L'espérance est une moyenne théorique , pas une prédiction du prochain résultat. Elle dit ce qui se passe « en moyenne sur un grand nombre de répétitions ».
Définition · Jeu équitable
Dans un jeu où \(X\) désigne le gain algébrique du joueur (gains comptés positivement, pertes négativement, mise comprise ), le jeu est dit :
équitable si \(\E(X)=0\) (ni avantage, ni désavantage sur le long terme) ;
favorable au joueur si \(\E(X)>0\) , défavorable si \(\E(X)<0\) .
Exemple · Un jeu de fête foraine
On paie \(3\) € pour lancer un dé. On reçoit le nombre d'euros indiqué par la face (donc de \(1\) à \(6\) €). Soit \(X\) le gain algébrique (ce qu'on reçoit moins la mise).
gain \(x_i\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(P(X=x_i)\) \(\frac16\) \(\frac16\) \(\frac16\) \(\frac16\) \(\frac16\) \(\frac16\)
(Si la face est \(1\) , on reçoit \(1\) € pour \(3\) € payés, gain \(-2\) , etc.) Alors
\[\E(X)=\frac16(-2-1+0+1+2+3)=\frac{3}{6}=0{,}5.\]
\(\E(X)=0{,}5>0\) : le jeu est favorable au joueur (en moyenne il gagne \(0{,}50\) € par partie). L'organisateur a donc intérêt à augmenter la mise : avec une mise de \(3{,}50\) €, on aurait \(\E(X)=0\) , le jeu serait équitable .
Variance et écart-type
Définition · Variance et écart-type
Soit \(\mu=\E(X)\) . La variance de \(X\) est la moyenne des carrés des écarts à l'espérance :
\[\begin{aligned}\V(X) &= \sum_{i=1}^{n}p_i\,(x_i-\mu)^2\\&= (x_1-\mu)^2p_1 +\dots +(x_n-\mu)^2p_n.\end{aligned}\]
L'écart-type de \(X\) est la racine carrée de la variance :
\[\sigma(X)=\sqrt{\V(X)}.\]
La variance est toujours positive (somme de carrés multipliés par des probabilités positives).
Intuition · Pourquoi des carrés ? Pourquoi une racine ?
Pourquoi élever au carré ? Si on faisait la moyenne des écarts simples \((x_i-\mu)\) , les écarts positifs et négatifs s'annuleraient exactement (la moyenne des écarts à la moyenne est nulle, toujours !). En élevant au carré, tous les écarts deviennent positifs : ils s'ajoutent au lieu de se compenser. Pourquoi reprendre la racine ? Le carré a changé l'unité (des euros\(^2\) , ça ne veut rien dire). L'écart-type \(\sigma=\sqrt{\V}\) revient à l'unité de départ : il se lit comme une « distance typique à la moyenne ».
Théorème · Formule de Kœ nig-Huygens
Pour toute variable aléatoire \(X\) d'espérance \(\mu=\E(X)\) :
\[\begin{aligned}&\boxed{\;\V(X)=\E(X^2)-\big(\E(X)\big)^2\;}\\\text{où}\quad \E(X^2) &=\sum_{i=1}^{n}x_i^2\,p_i.\end{aligned}\]
Intuition · La formule qui fait gagner un temps fou
La définition demande de calculer d'abord \(\mu\) , puis tous les écarts \((x_i-\mu)^2\) : long et source d'erreurs (surtout si \(\mu\) n'est pas un entier). La formule de Kœ nig-Huygens dit : calcule plutôt \(\E(X^2)\) (moyenne des carrés des valeurs ), puis retranche \(\mu^2\) . Beaucoup plus rapide. Retiens-la comme « moyenne des carrés moins carré de la moyenne ».
Démonstration · Démonstration de la formule de Kœ nig-Huygens
On part de la définition et on développe le carré \((x_i-\mu)^2=x_i^2-2\mu x_i+\mu^2\) :
\[\V(X)=\sum_{i=1}^{n}p_i(x_i-\mu)^2=\sum_{i=1}^{n}p_i\big(x_i^2-2\mu x_i+\mu^2\big).\]
On sépare la somme en trois morceaux :
\[\begin{aligned}&\V(X)\\&= \underbrace{\sum_{i}p_ix_i^2}_{=\E(X^2)}\;-\;2\mu\underbrace{\sum_{i}p_ix_i}_{=\E(X)=\mu}\;+\;\mu^2\underbrace{\sum_{i}p_i}_{=1}.\end{aligned}\]
On a sorti \(2\mu\) et \(\mu^2\) des sommes car ce sont des constantes . En remplaçant chaque morceau par sa valeur :
\[\begin{aligned}\V(X) &= \E(X^2) -2\mu\cdot\mu +\mu^2\cdot 1\\&= \E(X^2) -2\mu^2 +\mu^2 = \E(X^2) -\mu^2.\end{aligned}\]
On reconnaît \(\mu^2=\big(\E(X)\big)^2\) , ce qui est exactement la formule annoncée. \(\blacksquare\)
Méthode · Calculer \(\E\), \(\V\) et \(\sigma\) à partir d'une loi
Calculer \(\E(X)=\sum x_ip_i\) .
Calculer \(\E(X^2)=\sum x_i^2p_i\) (mêmes probabilités, mais on met les valeurs au carré ).
En déduire \(\V(X)=\E(X^2)-\big(\E(X)\big)^2\) (Kœ nig-Huygens).
Calculer \(\sigma(X)=\sqrt{\V(X)}\) .
Astuce pratique : pose un tableau à lignes \(x_i\) , \(p_i\) , \(x_ip_i\) , \(x_i^2p_i\) et somme les deux dernières lignes.
Exemple · Calcul complet sur un dé équilibré
Soit \(X\) le résultat d'un dé à six faces. On organise les calculs :
\(x_i\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) somme \(p_i\) \(\frac16\) \(\frac16\) \(\frac16\) \(\frac16\) \(\frac16\) \(\frac16\) \(1\) \(x_ip_i\) \(\frac16\) \(\frac26\) \(\frac36\) \(\frac46\) \(\frac56\) \(\frac66\) \(\frac{21}{6}\) \(x_i^2p_i\) \(\frac16\) \(\frac46\) \(\frac96\) \(\frac{16}{6}\) \(\frac{25}{6}\) \(\frac{36}{6}\) \(\frac{91}{6}\)
On lit directement : \(\E(X)=\dfrac{21}{6}=3{,}5\) et \(\E(X^2)=\dfrac{91}{6}\approx15{,}17\) . D'où
\[\begin{aligned}\V(X) &= \E(X^2) -\big(\E(X)\big)^2 = \frac{91}{6}-\left(\frac{21}{6}\right)^2\\&= \frac{91}{6} -\frac{441}{36} = \frac{546-441}{36} = \frac{105}{36}\\&= \frac{35}{12}\\&\approx 2{,}92.\end{aligned}\]
\[\sigma(X)=\sqrt{\tfrac{35}{12}}\approx1{,}71.\]
Lecture : les résultats d'un dé s'écartent « en moyenne » d'environ \(1{,}7\) de la valeur centrale \(3{,}5\) .
Intuition · Changer d'échelle ou d'origine
Très souvent, on transforme une variable de façon affine : \(Y=aX+b\) . Exemples : convertir une température, ajouter une prime fixe à un gain (\(+b\) ), doubler tous les gains (\(\times a\) ). On voudrait \(\E(Y)\) et \(\V(Y)\) sans refaire toute la loi. Bonne nouvelle : il existe des formules directes, et elles sont très intuitives.
Propriété · Espérance et variance d'une transformation affine
Pour tous réels \(a\) et \(b\) , si \(Y=aX+b\) alors :
\[\begin{aligned}&\boxed{\;\E(aX+b)=a\,\E(X)+b\;}\\&\boxed{\;\V(aX+b)=a^2\,\V(X)\;}\\\sigma(aX+b) &=|a|\,\sigma(X).\end{aligned}\]
Intuition · Pourquoi le \(+b\) disparaît dans la variance
Pour l'espérance , tout se comporte comme une moyenne : si on double tout puis qu'on ajoute \(b\) à chacun, la moyenne double puis augmente de \(b\) . Normal. Pour la variance , le \(+b\) translate tout le nuage de points sans changer sa « largeur » : la dispersion ne bouge pas, donc \(b\) disparaît. Le facteur \(a\) , lui, étire le nuage : les écarts sont multipliés par \(a\) , donc leurs carrés par \(a^2\) . D'où \(a^2\) dans la variance, et \(|a|\) (valeur absolue, car un écart-type est positif) dans l'écart-type.
Démonstration · Démonstration de \(\E(aX+b)=a\E(X)+b\)
Posons \(Y=aX+b\) . Quand \(X\) prend la valeur \(x_i\) (avec la probabilité \(p_i\) ), \(Y\) prend la valeur \(ax_i+b\) avec la même probabilité \(p_i\) . Donc
\[\begin{aligned}\E(Y) &= \sum_i (ax_i+b)\,p_i = \sum_i\big(ax_ip_i+bp_i\big)\\&= a\sum_i x_ip_i +b\sum_i p_i.\end{aligned}\]
Or \(\sum_i x_ip_i=\E(X)\) et \(\sum_i p_i=1\) . D'où \(\E(Y)=a\E(X)+b\) . \(\blacksquare\)
Démonstration · Démonstration de \(\V(aX+b)=a^2\V(X)\)
On utilise la définition avec \(\E(Y)=a\mu+b\) (où \(\mu=\E(X)\) ) :
\[\begin{aligned}&\V(Y)\\&= \sum_i p_i\big(\underbrace{(ax_i+b)}_{y_i}-\underbrace{(a\mu+b)}_{\E(Y)}\big)^2\\&= \sum_i p_i\big(ax_i-a\mu\big)^2 = \sum_i p_i\,a^2(x_i-\mu)^2.\end{aligned}\]
Le \(+b\) s'est simplifié (\(b-b=0\) ). On sort la constante \(a^2\) :
\[\V(Y)=a^2\sum_i p_i(x_i-\mu)^2=a^2\,\V(X).\]
En prenant la racine carrée : \(\sigma(Y)=\sqrt{a^2\V(X)}=|a|\sqrt{\V(X)}=|a|\,\sigma(X)\) . \(\blacksquare\)
Exemple · Une prime et un bonus
Un jeu donne un gain \(X\) avec \(\E(X)=4\) et \(\sigma(X)=2\) (donc \(\V(X)=4\) ). Le casino propose une nouvelle règle : il double le gain et ajoute \(5\) €. Le nouveau gain est \(Y=2X+5\) . Alors
\[\begin{aligned}\E(Y) &=2\E(X)+5=2\times4+5=13,\\\V(Y) &=2^2\V(X)=4\times4=16,\\\sigma(Y) &=|2|\times2=4.\end{aligned}\]
La moyenne passe de \(4\) à \(13\) ; la dispersion (écart-type) double de \(2\) à \(4\) à cause du facteur \(2\) , mais le \(+5\) n'y change rien.
Pour aller plus loin : la meilleure « prévision » (approfondissement)
Intuition · L'espérance minimise l'erreur quadratique
Si tu devais résumer \(X\) par un seul nombre \(x\) et qu'on mesurait ton erreur par la moyenne des carrés \(f(x)=\E\big((X-x)^2\big)\) , quel \(x\) choisir ? Réponse : \(x=\E(X)\) . Autrement dit, l'espérance est la valeur qui « colle le mieux » à \(X\) au sens des moindres carrés. C'est pour ça qu'elle est partout en statistique (et en intelligence artificielle).
Démonstration · \(x\mapsto \E\big((X-x)^2\big)\) est minimale en \(x=\E(X)\)
Développons en utilisant la linéarité de l'espérance (avec \(\mu=\E(X)\) ) :
\[\begin{aligned}f(x) &= \E\big((X-x)^2\big) = \E\big(X^2-2xX+x^2\big)\\&= \E(X^2) -2x\,\E(X) +x^2\\&= \E(X^2) -2\mu x +x^2.\end{aligned}\]
C'est un polynôme du second degré en \(x\) , de la forme \(x^2-2\mu x+\E(X^2)\) , avec un coefficient de \(x^2\) égal à \(+1>0\) : la parabole est tournée vers le haut , donc elle admet un minimum . Ce minimum est atteint en
\[x=-\frac{-2\mu}{2\times1}=\mu=\E(X).\]
Et la valeur minimale vaut \(f(\mu)=\E(X^2)-\mu^2=\V(X)\) : on retrouve la variance ! La « plus petite erreur quadratique possible » est exactement la variance de \(X\) . \(\blacksquare\)
Échantillon et simulation : l'espérance se « voit » en répétant
Intuition · Plus on répète, plus la moyenne observée s'approche de \(\E(X)\)
On a répété qu'en jouant « un grand nombre de fois », la moyenne des résultats s'approche de l'espérance. On peut le voir en simulant : on tire un grand échantillon de valeurs de \(X\) et on calcule leur moyenne. Voici l'allure typique de la moyenne d'un dé en fonction du nombre de lancers : elle oscille au début, puis se stabilise vers \(\E(X)=3{,}5\) .
Ce phénomène (la moyenne d'un grand échantillon se rapproche de l'espérance) sera énoncé précisément en Terminale sous le nom de loi des grands nombres . En Première, on s'en sert pour estimer une espérance par simulation quand le calcul exact est compliqué.
Expérimentation officielle : plusieurs échantillons
Définition · Les trois tailles à ne pas confondre
On simule une variable aléatoire \(X\) d'espérance \(\mu\) et d'écart-type \(\sigma\) .
Un échantillon contient \(n\) valeurs de \(X\) ; sa moyenne est notée \(m\) .
On répète cette fabrication \(N\) fois : on obtient \(N\) moyennes différentes.
On calcule la proportion des moyennes qui vérifient
\[\boxed{|m-\mu|\leqslant\frac{2\sigma}{\sqrt n}.}\]
Le nombre \(n\) mesure la taille de chaque échantillon ; le nombre \(N\) mesure le nombre de répétitions de l'expérience.
Méthode · Programme complet pour un dé équilibré
Pour un dé, \(\mu=3{,}5\) et \(\sigma=\sqrt{35/12}\) .
from random import randint
from math import sqrt
def moyenne_de(n):
total = 0
for k in range(n):
total = total + randint(1, 6)
return total / n
def proportion_proche(N, n):
mu = 3.5
sigma = sqrt(35/12)
seuil = 2*sigma/sqrt(n)
proches = 0
for repetition in range(N):
m = moyenne_de(n)
if abs(m - mu) <= seuil:
proches = proches + 1
return proches / NIntuition · Pourquoi la bande se resserre
Le rayon \(\dfrac{2\sigma}{\sqrt n}\) diminue lorsque \(n\) augmente : une moyenne calculée sur beaucoup de valeurs fluctue moins qu'une moyenne calculée sur quelques valeurs. En relançant le programme, la proportion change un peu, car elle est elle-même issue d'une simulation.
Attention · Ce que la simulation prouve, et ce qu'elle ne prouve pas
Une simulation permet d'observer, de conjecturer et de contrôler un calcul. Elle ne transforme pas une observation numérique en théorème. Il faut toujours indiquer les valeurs de \(N\) et de \(n\) et accepter une petite variation d'une exécution à l'autre.
Exercices Exercice 1 ★☆☆ : Lire une loi
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi :
\(x_i\) \(-1\) \(0\) \(2\) \(5\) \(P(X=x_i)\) \(0{,}3\) \(0{,}1\) \(0{,}4\) \(a\)
1. Déterminer \(a\) . 2. Calculer \(P(X\geqslant 2)\) . 3. Calculer \(P(X\leqslant 0)\) .
Exercice 2 ★☆☆ : Une espérance simple
Une variable \(X\) prend les valeurs \(10\) , \(20\) , \(30\) avec les probabilités respectives \(0{,}5\) ; \(0{,}3\) ; \(0{,}2\) . Calculer \(\E(X)\) .
Exercice 3 ★☆☆ : Vérifier puis espérer
\(Y\) prend les valeurs \(0,1,2,3\) avec \(P(Y=0)=0{,}4\) , \(P(Y=1)=0{,}3\) , \(P(Y=2)=0{,}2\) , \(P(Y=3)=0{,}1\) . 1. Vérifier que c'est bien une loi. 2. Calculer \(\E(Y)\) .
Exercice 4 ★☆☆ : Variance et écart-type
Reprendre la variable \(Y\) de l'exercice 3. Calculer \(\E(Y^2)\) , puis \(\V(Y)\) par Kœ nig-Huygens, puis \(\sigma(Y)\) (arrondi au centìeme).
Exercice 5 ★☆☆ : Du français aux symboles
Soit \(X\) le nombre de bonnes réponses à un QCM de \(4\) questions. Traduire en événements puis en probabilités les phrases : (a) « avoir au moins \(3\) bonnes réponses » ; (b) « avoir strictement moins de \(2\) bonnes réponses » ; (c) « avoir entre \(1\) et \(3\) bonnes réponses incluses ».
Exercice 6 ★☆☆ : Un dé truqué
Un dé est truqué : la probabilité d'obtenir chaque face est proportionnelle à sa valeur (la face \(k\) a une probabilité \(\lambda k\) ). 1. Déterminer \(\lambda\) . 2. Dresser la loi de \(X\) (la face obtenue). 3. Calculer \(\E(X)\) .
Exercice 7 ★★☆ : Jeu de la roue
Une roue équilibrée comporte \(8\) secteurs identiques : trois « \(0\) € », trois « \(5\) € », un « \(20\) € » et un « \(50\) € ». On paie \(10\) € pour jouer. Soit \(X\) le gain algébrique. 1. Donner la loi de \(X\) . 2. Calculer \(\E(X)\) . Le jeu est-il favorable au joueur ? 3. Quel prix rendrait le jeu équitable ?
Exercice 8 ★★☆ : Deux dés, le maximum
On lance deux dés équilibrés et \(M\) est le plus grand des deux résultats (le maximum). 1. Déterminer \(M(\Omega)\) . 2. Montrer que \(P(M=k)=\dfrac{2k-1}{36}\) pour \(k\) de \(1\) à \(6\) . 3. Calculer \(\E(M)\) .
\(X\) vérifie \(\E(X)=6\) et \(\V(X)=9\) . On pose \(Z=-2X+5\) . Calculer \(\E(Z)\) , \(\V(Z)\) et \(\sigma(Z)\) .
Exercice 10 ★★☆ : Tirage sans remise
Une urne contient \(3\) boules rouges et \(2\) boules vertes. On tire simultanément \(2\) boules. Soit \(X\) le nombre de boules rouges tirées. 1. Déterminer la loi de \(X\) . 2. Calculer \(\E(X)\) et \(\V(X)\) .
Exercice 11 ★★☆ : Assurance
Une compagnie assure un objet de valeur \(2000\) €. La probabilité d'un sinistre total (remboursement de \(2000\) €) dans l'année est \(0{,}03\) . La compagnie veut que son bénéfice espéré soit de \(25\) € par contrat. Quel montant de prime annuelle doit-elle demander ? (On note \(p\) la prime ; le bénéfice de la compagnie est \(p\) s'il n'y a pas de sinistre, \(p-2000\) sinon.)
Exercice 12 ★★☆ : Loi à paramètre
Soit \(X\) de loi \(P(X=k)=\dfrac{k}{10}\) pour \(k\in\{1,2,3,4\}\) . 1. Vérifier que c'est une loi. 2. Calculer \(\E(X)\) et \(\sigma(X)\) .
Exercice 13 ★★★ : Jeu de dés à deux étages
On lance un dé. Si on obtient \(6\) , on gagne \(12\) €. Sinon, on relance le dé : on gagne alors le double de la nouvelle face en euros. Soit \(G\) le gain. 1. Déterminer les valeurs possibles de \(G\) et leur probabilité. 2. Calculer \(\E(G)\) .
Exercice 14 ★★★ : Comparer deux stratégies
Deux placements d'un an pour \(1000\) €. Placement A : gain certain de \(30\) €. Placement B : gain de \(130\) € avec probabilité \(0{,}5\) , perte de \(60\) € avec probabilité \(0{,}5\) . 1. Calculer \(\E\) et \(\sigma\) du gain pour chaque placement. 2. Lequel choisir ? Discuter selon le profil (prudent / joueur).
Exercice 15 ★★★ : Espérance et second degré
Soit \(X\) de loi : \(P(X=0)=0{,}2\) , \(P(X=2)=0{,}5\) , \(P(X=5)=0{,}3\) . On considère la fonction \(f(x)=\E\big((X-x)^2\big)\) . 1. Exprimer \(f(x)\) en fonction de \(x\) (forme développée). 2. Pour quelle valeur de \(x\) est-elle minimale ? Que vaut ce minimum ? Relier aux notions du cours.
Exercice 16 ★★★ : Python, simulation et échantillons
1. On donne la fonction esperance(valeurs, probas) du cours.
Écrire une fonction Python est_equitable qui renvoie True si le jeu est équitable (espérance nulle, à \(10^{-9}\) près), et False sinon.
2. Écrire une fonction moyenne_de(n) qui simule \(n\) lancers d'un dé équilibré et renvoie leur moyenne.
3. Écrire une fonction proportion_proche(N,n) qui simule \(N\) échantillons de taille \(n\) et renvoie la proportion des moyennes \(m\) telles que
\[|m-3{,}5|\leqslant\frac{2\sqrt{35/12}}{\sqrt n}.\]
Expliquer pourquoi deux appels successifs peuvent renvoyer des valeurs légèrement différentes.
Corrigés détaillés Corrigé 1
Démonstration
1. La somme des probabilités vaut \(1\) :
\[0{,}3+0{,}1+0{,}4+a=1\ \Longrightarrow\ 0{,}8+a=1\ \Longrightarrow\ a=0{,}2.\]
2. \(\{X\geqslant 2\}\) regroupe les valeurs \(2\) et \(5\) :
\[P(X\geqslant 2)=P(X=2)+P(X=5)=0{,}4+0{,}2=0{,}6.\]
3. \(\{X\leqslant 0\}\) regroupe les valeurs \(-1\) et \(0\) :
\[P(X\leqslant 0)=P(X=-1)+P(X=0)=0{,}3+0{,}1=0{,}4.\]
Corrigé 2
Démonstration
On applique la définition \(\E(X)=\sum x_ip_i\) :
\[\E(X)=10\times0{,}5+20\times0{,}3+30\times0{,}2=5+6+6=17.\]
En moyenne, sur un grand nombre de répétitions, \(X\) vaut \(17\) .
Corrigé 3
Démonstration
1. Somme : \(0{,}4+0{,}3+0{,}2+0{,}1=1\) . Toutes les probabilités sont positives : c'est bien une loi de probabilité.
2. Espérance :
\[\begin{aligned}\E(Y) &= 0\times0{,}4 +1\times0{,}3 +2\times0{,}2 +3\times0{,}1\\&= 0 +0{,}3 +0{,}4 +0{,}3 = 1.\end{aligned}\]
Corrigé 4
Démonstration
On reprend \(\E(Y)=1\) . Calculons \(\E(Y^2)\) : on garde les mêmes probabilités mais on carre les valeurs :
\[\begin{aligned}\E(Y^2) &= 0^2\times0{,}4 +1^2\times0{,}3 +2^2\times0{,}2\\&\quad {}+3^2\times0{,}1 = 0 +0{,}3 +0{,}8 +0{,}9 = 2.\end{aligned}\]
Par Kœ nig-Huygens :
\[\V(Y)=\E(Y^2)-\big(\E(Y)\big)^2=2-1^2=1.\]
Écart-type :
\[\sigma(Y)=\sqrt{\V(Y)}=\sqrt{1}=1{,}00.\]
Corrigé 5
Démonstration
(a) « au moins \(3\) » signifie \(3\) ou plus : événement \(\{X\geqslant 3\}\) , probabilité \(P(X\geqslant 3)=P(X=3)+P(X=4)\) .
(b) « strictement moins de \(2\) » signifie \(0\) ou \(1\) : événement \(\{X<2\}=\{X\leqslant 1\}\) , probabilité \(P(X=0)+P(X=1)\) .
(c) « entre \(1\) et \(3\) inclus » : événement \(\{1\leqslant X\leqslant 3\}\) , probabilité \(P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\) .
Corrigé 6
Démonstration
1. La face \(k\) a une probabilité \(\lambda k\) . La somme doit valoir \(1\) :
\[\sum_{k=1}^{6}\lambda k=\lambda(1+2+3+4+5+6)=21\lambda=1\ \Longrightarrow\ \lambda=\frac{1}{21}.\]
2. Loi de \(X\) :
\(k\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(P(X=k)\) \(\frac{1}{21}\) \(\frac{2}{21}\) \(\frac{3}{21}\) \(\frac{4}{21}\) \(\frac{5}{21}\) \(\frac{6}{21}\)
3. Espérance :
\[\begin{aligned}\E(X) &= \sum_{k=1}^{6}k\cdot\frac{k}{21} = \frac{1}{21}\sum_{k=1}^{6}k^2\\&= \frac{1+4+9+16+25+36}{21} = \frac{91}{21} = \frac{13}{3}\\&\approx 4{,}33.\end{aligned}\]
Le dé étant truqué en faveur des grandes faces, son espérance (\(\approx4{,}33\) ) est supérieure à celle d'un dé équilibré (\(3{,}5\) ) : cohérent.
Corrigé 7
Démonstration
1. Sur \(8\) secteurs : trois donnent \(0\) €, trois donnent \(5\) €, un donne \(20\) €, un donne \(50\) €. Le gain algébrique retranche la mise de \(10\) € :
gain \(x_i\) \(-10\) \(-5\) \(10\) \(40\) \(P(X=x_i)\) \(\frac38\) \(\frac38\) \(\frac18\) \(\frac18\)
(Recevoir \(0\) donne un gain \(-10\) ; recevoir \(5\) donne \(-5\) ; recevoir \(20\) donne \(10\) ; recevoir \(50\) donne \(40\) .)
2. Espérance :
\[\begin{aligned}\E(X) &= -10\times\tfrac38 -5\times\tfrac38 +10\times\tfrac18\\&\quad {}+40\times\tfrac18 = \frac{-30-15+10+40}{8} = \frac{5}{8}\\&= 0{,}625.\end{aligned}\]
\(\E(X)=0{,}625>0\) : le jeu est favorable au joueur (gain moyen de \(0{,}625\) € par partie). L'organisateur perd de l'argent sur le long terme.
3. Notons \(p\) le prix. Le gain devient \(x_i'=(\text{reçu})-p\) , et
\[\begin{aligned}&\E(\text{gain})\\&= \Big(0\times\tfrac38+5\times\tfrac38+20\times\tfrac18+50\times\tfrac18\Big)\\&\quad {}-p = \frac{15+20+50}{8} -p = \frac{85}{8} -p.\end{aligned}\]
Le jeu est équitable quand cette espérance est nulle : \(p=\dfrac{85}{8}=10{,}625\) €. Il faudrait donc faire payer \(10{,}625\) €.
Corrigé 8
Démonstration
1. Le maximum de deux faces va de \(1\) à \(6\) : \(M(\Omega)=\{1,2,3,4,5,6\}\) .
2. \(\{M=k\}\) signifie : les deux dés sont \(\leqslant k\) , mais pas tous les deux \(\leqslant k-1\) . Le nombre de couples avec les deux faces \(\leqslant k\) est \(k^2\) ; avec les deux \(\leqslant k-1\) , c'est \((k-1)^2\) . Donc le nombre de couples où le maximum vaut exactement \(k\) est
\[k^2-(k-1)^2=k^2-(k^2-2k+1)=2k-1.\]
Comme les \(36\) couples sont équiprobables, \(P(M=k)=\dfrac{2k-1}{36}\) .
Vérification : \(\sum_{k=1}^{6}(2k-1)=1+3+5+7+9+11=36\) , donc la somme des probabilités vaut \(1\) . ✓
3. Espérance :
\[\begin{aligned}\E(M) &= \sum_{k=1}^{6}k\cdot\frac{2k-1}{36}\\&= \frac{1}{36}\sum_{k=1}^{6}(2k^2-k) = \frac{1}{36}\Big(2\times91-21\Big)\\&= \frac{182-21}{36} = \frac{161}{36}\\&\approx 4{,}47.\end{aligned}\]
(On a utilisé \(\sum k^2=91\) et \(\sum k=21\) pour \(k\) de \(1\) à \(6\) .)
Corrigé 9
Démonstration
On applique les formules affines avec \(a=-2\) et \(b=5\) :
\[\E(Z)=\E(-2X+5)=-2\E(X)+5=-2\times6+5=-7.\]
\[\V(Z)=\V(-2X+5)=(-2)^2\V(X)=4\times9=36.\]
\[\sigma(Z)=|-2|\,\sigma(X)=2\sqrt{9}=2\times3=6.\]
Remarque : le signe de \(a\) change l'espérance mais pas la variance (le carré efface le signe), et le \(+5\) ne change que l'espérance.
Corrigé 10
Démonstration
1. On tire \(2\) boules parmi \(5\) : il y a \(\binom{5}{2}=10\) tirages équiprobables. \(X\) (nombre de rouges) peut valoir \(0\) , \(1\) ou \(2\) .
\(X=0\) : les \(2\) boules sont vertes, \(\binom{2}{2}=1\) façon. \(P(X=0)=\frac{1}{10}\) .
\(X=1\) : une rouge (\(\binom31=3\) ) et une verte (\(\binom21=2\) ), soit \(3\times2=6\) . \(P(X=1)=\frac{6}{10}\) .
\(X=2\) : les \(2\) rouges, \(\binom32=3\) façons. \(P(X=2)=\frac{3}{10}\) .
Vérification : \(\frac{1+6+3}{10}=1\) . ✓
\(x_i\) \(0\) \(1\) \(2\) \(P(X=x_i)\) \(\frac{1}{10}\) \(\frac{6}{10}\) \(\frac{3}{10}\)
2. Espérance :
\[\begin{aligned}\E(X) &= 0\times\tfrac{1}{10} +1\times\tfrac{6}{10} +2\times\tfrac{3}{10}\\&= \frac{0+6+6}{10} = \frac{12}{10} = 1{,}2.\end{aligned}\]
Pour la variance, \(\E(X^2)=0^2\times\tfrac{1}{10}+1^2\times\tfrac{6}{10}+2^2\times\tfrac{3}{10}=\frac{6+12}{10}=\frac{18}{10}=1{,}8\) . Donc
\[\V(X)=\E(X^2)-\big(\E(X)\big)^2=1{,}8-1{,}2^2=1{,}8-1{,}44=0{,}36.\]
Corrigé 11
Démonstration
Soit \(B\) le bénéfice de la compagnie. Avec probabilité \(0{,}97\) (pas de sinistre) il vaut \(p\) ; avec probabilité \(0{,}03\) (sinistre) il vaut \(p-2000\) :
\[\begin{aligned}\E(B) &= p\times0{,}97 +(p-2000)\times0{,}03\\&= p(0{,}97+0{,}03) -2000\times0{,}03 = p -60.\end{aligned}\]
On veut \(\E(B)=25\) :
\[p-60=25\ \Longrightarrow\ p=85.\]
La compagnie doit demander une prime de \(\boxed{85\text{\,€}}\) . (Interprétation : \(60\) € couvrent le coût moyen des sinistres, \(25\) € sont le bénéfice visé.)
Corrigé 12
Démonstration
1. Somme : \(\sum_{k=1}^{4}\frac{k}{10}=\frac{1+2+3+4}{10}=\frac{10}{10}=1\) . C'est bien une loi.
2. Espérance :
\[\E(X)=\sum_{k=1}^{4}k\cdot\frac{k}{10}=\frac{1+4+9+16}{10}=\frac{30}{10}=3.\]
Moment d'ordre 2 :
\[\begin{aligned}\E(X^2) &= \sum_{k=1}^{4}k^2\cdot\frac{k}{10}\\&= \frac{1^3+2^3+3^3+4^3}{10} = \frac{1+8+27+64}{10}\\&= \frac{100}{10} = 10.\end{aligned}\]
Variance et écart-type :
\[\V(X)=10-3^2=10-9=1,\qquad \sigma(X)=\sqrt{1}=1.\]
Corrigé 13
Démonstration
1. Premier lancer : avec probabilité \(\frac16\) on obtient \(6\) et le gain est \(12\) €. Avec probabilité \(\frac56\) on relance, et on gagne le double de la nouvelle face, soit \(2,4,6,8,10\) ou \(12\) € selon la face \(1,2,3,4,5,6\) .
La valeur \(G=12\) peut venir de deux façons : soit un \(6\) au premier lancer (\(P=\frac16\) ), soit un relancer suivi d'un \(6\) (\(P=\frac56\times\frac16=\frac{5}{36}\) ). Les autres valeurs \(2,4,6,8,10\) viennent uniquement du second lancer, chacune avec probabilité \(\frac56\times\frac16=\frac{5}{36}\) .
\(G\) \(2\) \(4\) \(6\) \(8\) \(10\) \(12\) \(P\) \(\frac{5}{36}\) \(\frac{5}{36}\) \(\frac{5}{36}\) \(\frac{5}{36}\) \(\frac{5}{36}\) \(\frac{6}{36}+\frac{5}{36}=\frac{11}{36}\)
Vérification : \(5\times5+11=36\) , somme des probabilités \(=\frac{36}{36}=1\) . ✓ (Pour \(G=12\) : on a regroupé \(\frac16=\frac{6}{36}\) du « \(6\) direct » et \(\frac{5}{36}\) du « relancer puis \(6\) ».)
2. Espérance :
\[\begin{aligned}\E(G) &= \frac{5}{36}(2+4+6+8+10) +12\times\frac{11}{36}\\&= \frac{5\times30}{36} +\frac{132}{36} = \frac{150+132}{36}\\&= \frac{282}{36} = \frac{47}{6}\\&\approx 7{,}83.\end{aligned}\]
Corrigé 14
Démonstration
Placement A. Le gain est certain : \(G_A=30\) avec probabilité \(1\) . Donc
\[\E(G_A)=30,\qquad \V(G_A)=0,\qquad \sigma(G_A)=0.\]
Aucune incertitude.
Placement B. Loi : \(+130\) avec \(0{,}5\) et \(-60\) avec \(0{,}5\) .
\[\E(G_B)=130\times0{,}5+(-60)\times0{,}5=65-30=35.\]
\[\begin{aligned}\E(G_B^2) &= 130^2\times0{,}5 +(-60)^2\times0{,}5\\&= \frac{16900+3600}{2} = \frac{20500}{2} = 10250.\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\V(G_B) &=10250-35^2=10250-1225=9025,\\\sigma(G_B) &=\sqrt{9025}=95.\end{aligned}\]
2. Discussion. En moyenne , B rapporte plus (\(35>30\) ). Mais B a un écart-type énorme (\(95\) €) contre \(0\) pour A : il comporte un vrai risque de perte (\(-60\) € une fois sur deux). Un profil prudent préférera A (gain sûr), un profil joueur préférera B (espérance plus élevée, en acceptant le risque). C'est exactement le rôle de l'écart-type : il chiffre le risque que l'espérance, seule, masque.
Corrigé 15
Démonstration
1. On développe en utilisant la linéarité :
\[f(x)=\E\big((X-x)^2\big)=\E(X^2)-2x\E(X)+x^2.\]
Calculons les ingrédients :
\[\E(X)=0\times0{,}2+2\times0{,}5+5\times0{,}3=0+1+1{,}5=2{,}5,\]
\[\E(X^2)=0^2\times0{,}2+2^2\times0{,}5+5^2\times0{,}3=0+2+7{,}5=9{,}5.\]
Donc
\[f(x)=x^2-2\times2{,}5\,x+9{,}5=x^2-5x+9{,}5.\]
2. C'est un trinôme du second degré de coefficient dominant \(+1>0\) : minimum atteint en
\[x=-\frac{-5}{2\times1}=\frac{5}{2}=2{,}5=\E(X).\]
Le minimum vaut \(f(2{,}5)=2{,}5^2-5\times2{,}5+9{,}5=6{,}25-12{,}5+9{,}5=3{,}25\) . Or
\[\V(X)=\E(X^2)-\big(\E(X)\big)^2=9{,}5-2{,}5^2=9{,}5-6{,}25=3{,}25.\]
On retrouve bien : le minimum de \(f\) est atteint en \(x=\E(X)\) et vaut \(\V(X)\) . C'est l'illustration du résultat du cours (l'espérance est la meilleure « résumé » au sens des moindres carrés).
Corrigé 16
Démonstration
def esperance(valeurs, probas):
return sum(x * p for x, p in zip(valeurs, probas))
def est_equitable(valeurs, probas):
return abs(esperance(valeurs, probas)) < 1e-9
# Jeu de l'exemple du cours : gains -2,-1,0,1,2,3 chacun avec proba 1/6
val = [-2, -1, 0, 1, 2, 3]
pro = [1/6] * 6
print(esperance(val, pro)) # 0.5 -> donc PAS equitable
print(est_equitable(val, pro)) # False1. L'espérance vaut \(0{,}5\neq 0\) , donc est_equitable renvoie False : ce jeu est favorable au joueur, pas équitable. Il deviendrait équitable en augmentant la mise de \(0{,}5\) €.
2 et 3.
from random import randint
from math import sqrt
def moyenne_de(n):
total = 0
for k in range(n):
total = total + randint(1, 6)
return total / n
def proportion_proche(N, n):
mu = 3.5
sigma = sqrt(35/12)
proches = 0
for repetition in range(N):
m = moyenne_de(n)
if abs(m - mu) <= 2*sigma/sqrt(n):
proches = proches + 1
return proches / NChaque appel effectue de nouveaux lancers pseudo-aléatoires. Les \(N\) échantillons ne sont donc pas exactement les mêmes, et la proportion observée fluctue. Lorsque \(N\) est grand, ces fluctuations sont en général plus petites.
Corrigé du problème type prépa
Démonstration · Partie A : loi, espérance et variance de \(D=|D_1-D_2|\)
1. La différence en valeur absolue de deux faces va de \(0\) (faces égales) à \(5\) (par exemple \(6\) et \(1\) ) : \(D(\Omega)=\{0,1,2,3,4,5\}\) . On compte, parmi les \(36\) couples \((D_1,D_2)\) équiprobables, ceux donnant chaque écart :
\(D=0\) : \((1,1),\dots,(6,6)\) , soit \(6\) couples.
\(D=1\) : \((1,2),(2,1),\dots\) : il y a \(5\) paires de faces consécutives, chacune dans \(2\) ordres, soit \(2\times5=10\) .
\(D=2\) : \(4\) paires possibles \(\times 2\) ordres \(=8\) .
\(D=3\) : \(3\times2=6\) . \(D=4\) : \(2\times2=4\) . \(D=5\) : \(1\times2=2\) .
\(k\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(P(D=k)\) \(\frac{6}{36}\) \(\frac{10}{36}\) \(\frac{8}{36}\) \(\frac{6}{36}\) \(\frac{4}{36}\) \(\frac{2}{36}\)
Vérification : \(6+10+8+6+4+2=36\) . ✓
2. Espérance :
\[\begin{aligned}&\E(D)\\&= \frac{1}{36}\big(0\cdot6+1\cdot10+2\cdot8+3\cdot6+4\cdot4+5\cdot2\big)\\&= \frac{0+10+16+18+16+10}{36} = \frac{70}{36}\\&= \frac{35}{18}\\&\approx 1{,}94.\end{aligned}\]
Moment d'ordre 2 :
\[\begin{aligned}&\E(D^2)\\&= \frac{1}{36}\big(0\cdot6+1\cdot10+4\cdot8+9\cdot6+16\cdot4+25\cdot2\big)\\&= \frac{0+10+32+54+64+50}{36} = \frac{210}{36}\\&= \frac{35}{6}\\&\approx 5{,}83.\end{aligned}\]
Variance (Kœ nig-Huygens) :
\[\begin{aligned}\V(D) &= \E(D^2) -\big(\E(D)\big)^2\\&= \frac{35}{6}-\left(\frac{35}{18}\right)^2 = \frac{35}{6} -\frac{1225}{324}.\end{aligned}\]
On réduit au même dénominateur \(324\) : \(\frac{35}{6}=\frac{1890}{324}\) , donc
\[\V(D)=\frac{1890-1225}{324}=\frac{665}{324}\approx2{,}05.\]
Démonstration · Partie B : le jeu d'argent \(G=D^2-m\)
3. On utilise la transformation affine \(G=D^2-m\) (ici la « variable » est \(D^2\) , et on lui retranche la constante \(m\) ) :
\[\E(G)=\E(D^2)-m=\frac{35}{6}-m.\]
4. Jeu équitable : \(\E(G)=0\) , donc
\[m=\E(D^2)=\frac{35}{6}\approx5{,}83\text{\,€}.\]
Il faut miser environ \(5{,}83\) € pour que le jeu soit équitable.
5. Comme \(G=D^2-m\) avec \(m\) constante, \(\V(G)=\V(D^2)\) : retrancher une constante ne change pas la dispersion. Il faut donc la variance de la variable \(D^2\) . Posons \(W=D^2\) , de valeurs \(0,1,4,9,16,25\) avec les mêmes probabilités que \(D\) . On a déjà \(\E(W)=\E(D^2)=\frac{35}{6}\) . Calculons \(\E(W^2)=\E(D^4)\) :
\[\begin{aligned}&\E(D^4)\\&= \frac{1}{36}\big(0\cdot6+1\cdot10+16\cdot8+81\cdot6+256\cdot4+625\cdot2\big)\\&= \frac{2898}{36} = \frac{161}{2} = 80{,}5.\end{aligned}\]
Donc
\[\begin{aligned}\V(G) &= \V(W) = \E(D^4) -\big(\E(D^2)\big)^2\\&= 80{,}5-\left(\frac{35}{6}\right)^2 = 80{,}5 -\frac{1225}{36}\\&\approx 80{,}5 -34{,}03 = 46{,}47.\end{aligned}\]
\[\sigma(G)=\sqrt{46{,}47}\approx6{,}82\text{\,€}.\]
Interprétation (une phrase). Même « équitable » (\(\E(G)=0\) ), le jeu a un écart-type élevé (\(\approx6{,}82\) €, supérieur à la mise) : les résultats sont très dispersés, un joueur prudent sait donc qu'il peut perdre gros sur quelques parties, ce que l'espérance nulle ne dit pas.
Démonstration · Partie C : simulation
6. On simule deux dés, on calcule l'écart au carré, on retranche la mise, et on moyenne :
from random import randint
def simule_gain(n, m):
total = 0
for _ in range(n):
d1 = randint(1, 6)
d2 = randint(1, 6)
gain = (abs(d1 - d2))**2 - m # G = D^2 - m
total += gain
return total / n
# Avec la mise equitable m = 35/6 :
print(simule_gain(1000000, 35/6)) # proche de 0Si \(m=\frac{35}{6}\) est la mise équitable, alors \(\E(G)=0\) : d'après le principe de la loi des grands nombres, le gain moyen observé sur \(n\) parties se rapproche de \(0\) quand \(n\) devient grand. La simulation confirme numériquement le calcul théorique.
